Розв'язування складених задач

Однимз найважливіших умінь, яке повинно бути сформоване у молодших школярів у процесі вивчення початкового курсу математики, є вміння розв'язувати текстові задачі. Воно є показником рівня інтелектуального розвитку дитини, оскільки вимагає вміння мислити - аналізувати ситуацію, відображену в тексті задачі, виділяти величини, що її характеризують, виявляти і встановлювати зв'язки і відношення між ними та ін. В свою чергу, вміння мислити вимагає вміння обґрунтовувати виявлені в тексті задачі залежності між величинами, оперувати певними науковими термінами, правильно формулювати правила чи закони, яким підлягають зв'язки між величинами, а отже, володіти математичним мовленням. Вміти мислити означає вміти користуватися знаннями, а щоб ними користуватися, треба свідомо їх здобути, засвоїти. Процес здобуття і засвоєння знань здійснюється, в свою чергу, шляхом розмірковування над певними математичними фактами, явищами, закономірностями, поняттями, їх властивостями тощо, тобто шляхом активної мислительної діяльності. Мислительна діяльність не є чимось відокремленим від навчального процесу формування знань чи умінь, а його органічною складовою частиною, причому при вивченні різних понять чи різних типів задач вона має свої особливості. Навчати дітей мислити - нелегка справа, але, на жаль, часто вчителі її недооцінюють і не приділяють належної уваги формуванню математичного мислення та мовлення, яке вимагає повсякденної клопіткої роботи вчителя.

Під час вивчення основних понять з арифметики натуральних чисел, з алгебри чи елементів геометрії робота щодо розвитку в учнів математичного мовлення та мислення зводиться перш за все до засвоєння ними певної термінології з кожної галузі математичних знань та відповідної символіки, до наочного зображення цих понять, до виділення і ілюстрації їх суттєвих ознак, до включення нових знань в систему раніше сформованих і т.п. При цьому найчастіше вчитель демонструє зразки математичного мовлення шляхом чіткого формулювання означень, ґрунтовного пояснення понять, властивостей, подаючи інформацію в готовому вигляді, яка пізніше в процесі бесіди відтворюється і кількаразово повторюється учнями з метою її запам'ятовування.

Але в процесі розв'язування текстових задач розвиток математичного мислення та мовлення має дещо інші особливості, оскільки вимагає від вчителя формування в учнів умінь розмірковувати, встановлювати причинно-наслідкові зв'язки, які викликають зміну кількості, чи зміну значень взаємопов'язаних величин, які характеризують відображену в тексті задачі ситуацію. Разом з тим, переказуючи зміст задачі чи обговорюючи описану в ній ситуацію, учні під керівництвом вчителя оволодівають вмінням відтворити задачу шляхом її моделювання чи ілюстрації, на основі чого сформулювати твердження (судження), які виражають залежності між шуканою і даними величинами. Всі ці вміння є значно складнішими, оскільки вони є показником культури мислення, яке відбувається в повній відповідності із законами логіки, npо які учням не говорять, звичайно. Але самостійно розмірковувати над пошуком розв'язання задачі дітям не під силу. Тому вчитель повинен навчати їх правильно логічно мислити під час роботи над типовими задачами. Для цього при ознайомленні з кожним типом задач слід демонструвати молодшим школярам зразки розмірковувань над задачею, зразки виконання ілюстрацій, встановлення зв'язків між величинами і їх обґрунтування, запис їх в символічній формі, зразки запису розв'язання.

Математичне мислення і мовлення тісно пов'язані між собою. У процесі оволодіння математичним мовленням розвивається математичне мислення, формуються властиві лише для математики мовні конструкції та відповідні розумові дії. Під час роботи над текстовими задачами є великі можливості для розвитку культури мовлення та мислення. Реалізація цих можливостей забезпечує разом з тим глибоке і свідоме оволодіння способами розв'язування задач, яке виявляється не тільки у вмінні правильно записати розв'язання задачі, але й у вмінні виконати скорочений запис тексту задачі; відтворити і проілюструвати ситуацію та зв'язки між величинами, обґрунтувати вибір арифметичних дій для розв'язання, видозмінити задачу, скласти до неї обернену і т.д. Кожен вчитель повинен сам добре володіти переліченими вміннями, а отже, знати науково-методичні, логічні та психологічні основи роботи над задачами. Передусім вчитель повинен знати, що^: на сучасному етапі змінився підхід до трактування поняття задача. Задачу розглядають як структуру, яка складається не лише з умови і запитання, як вважалось донедавна, але й з тих частин, котрі виникають в процесі роботи над нею - розв'язування, розв'язання, розв'язок.

Вихідними компонентами в структурі задачі, які завжди виділяються в її тексті, є умова і запитання.

Умова - це сюжет, в якому відображена конкретна життєво-практична ситуація, або зв'язки між певними числами, дані числові значення величин, що характеризують цю ситуацію, та відношення між ними, причому відношення можуть бути задані в явній чи неявній формі. В умові повинні бути дані щонайменше два числові значення різних величин.

Запитання - це вимога знайти значення^; певної величини, яка перебуває в залежності з даними. Цю вимогу формулюють у вигляді питального чи спонукального речення або в наказовій чи неозначеній формі.

Розв'язування - це мислительний процес встановлення залежності між шуканою і даними в тексті задачі значеннями величин та обґрунтування вибору арифметичних дій для знаходження значень проміжних і шуканої величин.

Розв'язання - це запис арифметичних дій і їх результатів, за допомогою яких знаходять значення проміжних та шуканої величин.

Розв'язок - це значення шуканої величини, тобто відповідь на поставлене запитання задачі.

Останні три компоненти в структурі задачі виникають під час пошуку шляхів знаходження значення шуканої величини і найважливішим з них з логіко-психологічних позицій є розв'язування. Під час мислительного процесу розв'язування не можна обійтись без усного математичного мовлення, яке є засобом виявлення результатів міркування про зміст задачі, величини і зв'язки між ними, шляхів знаходження значень проміжних величин, необхідних для визначення значення шуканої величини. Саме за допомогою математичного мовлення формулюються положення та узагальнення, які лежать в основі виконання арифметичних дій не лише в окремій одній задачі, а в системі задач певної групи.

Компонент "розв'язування" в структурі задачі є визначальним на етапі роботи над задачею, бо за результатами ефективно побудованого мислительного процесу легко записати розв'язання та сформулювати відповідь.

Безсумнівно, що навчання розв'язування простих задач при правильному методичному підході не викликає особливих труднощів у формуванні в дітей вмінь формулювати висновки про вибір однієї арифметичної дії, якою розв'язується проста задача, оскільки достатньо виявити одну-єдину залежність між величинами, чи виявити характер зміни кількості певної групи предметів залежно від вказаної в тексті задачі дії (не арифметичної!), яка означає цю зміну. Скажімо в задачі: "Біля годівниці було 5 пташок. Прилетіло ще 3 пташки. Скільки всього стало пташок?" достатньо виділити опорні слова "було", "прилетіло ще" і "стало" після чого без труднощів дітьми усвідомлюється характер зміни кількості пташок ("якщо прилетіло ще 3 пташки, то їх стало більше, тому треба виконати дію додавання"), на основі чого легко записується ними схема розв'язання задачі □+□ = □, а потім і сама дія, яка є розв'я­зуванням простої задачі.

Але під час роботи над складеними задачами необхідно виявити не одну, а кілька залежностей між різними величинами, встановити, на яку арифметичну дію між значеннями даних величин орієнтує те чи інше відношення, вказане в умові задачі, з'ясувати, чи всі величини, які необхідні для визначення значення шуканої, наявні в тексті задачі, чи деякі величини задані в неявній формі і про них слід здогадатись. В зв'язку з цим робота по формуванню математичного мислення і мовлення школярів під час розв'язування складених задач вимагає значних зусиль з боку вчителя, його наполегливості і найперше - високого рівня розвитку його власної логіко-математичної і психологічної ерудиції. Вчитель повинен добре знати класифікацію складених задач початкового курсу математики і досконало володіти методикою їх розв'язування, внаслідок чого він зможе на належному рівні організувати роботу по формуванню в учнів вмінь розв'язувати задачі, вмінь логічно правильно мислити і висловлювати свої думки.

Найпоширенішими складеними задачами є задачі на зв'язки між пропорційними величинами, серед яких виділяють чотири основні типи задач залежно від способів їх розв'язування, а саме:

1)задачі на знаходження четвертого пропорційного;

2)задачі на пропорційний поділ;

3)задачі на знаходження значень величини за двома різницями;

4)задачі на складне правило трьох (на подвійне зведення до одиниці).

Розглянемо науково-методичні основи розвитку математичного мислення та мовлення молодших школярів у процесі розв'язування складених задач названих типів. Зауважимо, що перед розв'язуванням складених задач, фабула яких вміщує залежності між пропорційними величинами, доцільно повторити правила, що виражають ці залежності, і записати їх у символічній формі. Можна подати ці залежності у вигляді компактних таблиць, що є узагальненням знань, здобутих при розв'язуванні простих задач, які зв'язують певну групу пропорційних величин, а саме:

Ціна (с)	Кількість (k)	Вартість (w)
□	□	?w=c*k
□	?k=w:c	□
? c=w:k	□	□

1)
В цій таблиці, як і в наступних, символом □ позначено відомі числові значення величин, а символом? - шукане значення величин; біля останнього символу записана формула для знаходження значення певної величини. За зразком формулювання правил знаходження значень величин, який подає вчитель, учні під його керівництвом свідомо повторюють ці правила, а отже, засвоюють мовні математичні конструкції, які виражають зв'язки між величинами цієї групи.

Правила: 1) Щоб знайти вартість, треба ціну помножити на кількість.

2)Щоб знайти кількість, треба вартість поділити на ціну.

3) Щоб знайти ціну, треба вартість поділити на кількість.

Отже, таблиця 1) ілюструє зв'язки між величинами ціна, кількість, вартість. Друга таблиця, яку подаємо нижче, ілюструє зв'язки між величинами

швидкість, час, відстань.

2)

Швидкість (v)	Час (t)	Відстань (s)
□	□	?S=v*t
□	? t =S:v	□
?v=S:t	□	□

Аналогічно як за таблицею 1) формулюємо правила про зв'язки між величинами за таблицею 2). Математична конструкція цих правил така сама, але в ній відображена інша група величин.

Правила: 1) Щоб знайти відстань, треба швидкість помножити на час.

2) Щоб знайти час, треба відстань поділити на швидкість.

3)Щоб знайти швидкість, треба відстань поділити на час.

Наведемо ще одну групу пропорційних величин - продуктивність праці,

час, виконана робота і сформулюємо правила, які виражають залежності між ними, скориставшись таблицею 3).

Продуктивність праці (Р)	Час (t)	Виконана робота (r)
□	□	?r=P*t
□	? t =r:P	□
?P=r:t	□	□

Правила: 1) Щоб знайти виконану роботу, треба продуктивність праці пом­ножити на час.

2) Щоб знайти час, треба виконану роботу поділити на продук­тивність праці.

3) Щоб знайти продуктивність праці, треба виконану роботу поді­лити на час, за який її виконали.

Аналогічно можна розглянути таблиці, в яких виражено зв'язки між іншими пропорційними величинами, які стосуються задач на визначення маси кількох однакових предметів, на витрати продукції за певний час і т.п. Важливо, що, вчитель, узагальнюючи роботу з такими таблицями, звернув увагу учнів на розташування пропорційних величин в таблиці та на структуру математичних конструкцій, які виражають залежності між пропорційними величинами. А розташовують величини в таблиці так, щоб в третій колонці була та величина, значення якої знаходять дією множення значень двох інших величин, а в першій колонці - та величина, яка характеризує один об'єкт, чи деяке явище (працю, рух) за одиницю часу (наприклад, вартість одного об'єкта - ціна; виконана робота за одиницю часу - продуктивність праці; пройдена відстань за одиницю часу - швидкість; маса одного об'єкта; витрата продукції на один виріб чи за одиницю часу і т.ін.). При такому розташуванні величин в таблиці значення величин першої чи другої колонок знаходять дією ділення значення величини, розташованої в третій колонці, на значення величини, яка знаходиться відповідно у другій чи першій колонці.

Таке стисле й доступне пояснення вчителя, яке містить найсуттєвіші ознаки таблиць, в яких закладена важлива математична інформація, є зразком для наслідування учнями під час їх відповідей на окремі запитання в процесі бесід по опитуванню та зразком мислення і міркування під час розв'язування як простих, так і складених задач. Розглянемо деякі типи складених задач.