Обобщённый импульс в теоретической механике

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости

{\displaystyle p_{i}={{\partial {\mathcal {L}}} \over {\partial {\dot {q}}_{i}}}.}В случае, если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то в силу уравнений Лагранжа {\displaystyle dp_{i}/dt=0}.

Для свободной частицы в релятивистской механике функция Лагранжа имеет вид: {\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}, отсюда:

{\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}Независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве следует из свойства однородности пространства: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства мы её поместим. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины. Эту величину и называют импульсом (обычным, не обобщённым).

Обобщённый импульс в электромагнитном поле

В электромагнитном поле обобщённый импульс частицы равен:

{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\mathbf {A},}где {\displaystyle \mathbf {A} } — векторный потенциал электромагнитного поля.

Формальное определение импульса

Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (инвариант относительно трансляций).

Импульс электромагнитного поля

Электромагнитное поле, как и любой другой материальный объект, обладает импульсом, который легко можно найти, проинтегрировав вектор Пойнтинга по объёму:

Существованием импульса у электромагнитного поля объясняется, например, такое явление, как давление электромагнитного излучения.

Импульс в квантовой механике

Формальное определение

В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид

{\displaystyle {\hat {\mathbf {P} }}=\sum _{j}{\hat {\mathbf {p} }}_{j}=\sum _{j}-i\hbar \nabla _{j}}где {\displaystyle \nabla _{j}} — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам {\displaystyle j}-ой частицы. Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

{\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}{\hat {\mathbf {p} }}_{i}^{2}+U(\mathbf {r_{1}},\dots)}Для замкнутой системы ({\displaystyle U=0}) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом и импульс сохраняется.

Определение через волны де Бройля

Формула де Бройля связывает импульс и длину волны де Бройля.

Модуль импульса обратно пропорционален длине волны {\displaystyle \lambda }{\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}},где {\displaystyle h} — постоянная Планка.

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью {\displaystyle v\ll c} (скорости света), модуль импульса равен {\displaystyle p=mv} (где {\displaystyle m} — масса частицы), и

{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}}Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.В векторном виде это записывается как:

{\displaystyle {\vec {p}}={\frac {h}{2\pi }}{\vec {k}}=\hbar {\vec {k}},}где {\displaystyle {\vec {k}}} — волновой вектор.

Импульс в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа {\displaystyle \ \rho }. А вместо импульса фигурирует вектор плотности импульса, совпадающий по смыслу с вектором плотности потока массы

{\displaystyle {\vec {p}}=\rho {\vec {v}}}Поскольку в турбулентном потоке характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить {\displaystyle \ \rho ={\overline {\rho }}+\rho '}, {\displaystyle \ {\vec {v}}={\overline {\vec {v}}}+{\vec {v}}'}, где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса приобретёт вид:

{\displaystyle \ {\overline {\vec {p}}}={\overline {\rho {\vec {v}}}}={\overline {\rho }}~{\overline {\vec {v}}}+{\vec {S}}}где {\displaystyle \ {\vec {S}}={\overline {\rho '{\vec {v}}'}}} — вектор плотности флуктуационного потока массы (или «плотность турбулентного импульса»).

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении системы в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии внешнего воздействия скорость изменения импульса определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной из фундаментальных симметрий, — однородностью пространства ^[2].

Закон сохранения импульса впервые был сформулирован Р. Декартом

Вывод в механике Ньютона

Согласно второму закону Ньютона для системы из N частиц:

{\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}},}где {\displaystyle {\vec {p}}} импульс системы {\displaystyle {\vec {p}}=\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n},}а {\displaystyle {\vec {F}}} — равнодействующая всех сил, действующих на частицы системы

{\displaystyle {\vec {F}}=\sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}+\sum _{n=1}^{N}\sum _{m=1}^{N}\ {\vec {F}}_{n,m},\qquad m\neq n,\qquad \qquad (1)}Здесь {\displaystyle {\vec {F}}_{n,m}=} — равнодействующая сил, действующим на n -ю частицу со стороны m -ой, а {\displaystyle {\vec {F}}_{k}^{ext}} — равнодействующая всех внешних сил, действующих k -ю частицу. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида {\displaystyle {\vec {F}}_{n,m}} и {\displaystyle {\vec {F}}_{m,n}} будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть {\displaystyle {\vec {F}}_{n,m}=-{\vec {F}}_{m,n}.}. Поэтому вторая сумма в правой части выражения (1) будет равна нулю, и получаем, что производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему:

{\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}\qquad \qquad (2).}Внутренние силы исключаются третьим законом Ньютона.

Для систем из N частиц, в которых сумма всех внешних сил равна нулю

{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}=0,}или для систем, на частицы которых не действуют внешние силы {\displaystyle {\vec {F}}_{k}^{ext}=0,} (для всех k от 1 до n), имеем

{\displaystyle \qquad {\frac {d}{dt}}\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}=0.}Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}\qquad }(постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы из N частиц, где N любое целое число, есть величина постоянная. При N=1 получаем выражение для одной частицы. Таким образом, следует вывод

Закон сохранения импульса выполняется не только для систем, на которые не действуют внешние силы, он справедлив и в тех случаях, когда сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю. То есть отсутствие внешних сил, действующих на систему, достаточно, но не необходимо для выполнения закона сохранения импульса.

Если проекция суммы внешних сил на какую-либо направление или координатную ось равна нулю, то в этом случае говорят о законе сохранения проекции импульса на данное направление или координатную ось.

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторнаяфизическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора, проведённого от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения момента силы является ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеданад рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метра от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров от оси вращения. Более точно момент силы частицы определяется как векторное произведение:

{\displaystyle {\vec {M}}=\left[{\vec {r}}\times {\vec {F}}\right]}, M=FxR

где {\displaystyle {\vec {F}}}F — сила, действующая на частицу, а {\displaystyle {\vec {r}}}R — радиус-вектор частицы.

 

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения. Однако крайне важен и для гораздо более широкого класса задач (особенно — если в задаче есть центральная или осевая симметрия, но не только в этих случаях).

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется. Момент импульса является одним из трёх аддитивных (энергия, импульс, момент импульса) интегралов движения.

Определение

Момент импульса {\displaystyle \mathbf {L} } материальной точки относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса:

{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p},}L=rxp

где {\displaystyle \mathbf {r} }r — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, {\displaystyle \mathbf {p} }p — импульс частицы.

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

{\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i},}где {\displaystyle \mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}} — радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системыэто может быть записано как {\displaystyle \mathbf {L} =\int \mathbf {r} \times \mathbf {dp},} где {\displaystyle \mathbf {dp} } — импульс бесконечно малого точечного элемента системы).

В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.

Из определения момента импульса следует его аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:

{\displaystyle \mathbf {L} _{\Sigma }=\sum \limits _{i}\mathbf {L} _{i}}.

Литература

· Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.

· Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.

· Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

· Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 4-е. — М.: Физматлит, 2002. — Т. I. Механика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0225-7.

· Айзерман М. А. Классическая механика. — М.: Наука, 1980. — 368 с.