Случае понимают множество А элементов произвольной природы (носи-

Тель) с заданным на нем набором операций (сигнатур), удовлетворяющим

Некоторой системе аксиом.

Под нульарной алгебраической операцией на множестве А понимают про-

Извольный фиксированный элемент этого множества.

Примером унарной (одноместной) операции может служить операция вы-

числения элемента aA, обратного элементу a того же множества А.

Бинарной алгебраической операцией на множестве А называется такая ма-

тематическая операция «», которая произвольной паре элементов 3 a 3 a и

b множества А однозначно ставит в соответствие элемент c a b, принад-

Лежащий этому же множеству, и называемый композицией или произведе-

Нием элементов a и b.

Бинарная алгебраическая операция может обладать такими важнейшими

Свойствами как ассоциативность, коммутативность и транзитивность.

Алгебраическая операция, заданная на множестве,А называется ассоци-

Ативной, если для любых элементов 1 2, aa и 3 a из А выполняется равен-

ство (a1 a2) a3  a1 (a2 a3).

Бинарная алгебраическая операция, заданная на множестве А, называ-

Ется коммутативной, если для любых элементов 1 a и 2 a из А выполняется

равенство 1 2 2 1 a a  a a.

Транзитивность в математике (или транзитивное отношение) – это такое

Отношение, при котором если один элемент каким-либо образом соотно-

Сится с вторым, а второй точно таким же способом соотносится с третьим,

То и первый элемент соотносится с третьим тем же самым способом.

Бинарное отношение R на множестве А называется транзитивным, если

Для любых трех элементов a, b, c множества выполнение отношений aRb

И bRc влечет выполнение отношения aRc.

Часто в множестве, на котором рассматривается алгебраическая операция

Выделяются особые элементы, называемые нейтральными и поглощаю-

Щими.

Элемент e из множества А называется нейтральным относительно алгеб-

Раической операции, если для любого элемента a из множества А вы-

полняются равенства a e e a a.

Элемент p из множества А называется поглощающим относительно ал-

Гебраической операции, если для любого элемента a из множества А вы-

полняются равенства a p p a p.

Во множестве 0 Z целых неотрицательных чисел нуль является нейтраль-

Ным элементом относительно сложения, поскольку для любого a из А вы-

полняются равенства a a a     00. Это же число нуль является погло-

Щающим элементом относительно умножения: для любого a из множества

Z 0 верны равенства a  0  0  a  0.

Во множестве 0 Z целых неотрицательных чисел единица является

Нейтральным элементом относительно умножения, поскольку для любого

a из А выполняются равенства a a a     11. Этот же элемент 1, будучи

Компонентой множества высказываний А, является поглощающим эле-

Ментом относительно алгебраической операции дизъюнкции над высказы-

Ваниями: для любого высказывания a из множества А верны равенства

a 1 1 a 1.

Важную роль в алгебраических структурах играют так называемые обра-

Тимые и симметричные элементы.

Пусть ()X, – алгебраическая структура с нейтральным элементом e. Эле-

мент aX называется обратимым, если найдется элемент bX, для ко-

торого a b b a e  . Элемент b называется симметричным к a. Если b –

Симметричный элемент к a, то a – симметричный элемент к b.

Непустое множество элементов произвольной природы G с определен-

ном на нем бинарной операцией называется группой, если: (а) операция

ассоциативна; (b) существует нейтральный элемент e; (c) любой эле-

мент a из G имеет симметричный (обратный) элемент b G . Условия

(а), (b) и (с) называются аксиомами группы.

Пусть в группе G, кроме указанных трех аксиом, оказывается выполнен-

ным еще и условие: a b  b a, называемое коммутативностью. В этом

Случае группа G называется коммутативной или абелевой группой.

Если число элементов группы конечно, то группа является конечной, в

Противном случае она называется бесконечной.

Число элементов конечной группы определяет ее порядок и обозначается

Как G.

21. Групповая операции чаще всего вводится посредством двух символов:

(1) знака умножения  или ; тогда группа называется мультипликативной

и её обозначают ()G,  или ()G, ; нейтральный элемент вводится симво-