ТОП 10:

Погрешности измерений физических величин



Различают прямые и косвенные измерения. При прямых измерениях искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных. Например: измерение длины линейкой или штангенциркулем, измерение температуры термометром и т.д. При косвенных измерениях искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, получаемыми прямыми измерениями. Например, определение плотности тела по измерениям его массы и геометрических размеров.

Прямые измерения.

В зависимости от причин, их вызывающих, ошибки измерения делят на случайные, систематические и грубые. Под случайными ошибками понимают ошибки, значения которых меняются от одного измерения к другому. Величина их не может быть установлена до опыта. Их возникновение вызвано неточностью измерения (случайными ошибками экспериментатора, неточным соблюдением методики измерения и т.д.) и непостоянством самой измеряемой величины (например, диаметра цилиндра или толщины пластины).

Систематическая погрешность – это составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Она может быть учтена или исключена изменением метода измерения, введением поправок к показаниям приборов, учетом систематического влияния внешних факторов и т.п. (например, поправка, связанная с изменением длины измерительной линейки и тела в результате теплового расширения).

Грубые ошибки (промахи) являются также случайными, однако причиной грубых ошибок обычно являются неисправность измерительной техники или ошибки в работе экспериментатора. Поэтому, когда грубые ошибки значительны, они обнаруживаются без большого труда и этот результат должен быть исключен.

Основным объектом изучения теории ошибок являются случайные ошибки при отсутствии систематических ошибок. Если какая-либо величина измеряется в одинаковых условиях несколько раз, то возникает необходимость в статистической обработке результатов измерений этой величины, чтобы учесть и оценить случайные ошибки.

Обозначим х0 не известное нам точное значение измеряемой величины.

Произведя n измерений, получим х1, х2, х3, ..., хn – значения измеряемой величины, которые называются результатами наблюдения. Величины хi (i = 1, 2, 3, ..., n) отличаются друг от друга и от х0. Если величины хi измерены с одинаковой точностью, то для оценки х0 применяют среднее арифметическое значение результатов наблюдений:

. (2.1)

Среднее арифметическое называется результатом измерений. Поскольку величины результатов наблюдений хi носят случайный характер, то результат измерения – величина – тоже будет случайной величиной и отклонения от результатов наблюдения хi будут случайными:

. (2.2)

Следует отметить, что величина Dхi значительно меньше величины хi. При большом числе измерений влияние каждого отдельного результата наблюдения хi на величину примерно равноценно.

Абсолютная погрешность результата измерений Dх, равная отклонению от х0, тоже будет величиной случайной:

. (2.3)

Так как величина х0 нам не известна, оценим величину Dх через Dхi. Dх состоит из многих случайных величин Dхi, из которых ни одна не доминирует над остальными. При этом условии случайные погрешности Dхi подчиняются нормальному закону распределения Гаусса, который можно записать в виде

, (2.4)

где функция носит название функции Гаусса; s – средняя квадратичная погрешность результата наблюдения.

Для серии n измерений среднеквадратичную погрешность наиболее точно можно оценить по формуле

. (2.5)

Эта формула тем справедливее, чем больше число измерений. Однако в 1908 г. В. Госсет (псевдоним "Стьюдент") доказал, что статистический подход справедлив и при малом числе измерений.

Остановимся на понятии доверительная вероятность wизмерений. Выбранное значение доверительной вероятности (например, w = 0,9) означает, что при достаточно большом числе измерений примерно 90 % их приведет к результатам, отличающимся от истинного не более, чем на . Понятно, что большее значение доверительной вероятности соответствует большему значению погрешности наших измерений.

Доверительную границу погрешности Dх для заданной w и при малом n определяют по формуле

, (2.6)

где – коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности w и числа измерений n, находится по таблице 2.1 для заданных w и n.

 

Таблица 2.1 – Значения коэффициента Стьюдента

n w n w
  0,9 0,95 0,99   0,9 0,95 0,99
6,3 12,7 63,7 1,9 2,4 3,7
2,9 4,3 9,9 1,9 2,4 3,5
2,4 3,2 5,8 1,9 2,3 3,4

 

Обычно в лабораторных работах считается достаточной доверительная вероятность w = 0,9.

Окончательный результат измерения представляется в виде:

, (2.7)

что означает: измеряемая величина принадлежит интервалу значений c доверительной вероятностью w.

Для сравнения точности измерений величин обычно вычисляется относительная погрешность

. (2.8)

По величине относительной погрешности удобно сравнивать и результаты измерений однородных величин.

Косвенные измерения.

Обычно приходится вычислять искомую величину по результатам измерений других величин, связанных с этой величиной определенной функциональной зависимостью. Такие измерения называются косвенными. Например, плотность тела (пластины) определяется через массу тела и его объем, например, для пластины:

, (2.9)

где L, b, h – линейные размеры пластины.

Величины m, L, b, h можно измерить, а затем вычислить плотность.

Итак, чаще всего искомая величина является функцией нескольких переменных:

. (2.10)

Если величины x, y, z, ... случайны, то А тоже будет случайной величиной.

Из теории вероятностей известно, что среднее значение функции случайной величины приближенно равно функции от средних значений ее аргументов при условии, что погрешности измерений аргументов Dх, Dy, Dz, ... малы по сравнению с величинами x, y, z, ... . То есть можно записать

, (2.11)

где – среднее значение величины А; – средние значения величин x, y, z, ... (см формулу 2.1).

Для оценки доверительной границы случайной погрешности косвенного измерения можно использовать приближенный метод, который заключается в следующем. Если распределения величин хi, yi, zi, ... нормальные (i – порядковый номер измерения), то распределение величины Аi тоже будет нормальным, поэтому для определения доверительной границы случайной погрешности косвенного измерения DАгр можно применить метод обработки случайных погрешностей прямых измерений.

С этой целью найдем значения

и (2.12)

для каждого номера измерений.

Аналогично формуле (2.2) рассчитаем величины DАi:

. (2.13)

Доверительная погрешность DАгр при малом числе измерений (расчетов) определяется аналогично формулам (2.5), (2.6):

, (2.14)

где tw,n – коэффициенты Стьюдента (см. таблицу 2.1) для заданных w и n.

Результат косвенного измерения величины А представляется в форме

. (2.15)

Относительная величина случайной погрешности косвенного измерения определяется, как и в случае прямых измерений, по формуле

. (2.16)

Плотность тела

Плотностью тела называется величина, измеряемая массой вещества, заключенной в единице объема тела.

Средняя плотность выражается формулой

, (2.17)

где m – масса тела, кг; V – объем тела, м3. Единицей плотности является кг/м3.

Масса – физическая величина, одна из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные и гравитационные свойства. В соответствии с принципом эквивалентности инертная и гравитационная массы численно равны.

Весом тела называют силу, с которой тело вследствие его притяжения к Земле действует на связь (опору или подвес). Поэтому можно определять массу тела взвешиванием на рычажных весах. При этом сравнивают веса тела и разновесков. Когда весы уравновешены, можно утверждать, что вес тела равен весу разновесков. Но если равны веса тел, то равны и их массы. Так как на разновесках указаны именно массы, то массу тела мы определяем, просто сложив числа, указанные на разновесках.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-01-24; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.219.217.107 (0.007 с.)