Лабораторная работа № 2. Аналитические методы моделирования объекта с сосредоточенными параметрами

Цель работы: привитие навыков применения основных законов сохранения при моделировании объектов с сосредоточенными параметрами; освоение приемов моделирования и анализа объектов в пакете Simulink.

 

2.1 Описание процесса

Объектом исследования является мельница, в которую поступает входной поток исходного перерабатываемого материала , содержащего крупные фракции. Выходной поток из мельницы пропорционален массе материала в мельнице М

где a - константа пропорциональности.

В мельнице происходит измельчение крупной фракции со скоростью W, пропорциональной массе крупной фракции

где .

Здесь m - масса мелкой фракции в мельнице; С - доля мелкой фракции; k₀ (1/час) - константа скорости измельчения; М⁺ - характерная масса, соответствующая максимальной скорости измельчения (максимальной производительности мельницы). Значение М⁺ = 10 т; k₀ = 1,5 (1/час).

Математическая модель процесса в виде системы дифференциальных уравнений выводится на основе аналитических методов моделирования. При составлении уравнений математической модели процесса используются следующие уравнения баланса:

а) баланс общей массы в мельнице

;

б) баланс массы мелких фракций (готового продукта) в мельнице

.

Система дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемый процесс имеет вид:

,

.

В лабораторной работе исследуется производительность мельницы как функция выходного потока .

 

2. 2 Моделирование систем в пакете Simulink

Пакет моделирования динамических систем Simulink предназначен для математического моделирования линейных и нелинейных динамических систем и устройств, представленных своей функциональной блок-схемой, именуемой моделью.

Для построения функциональной блок-схемы моделируемых устройств пакет Simulink системы MatLab имеет обширную библиотеку блочных компонентов и удобный редактор блок-схем. Ввод характеристик исследуемых систем производится в диалоговом режиме, путем графической сборки схемы соединений стандартных элементарных звеньев. В результате такой сборки образуется модель исследуемой системы, которую называют S-моделью. Модель хранится в файле с расширением .mdl.

Simulink автоматизирует следующий наиболее трудоемкий этап моделирования: он составляет и решает сложные системы алгебраических и дифференциальных уравнений, описывающих заданную функциональную схему (модель), обеспечивая удобный и наглядный визуальный контроль за поведением созданного пользователем виртуального устройства.

Чтобы запустить пакет необходимо из командного окна MatLab выбрать команду File/New/Model или нажать соответствующую кнопку на панели инструментов. При этом открывается окно Simulink Library Browser с перечнем разделов библиотеки Simulink. Выбрав в этом окне File/New/Model создаем пустое окно untitled – заготовку для создания новой модели. Вид экрана приведен на рисунке 2.1.

Для построения S-модели используются блоки из библиотеки Simulink. Библиотека блоков Simulink представляет собой набор визуальных объектов, используя которые можно собирать, как из кубиков, произвольную конструкцию. Для любого блока можно получать требуемое число копий и использовать каждую из них автономно. Более того, практически для всех блоков существует возможность индивидуальной настройки: пользователь может изменить как внутренние параметры блоков (например, количество входов), так и внешнее оформление (размер, цвет, имя и т. д.). На порядок соединения блоков друг с другом также не накладывается ни­каких ограничений. Конечно, при связывании блоков необходимо соблюдать определенные правила, которые обусловлены в основном логикой работы самой модели, а не специальными требованиями Simulink.

Состав библиотеки может быть пополнен пользовательскими блоками.

 

2.3 Реализация модели процесса

Модель процесса представляет собой систему дифференциальных уравнений второго порядка для определения масс крупной M(t) и мелкой

Рисунок 2.1 – Окно пакета Simulink для создания новой модели

фракций m(t). Для преобразования этих уравнений в блок-схемы используется следующая идея. Вначале формируются правые части уравнений, считая, что M и m известны, в результате получаются dM/dt и dm/dt. Проинтегрировав эти выражения, получаем значения M(t) и m(t). Полученные величины теперь можно использовать для формирования правых частей уравнений (обратной связью). Итак, формирование блок-схемы состоит из следующих шагов:

а) в основу блок-схемы каждого уравнения положен блок Integrator, на его вход подаются величины, полученные в результате расчета правых частей уравнений; выходы этих блоков представляют искомые значения M(t) и m(t);

б) сформировать отдельным блоком в виде подсистемы (блок Subsystem) правую часть первого уравнения, используя в качестве входных процессов полученные значения M(t), а также функцию входного потока Φ₀; вторая подсистема (для второго уравнения) в качестве входных процессов использует полученные значения M(t) и m(t).

В подсистемах для формирования выражений правых частей уравнений используется блок fcn. Этот блок имеет только один входной порт. Если надо подать на вход блока несколько сигналов, их надо объединить в один вектор блоком Mux. Входной сигнал (скаляр или вектор) блока fcn обозначается буквой u, если этот сигнал является вектором, то его компоненты обозначаются u(1), u(2),..., нумерация компонентов вектора в том порядке, в каком они поданы на блок Mux; выражение в окне настройки блока формируется по правилам языков программирования;

в) используя созданные подсистемы, связать сформированные процессы M(t) и m(t) с соответствующими входами подсистем, а выход подсистем связать с окном просмотра результатов моделирования Scope;

г) выход второй подсистемы m(t) связать с блоком Gain и получить исследуемую производительность ; отразить Р в смотровом окне Scope;

д) теперь необходимо сформировать входной поток; здесь также используется блок fcn, в котором формируется выражение для входного потока (по варианту); так как входной поток задан как явная функция времени, то на вход этого блока fcn надо подать сигнал с блока Clock.

 

2.4 Задание к выполнению лабораторной работы

2.4.1 В пакете Simulink системы MatLab построить блок-диаграмму динамической модели процесса. Сохранить файл с моделью.

2.4.2 Провести имитационные эксперименты на модели (по варианту). Найти наиболее производительные режимы.

2.5 Требования к отчету

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

- блок-диаграммы модели с поясняющими комментариями.

- результаты проведенных исследований.

 

2.6 Варианты заданий

В вариантах 1-8 коэффициент a = 0.5 (1/час).

2.6.1 Исследовать производительность мельницы как функцию входного потока Ф₀(t) = a*exp(-bt). Найти наиболее производительные режимы.

2.6.2 Исследовать производительность мельницы как функцию входного потока Ф₀(t) = a*exp(bt). Найти наиболее производительные режимы.

2.6.3 Исследовать производительность мельницы как функцию входного потока Ф₀(t) = a₁*t² + a₂t + a₃. Найти наиболее производительные режимы.

2.5.4 Исследовать производительность мельницы как функцию входного потока Ф₀(t) = a₁t + a₂. Найти наиболее производительные режимы.

2.6.5 Исследовать производительность мельницы как функцию входного потока Ф₀(t) = sqrt(a₁t + a₂). Найти наиболее производительные режимы.

2.6.6 Исследовать производительность мельницы как функцию входного потока Ф₀(t) = a₁/(a₂t + a₃). Найти наиболее производительные режимы.

2.6.7 Исследовать влияние на производительность мельницы частоты w периодически изменяющегося входного потока Ф₀(t) = Ф₀^* + 2.5cos(wt), где Ф₀^* = 5 т/час. Требуется найти наиболее «опасные» частоты колебаний входного потока.

2.6.8 Исследовать влияние на производительность мельницы амплитуды А периодически изменяющегося входного потока Ф₀ = Ф₀^* + Аcos(0.2t), где Ф₀^* = 5 т/час. Требуется найти амплитуды наиболее «опасных» колебаний входного потока.

2.6.9 Исследовать влияние на производительность мельницы частоты w периодически изменяющегося коэффициента a: a= a₀ + 0.25cos(wt), где a₀= 0.5 (1/час). Выбрать оптимальный режим изменения a.

2.6.10 Исследовать влияние на производительность мельницы амплитуды a₁ периодически изменяющегося коэффициента a: a= a₀ + a₁cos(0.2t), где a₀ = 0.5 (1/час). Выбрать оптимальный режим изменения a.

 

2.7 Контрольные вопросы

2.7.1 Каковы основные типы математических моделей?

2.7.2 В чем отличие аналитических методов моделирования от

экспериментальных?

2.7.3 Какие законы сохранения используются для вывода уравнений

модели рассматриваемого процесса?

2.7.4 К какому классу относится модель рассматриваемого процесса?

2.7.5 Как по виду модели определить, является ли она динамической?

2.7.6 Объясните назначение пакета Simulink?

2.7.7 Что собой представляет подсистема в Simulink?

2.7.8 Объясните назначение блоков Clock, Integrator, fcn, Gain?

2.7.9 Какие варианты просмотра результатов экспериментов на модели вы знаете?

2.7.10 Какой буквой обозначается входной сигнал блока fcn?