Определение площади измерениями от пунктов сети

Для определения площади участка, ограниченного криво­линейным контуром, вдоль контура намечают пикеты 1, 2, 3,... (рис. 5.4) с таким расчетом, чтобы соединяющие их от­резки образовали ломаную линию, практически не отличаю­щуюся от криволинейного контура. В местах мелких искрив­лений контура пикеты располагают так, чтобы площади, об­разуемые отклонениями криволинейного контура от отрезка прямой в одну и другую сторону, были практически равны.

б)

а)

Рис. 5.4 Схемы измерений:

а – методом полярной засечки; б – методом перпендикуляров

Положение пикетов чаще всего определяют методом поляр­ной засечки с помощью электронного тахеометра, устанавли­ваемого на пунктах геодезической сети (точки А, В, С, D, Е на рис. 5.4, а). Так, на пункте А тахеометром измеряют углы меж­ду направлением на пункт В и направлениями на пикеты 1, 2, 3,... и горизонтальные расстояния до пикетов d₁, d₂, d₃,.... Зная дирекционный угол α_АВ направления с пункта А на пункт В, по измеренным углам вычисляют дирекционные углы направле­ний на пикеты α_А1, α_А2, α_А3, …, а затем и координаты пикетов

x_i = х_А + d_i ·cos α_Ai, (5.4)

y_i = y_А + d_i ·sin α_Ai, (i = 1,2,3, …).

Аналогично, используя измерения, выполненные на пунк­тах В, С, D, Е, определяют координаты остальных пикетов.

Определив координаты всех пикетов, искомую площадь вычисляют как площадь многоугольника по формулам (3.1) или (3.2).

При отсутствии опорной сети измеряют стороны и углы многоугольника ABCDE. Одному из пунктов, например А, присваивают произвольные значения координат х_А, у_А, а на­правлению АВ – произвольное значение дирекционного угла α_АВ. По этим данным вычисляют координаты остальных вер­шин многоугольника, для чего можно воспользоваться стан­дартными алгоритмами и программами для замкнутого тео­долитного хода. Отметим, что вычисленные таким образом координаты, не будучи связаны с какой-либо геодезической сетью, являются локальными и нужны только для последую­щего вычисления координат пикетов, которые, в свою оче­редь, нужны для вычисления площади участка.

Если нет электронного тахеометра, и приходится обхо­диться менее совершенными средствами – теодолитом, мер­ной лентой, рулеткой, эккером, применяют следующую мето­дику. Вспомогательный ход ABCDE прокладывают так, что­бы его стороны проходили вблизи линии контура участка (см. рис. 5.4, б). Теодолитом измеряют горизонтальные углы, а лентой – стороны многоугольника. Как и прежде, одному из пунктов присваивают произвольные координаты, а одной из сторон – произвольное значение дирекционного угла. Вычис­ляют координаты вершин многоугольника.

Используя ленту и рулетку, измеряют длины перпендику­ляров, опущенных из пикетов 1, 2, 3,... на стороны много­угольника и отрезки между основаниями перпендикуляров. В местах пересечения сторон многоугольника с линией контура измеряют расстояния от места пересечения до оснований бли­жайших перпендикуляров и вершины многоугольника.

По результатам таких измерений площадь участка вычисля­ют в следующем порядке. По координатам вершин многоуголь­ника вычисляют площадь многоугольника. Затем, используя ре­зультаты измерения лентой и рулеткой, вычисляют площади ма­лых трапеций и треугольников, образованных измеренными перпендикулярами, отрезками сторон многоугольника и линия­ми контура. Площади малых трапеций и треугольников, лежащих внутри многоугольника, из площади многоугольника вы­читают. Площади трапеций и треугольников, лежащих вне мно­гоугольника, к площади многоугольника прибавляют. Таким об­разом, искомая площадь определяется формулой

Р = Р _ABCDE + Σ P _вне – Σ Р _внутр , (5.5)

где Р _ABCDE – площадь многоугольника, Σ P _вне – сумма площадей малых фигур, расположенных вне многоугольника, Σ Р _внутр – сумма площадей малых фигур, расположенных внутри много­угольника.

Способ свободной станции

Способ рассчитан на выполнение съемки электронным та­хеометром, установленным в произвольно выбранной съемоч­ной точке, не привязанной геодезическими измерениями к ка­ким-либо пунктам сети или другим съемочным точкам. Для определения площади способом свободной станции не требу­ется наличие геодезической сети.

Рис 5.5 Схема измерений на свободной станции

Электронный тахеометр устанавливают так, чтобы были видны все закрепляющие линию контура пикеты 1, 2,..., n (на рис. 5.5 это точка А). Вешку с отражателем устанавливают в точках 1, 2,..., n, фиксируя каждый раз горизонтальное рас­стояние d_i от съемочной точки А до очередного пикета i и отсчет М_i по горизонтальному кругу.

Направлениями из съемочной точки на пикеты вычисляе­мая площадь делится на секторы. Площади секторов вычис­ляют по формуле , (5.6)

где i – номер сектора; β_i = N_i+1 – N_i – острый угол треугольни­ка, вычисляемый как разность направлений на смежные пи­кеты i и i + 1.

Площадь всего участка найдем, суммируя площади сек­торов:

Р = Р₁ + Р₂ +... + Р_n. (5.7)

Выше уже отмечено, что пикеты 1, 2,..., n надо выбирать так часто, чтобы образуемая ломаная линия практически не отличалась от кривой.

Место для съемочной точки А может быть выбрано и вне ограничивающего площадь контура. Необходимость такого выбора может возникнуть, например, при определении пло­щади озера.

Искомая площадь Р (рис. 5.6) в этом случае равна разности площадей

Р = Р₁ – Р₂.

Рис. 5.6 Свободная станция вне контура участка

Здесь Р₁ – сумма площадей секторов, ограниченных отрезками прямых от съемочной точ­ки А до точек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, расположенных на дальней границе участка, и Р₂ – сумма площадей секторов, ограни­ченных отрезками прямых от съемочной точки А до точек 7, 8, 9, 10, 11, 1 на ближней границе участка.

 

Площадь каждого сектора вычисляется по формуле (5.6).