Любая система счисления – это система кодирования числовых величин, позволяющая выполнять операции кодирования и декодирования.

По любой количественной величине можно однозначно найти ее кодовое представление и по любой кодовой записи – восстановить соответствующую ей числовую величину.

Классификация СС

Непозиционные СС

I = 1

V = 5

Х = 10

L = 50

С = 100

D = 500

М = 1000

Непозиционные СС

Все позиционные системы счисления строятся по общему принципу: определяется величина q – основание системы, а любое число «a» записывается в виде комбинации степеней веса р от 0-й степени до степени s.

Позиционные СС

Пусть q - натуральное число большее 1 и M={0, 1, …, q-1}.

Говорят, что натуральное число “a” записано в позиционной системе с основанием q, если

где s - целое неотрицательное, а₀, …, a_s ÎM и a_s≠0.

Если каждое число множества M={0, 1, …, q-1} обозначено специальным символом, то эти символы называются цифрами q-ичной позиционной системы.

Запись числа в q-ичной позиционной системе счисления выглядит так:

a=(a_sa_s-1a_s-2…a₁)_q

Принятая система записи числа основана на том, что q единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего, более старшего разряда.

Это дает возможность проводить арифметические действия в любой позиционной системе счисления по тем же правилам, что в десятичной системе счисления.

Наиболее используемые в информатике системы счисления:

двоичная, над алфавитом Х = {0,1};

восьмеричная, над Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};

шестнадцатеричная, над Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F}, где символы А, В, С, D, Е, F имеют десятичные веса 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Примеры:

1101₂ = 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰

157₈ = 1*8² + 5*8¹ + 7*8⁰

A6F₁₆ = А*16² + 6*16¹ + F*16⁰

110,01₂ = 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ + 0*2^-1 + 1*2^-2

A,B₁₆ = A*16⁰ + B*16^-1

Перевод чисел

Общая задача перевода чисел из одной системы счисления в другую:

Дано:

x=(p_np_n-1…p₀p_-1p_-2…)_P

p_i – цифры p-ичной системы.

Найти:

x=(q_sq_s-1…q₀q_-1q_-2…)_q

q_j – искомые цифры q-ичной системы.

Перевод Q->P

Запись и вычисление значения полинома

X=x_nqⁿ+x_n-1q^n-1+…+x₁q¹+x₀q⁰+x_-1q^-1+…+x_-mq^-m

где все цифры x_i и число q заменяются их p-ичными изображениями и все требуемые операции выполняются в p-ичной системе счисления.

Пример:

Перевести (371)₈ в Х₁₀

Перевести (AF,4)₁₆ в Х₁₀

Перевод целой части числа

Перевод дробной части числа (его мантиссы)

N – целое число в p-ичной системе счисления.

N=(q_sq_s-1…q₁q₀)_Q, где искомые цифры определяются по следующим рекуррентным формулам:

q_i=Q - остаток от деления N на Q

N_i+1= - целая часть от деления N на Q

i=0,1,2,…; N₀=N и процесс продолжается до тех пор, пока не станет N_i+1=0.

Пример:

Перевести N=(3060)₁₀ в X₁₆

Пусть х - правильная дробь (0<х<1), заданная в p-ичной системе счисления.

Тогда х=(0,q_-1q_-2…q_-m)_Q, где искомые цифры определяются по следующим рекурентным формулам:

q_-(i+1)=[x_i·Q], x_i+1={x_i·Q}, i=0, 1, 2, …; x₀=x

и процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено х_i+1=0 либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа.

Пример:

Перевести N=(0,2)₁₀ в X₂

Пусть х>1 – произвольное число, заданное своим изображением в системе счисления с основанием Р.

Подберем число M=Q^k, чтобы число X/M<1.

Полученную правильную дробь можно перевести в Q-ичную систему с использованием только операций умножения.

Для получения Q-ичного изображения исходного числа х достаточно результат умножить на Q^k, что равносильно перенесению запятой в Q-ичном изображении числа на k разрядов вправо.

Пример:

Перевести 502,5₁₀ в X₈

Системы счисления, в которых каждый коэффициент p-ичного разложения числа записывается в q-ичной системе, q<p называются смешанными.

В такой системе p называется старшим основанием, q –младшим основанием, а сама смешанная система называется q-p -ичной.

925₁₀ в двоично-десятичной системе записывается в виде 1001 0010 0101

Эта запись отличается от двоичного изображения данного числа.

В двоичной системе счисления это десятичное число 2341, а не исходное 925.

Пусть p=q^L, (L – целое положительное число).

Тогда запись какого либо числа в p-q-ичной системе счисления тождественно совпадает с изображением этого числа в системе счисления с основанием q.

Обратный код числа

Обратным кодом числа в системе с основанием р называется число в этой системе, получаемое заменой цифры, символа в каждом разряде числа на его дополнение до максимальной цифры в системе (то есть до р – 1).

Пример:

Двоичное число:

Обратный код:

Дополнительный код числа

Дополнительный код

=

Обратный код

+

Единица в младшем разряде

Пример:

Двоичное число:

Обратный код:

Дополнительный код:

+ 1

--------