Розподіл нормальних напружень під час згину

Уявімо брус поперечного перерізу площею F, жорстко закріплений одним кінцем і навантажений повздовжньою розтягуючою силою (мал. 2.14,а). Проаналізуємо напружений стан балки. У даному випадку, зрозуміло, виникає деформація розтягу. У будь-якому нормальному поперечному перерізі між вільним і закріпленим кінцями балки будуть створюватися однакові напруження. Всі перерізи рівнонебезпечні. Це можна встановити, використавши метод перерізів. Тоді виявиться, що у будь-якому перерізі внутрішні сили пружності рівні зовнішній силі Р. У всіх точках перерізу напруження однакові (адже внутрішні сили під час розтягу розподілені по перерізу рівномірно) і рівні

Мал..2.14. Згинаюче навантаження консольної балки

Замінимо положення бруса в просторі (мал. 2.14,б) і знову проаналізуємо напружений стан. Виявляється, що всі висновки, наведені раніше, залишилися справедливими.

Змінимо напрям дії прикладеної сили і проаналізуємо попередні випадки. В досліджуваних випадках балка зазнаватиме деформації згину. Для цих випадків довільні перерізи балки вже не будуть рівнонебезпечними. Дослідження виявили, що найнебезпечнішим є переріз закріплення балки в опору. Це пов’язано з тим, що момент створюваний силою Р, в цьому перерізі буде найбільшим. Адже величина моменту залежить не лише від величини сили Р, а й від плеча сили, і безпосередньо в перерізі, який співпадає з кріпленням, плече найбільше. Величину цього моменту можна визначити, застосувавши метод перерізів.

Отже, під час прикладання згинаючого навантаження існує небезпечний переріз.

Порівнюючи стан бруса, зображеного на (мал.14,в,г), можемо виявити, що опір деформуванню у випадку зображеному на (мал.14,г) буде більшим, не дивлячись на те, що переріз обох балок рівний. Відрізняються обидва перерізи лише орієнтацією у просторі. В першому варіанті матеріал розташований ближче до нейтральної осі (вісь z - z), в іншому - далі (вісь y-y). В обох випадках перерізом балки є прямокутник, однак в одному випадку він має більшу основу, а в іншому навпаки.

Отже, опір деформації залежить як від розмірів поперечного перерізу, так і від орієнтації його по відношенню до згинальної сили.

Однак, через те, що основний опір чинять периферійні шари матеріалу, доцільно під час згину застосувати брус з перерізом, в якому матеріал розташований далі від нейтральної осі. Так, при одній і тій же площі поперечного перерізу в якості балки доцільніше використати трубу, ніж цільний металевий пруток. Найвигіднішими профілями балки є двотаври або швелери (мал.2.15), у яких основна частина матеріалу віднесена на значну відстань від нейтральної осі.

Як і під час вивчення деформації кручення, ми не будемо виводити формулу для визначення максимальних дійсних навантажень згину. Прослідкуємо лише за послідовністю міркувань. Для цього використаємо метод перерізів.

Мал.2.15. Стандартні профілі прокату

Спочатку визначимо величину відносної деформації (розтягу або стиску) в довільній точці перерізу, яка нас цікавить на зігнутому брусі. Потім за законом Гука визначимо напруження в цій точці. Так як напруження є елементарною нормальною внутрішньою силою, то наступним етапом є визначення певного елементарного внутрішнього згинаючого моменту цієї сили відносно нейтральної осі.

Знайдені для різних точок елементарні внутрішні моменти сумуються по всій площині, і отримана сума прирівнюється до зовнішнього згинального моменту. В результаті маємо формулу для визначення максимальних згинаючих напружень

Знак "±" означає, що в точках, найбільш віддалених від нейтральної осі, які розташовані по обидві сторони від неї, виникають різні за характером деформації нормальних напружень: в одному випадку - напруження розтягу, в другому - напруження стиску. Величина, що позначається , називається осьовим моментом опору згину. Вона характеризує спроможність поперечного перерізу опиратися деформації згину відносно нейтральної осі. Величина залежить від форми і розмірів поперечного перерізу та його орієнтації по відношенню до напрямку дії згинаючого моменту, для чого до літери додають індекс, який відповідає позначенню нейтральної осі. Наприклад або . Розмірність - м³ та інші похідні величини см³, мм³.

Для квадратного перерізу з стороною а:

;

для прямокутного перерізу (мал.14,в)

, ;

для круглого перерізу