Различные уравнения прямой на плоскости.

1. Общее уравнение прямой на плоскости.

Всякое уравнение первой степени относительно х и у, то есть уравнение вида

, (11.1)

где – постоянные коэффициенты, причем , определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой. Справедливо и обратное утверждение: в декартовых координатах всякая прямая определяется уравнением первой степени относительно и .

2. Неполное уравнение прямой. Если в общем уравнении прямой (11.1) один или два из трех коэффициентов обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:

1) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, проходящую через начало координат;

2) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси ;

3) ; уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси ;

4) ; уравнение может быть записано в виде и определяет ось ;

5) ; уравнение записывается в виде и определяет ось .

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если из общего уравнения прямой выразить у как функцию переменной , то получим уравнение

, (11.2)

которое называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Угловой коэффициент равен тангенсу угла, образованного прямой с положительным направлением оси . Коэффициент равен ординате точки пересечения прямой с осью .

4. Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой , то поделив все члены уравнения на , получим уравнение вида

(11.3)

которое называется уравнением прямой в отрезках, и - отрезки, отсекаемые прямой от осей координат .

5. Нормальное уравнение прямой.

Если обе части общего уравнения прямой умножить на число , которое называют нормирующим множителем, то получим уравнение

. (11.4)

Это уравнение называют нормальным уравнением прямой. Знак нормирующего множителя выбирают из условия . Коэффициент в нормальном уравнении прямой равен длине перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую и определяет расстояние от начала координат до прямой; - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси .

6. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Если даны координаты двух точек М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂), то уравнение прямой, проходящей через эти точки, записывается в виде:

. (11.5)

Если , то уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид . Если , то уравнение имеет вид .

 

7. Каноническое уравнение прямой на плоскости.

Всякий ненулевой вектор , лежащий на данной прямой или параллельный данной прямой, называют направляющим вектором этой прямой. Уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀; у₀) в направлении вектора имеет вид:

. (11.6)

Это уравнение называют каноническим уравнением прямой на плоскости.

 

8. Параметрические уравнения прямой на плоскости.

Если каждое из равных отношений в каноническом уравнении прямой обозначить буквой t и из полученных равенств выразить х и у, то получим систему:

(11.7)

Эту систему называют параметрическими уравнениями прямой на плоскости, проходящей через точку М₀(х₀; у₀) в направлении вектора .

9. Расстояние от точки до прямой Ах + Ву + С = 0 находится по формуле: .

Отклонением точки от прямой Ах + Ву + С = 0 называют величину .

10. Угол между прямыми.

Две прямые на плоскости могут быть параллельными, совпадающими или пересекающимися. Если прямые заданы общими уравнениями

, , то:

1) если - прямые совпадают;

2) если - прямые параллельны;

3) если - прямые пересекаются.

Угол между прямыми можно определить по формуле:

.

Если , то прямые перпендикулярны.

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

, то:

1) если - прямые параллельны;

2) если - прямые перпендикулярны;

3) если - прямые пересекаются.

Угол между прямыми определяется по формуле: .

Если прямые пересекаются, то координаты точки пересечения определяют из системы:

в случае задания прямых их общими уравнениями. Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то система имеет вид:

Пример13. Даны вершины треугольника А(-5; 10), В(5; 16), С(3; 2). Написать:

1) уравнения сторон треугольника;

2) уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины А;

3) уравнение биссектрисы угла С;

4) вычислить длину высоты и медианы, проведенных из вершины А.

Решение.

1). Запишем уравнение стороны АВ: так как координаты вершин А и В известны, то воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:

или преобразуя получим

Запишем уравнение стороны АС: или

Запишем уравнение стороны ВС: , или

2). Вычислим координаты М середины стороны ВС:

Длину медианы АМ вычислим по формуле:

Запишем уравнение медианы АМ: или

Вычислим угловой коэффициент прямой ВС. Для этого выразим у из ее уравнения: ,

тогда угловой коэффициент . Высота, опущенная из вершины угла А, перпендикулярна стороне ВС. Ее угловой коэффициент найдем из условия перпендикулярности: . Тогда .

Запишем уравнение высоты, как уравнение прямой, проходящей через точку А(-5; 10) с угловым коэффициентом : .

Определим из условия, что точка А принадлежит прямой

Подставляя в уравнение высоты, получим: или .

3). По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника, имеем:

, где D – точка пересечения биссектрисы со стороной АВ.

Найдем координаты точки D по формулам деления отрезка в данном отношении:

Запишем уравнение биссектрисы СD:

, или после преобразования,

4). Длина высоты равна расстоянию d точки А от прямой ВС. Запишем нормальное уравнение прямой ВС:

Длина медианы АМ найдена в пункте 2.

 

Ответ: 1) , , ;

2) - уравнение медианы,

- уравнение высоты;

3) - уравнение биссектрисы угла С;

4) - длина высоты; - длина медианы.

Кривые второго порядка

1. Общее уравнение кривых второго порядка.

Всякое уравнение второй степени относительно х и у, то есть уравнение вида

, (12.1)

где - постоянные коэффициенты, причем , определяет на плоскости линию, которую принято называть кривой второго порядка. Верно и обратное. Существует четыре вида кривых второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола. Все они могут быть получены путем сечения конуса плоскостью и потому их еще называют кониками.

Уравнения кривых можно получить исходя из их геометрических свойств как некоторого геометрического места точек, удовлетворяющего определенным условиям.

2. Окружность. Окружностью называют геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если r – радиус окружности, а точка С() – ее центр, то уравнение окружности имеет вид:

. (12.2)

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности имеет простейший – канонический вид: .

Пример14. Составить уравнение окружности, проходящей через точки
А(5; 0) и В(1; 4), если центр ее лежит на прямой х – у – 3 = 0.

Решение.

Найдем координаты точки М – середины хорды АВ:

, то есть М(3; 2).

Центр окружности находится на перпендикуляре, восстановленном из середины отрезка АВ. Составим уравнение прямой АВ:

, или х + у – 5 = 0.

Угловой коэффициент прямой АВ равен -1, следовательно угловой коэффициент перпендикуляра . Уравнение перпендикуляра

у – 2 = 1(х – 3), или х – у – 1 = 0.

Центр окружности С лежит на прямой х + у – 3 = 0 по условию задачи, а также на перпендикуляре х – у – 1 = 0, то есть координаты центра удовлетворяют системе уравнений:

х – у – 3 = 0

х – у – 1 = 0.

Отсюда х = 2, у = 1, и точка С(2; 1).

Радиус окружности равен длине отрезка СА:

.

Уравнение окружности: (х – 2) ²+(у-1)² = 10.

3. Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная , большая чем расстояние между фокусами. Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

. (12.3)

Здесь - большая полуось эллипса, - малая полуось, причем если расстояние между фокусами равно 2с, то . Величина называется эксцентриситетом эллипса и характеризует меру сжатия. Так как с < , то < 1. Расстояния от некоторой точки М, расположенной на эллипсе, до фокусов называются фокальными радиус-векторами этой точки. Фокальные радиус-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам: .

Прямые и называются директрисами эллипса. Директрисы эллипса обладают следующим свойством: если r – фокальный радиус-вектор точки М, d – расстояние от этой точки до односторонней с фокусом директрисы, то .

Пример15. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16.

Решение.

По условию задачи Уравнение директрис ; расстояние между директрисами , отсюда ; так как , то , то есть с = 2.

Так как , то .

Уравнение эллипса: .

Замечание: если в каноническом уравнении эллипса , то фокусы эллипса лежат на оси ординат и ; уравнения директрис: ; фокальные радиус-векторы определяются по формулам: .

Пример 16. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами 2с = 24, эксцентриситет .

Решение.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид: .

По условию задачи с = 12. так как , то , то есть .

Так как , то .

Уравнение эллипса: .

4. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная , меньшая, чем расстояние между фокусами ().

 

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

, (12.4)

где .

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки и называют вершинами гиперболы. Отрезок называют вещественной осью гиперболы, а отрезок , соединяющий точки и , - мнимой осью. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых . Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые, заданные уравнениями называют директрисами гиперболы. Фокальные радиус-векторы правой ветви гиперболы: .

Фокальные радиус-векторы левой ветви гиперболы: .

Уравнение так же является уравнением гиперболы, но вещественной осью этой гиперболы служит отрезок оси OY длины . Точки и служат вершинами гиперболы. Ветви гиперболы расположены в верхней и нижней части координатной плоскости. Две гиперболы и называют сопряженными гиперболами.

Пример17. Эксцентриситет гиперболы равен . Составить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку М().

Решение.

По определению эксцентриситета, имеем , или .

Но , следовательно . Так как точка М() находится на гиперболе, то . Отсюда .

Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид: .

Пример 18. Угол между асимптотами гиперболы равен 60 ^о. Вычислить эксцентриситет гиперболы.

Решение.

Угловой коэффициент асимптоты гиперболы . Эксцентриситет гиперболы .

Подставляя значение углового коэффициента, получим

.

 

Пример 19. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку
М(9; 8), если асимптоты гиперболы заданы уравнениями .

Решение.

Из уравнения асимптоты имеем . Так как точка М(9; 8) принадлежит гиперболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, то есть .

Для отыскания полуосей гиперболы, имеем систему:

Решив систему, получим Искомое уравнение гиперболы имеет вид: .

5. Парабола. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой. Если директриса задана уравнением , а фокус находится в точке F(), то уравнение параболы имеет вид:

. (12.5)

Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс.

Уравнение является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат.

Длина фокального радиус-вектора параболы определяется по формуле .

Пример 20. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси OY и отсекающей на биссектрисе первого и третьего координатных углов хорду длиной 8 .

Решение.

Искомое уравнение параболы имеет вид .

Уравнение биссектрисы у = х. Определим точки пересечения параболы и биссектрисы:

Решив систему, получим О(0; 0) и М(2р; 2р).

Длина хорды ОМ = .

По условию имеем: ОМ = 8 , откуда 2р = 8.

Искомое уравнение параболы .

Уравнение плоскости

В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени относительно неизвестных х, у и z и каждое уравнение первой степени с тремя неизвестными определяет плоскость.

Возьмем произвольный вектор с началом в точке . Выведем уравнение геометрического места точек М(x,y,z), для каждой из которых вектор перпендикулярен вектору . Запишем условие перпендикулярности векторов:

(13.1)

Полученное уравнение линейное относительно x, y, z, следовательно, оно определяет плоскость, проходящую через точку перпендикулярно вектору . Вектор называют нормальным вектором плоскости. Раскрывая скобки в полученном уравнении плоскости и обозначая число буквой D, представим его в виде:

Ax + By + Cz + D = 0. (13.2)

Это уравнение называют общим уравнением плоскости. А, В, С и D – коэффициенты уравнения, А² + В² + С² 0.

1. Неполные уравнения плоскости.

Если в общем уравнении плоскости один, два или три коэффициента равны нулю, то уравнение плоскости называют неполным. Могут представиться следующие случаи:

1) D = 0 – плоскость проходит через начало координат;

2) А = 0 – плоскость параллельна оси Ох;

3) В = 0 – плоскость параллельна оси Оу;

4) С = 0 – плоскость параллельна оси Оz;

5) А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости ХОY;

6) А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости ХОZ;

7) В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости YOZ;

8) А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох;

9) В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу;

10) С = D = 0 – плоскость проходит через ось Оz;

11) А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью XOY;

12) А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью XOZ;

13) С = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью YOZ.

2. Уравнение плоскости в отрезках.

Если в общем уравнении плоскости D 0, то его можно преобразовать к виду

, (13.3)

которое называют уравнением плоскости в отрезках. - определяют длины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

3. Нормальное уравнение плоскости.

Уравнение

, (13.4)

где - направляющие косинусы нормального вектора плоскости , называют нормальным уравнением плоскости. Для приведения общего уравнение плоскости к нормальному виду его надо умножить на нормирующий множитель : ,

при этом знак перед корнем выбирают из условия .

Расстояние d от точки до плоскости определяют по формуле: .

4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

.

Возьмем произвольную точку плоскости М(x,y,z) и соединим точку М₁ с каждой из трех оставшихся. Получим три вектора . Для того, чтобы три вектора принадлежали одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Условием компланарности трех векторов служит равенство нулю их смешанного произведения, то есть .

Записывая это равенство через координаты точек, получим искомое уравнение:

. (13.5)

 

5. Угол между плоскостями.

Плоскости могут быть параллельны, совпадать или пересекаться, образуя двугранный угол . Пусть две плоскости заданы общими уравнениями и . Чтобы плоскости совпадали, нужно, чтобы координаты любой точки, удовлетворяющей первому уравнению, удовлетворяли бы и второму уравнению.

Это будет иметь место, если .

Если , то плоскости параллельны.

Угол , образованный двумя пересекающимися плоскостями, равен углу, образованному их нормальными векторами. Косинус угла между векторами определяется по формуле:

Если , то плоскости перпендикулярны.

Пример 21. Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки и перпендикулярно к плоскости .

Решение:

Запишем искомое уравнение в общем виде: . Так как плоскость должна проходить через точки и , то координаты точек должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставляя координаты точек и , получаем: и .

Из условия перпендикулярности плоскостей имеем: . Вектор расположен в искомой плоскости и, следовательно, перпендикулярен нормальному вектору: .

Объединяя полученные уравнения, имеем:

Решив систему, получим: , , , .

Искомое уравнение имеет вид: .

Второй способ. Нормальный вектор заданной плоскости имеет координаты . Вектор . Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен вектору и вектору , т.е. коллинеарен векторному произведению . Вычислим векторное произведение: .

Вектор . Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

, или искомое уравнение.

 

Прямая в пространстве.

Две плоскости, если они не параллельны и не совпадают, пересекаются по прямой. Эту прямую можно описать системой вида:

, (14.1)

где - уравнение одной из пересекающихся плоскостей, - уравнение другой плоскости. Систему двух уравнений с тремя неизвестными называют общим уравнением прямой в пространстве. Известно, что система двух линейных уравнений с тремя неизвестными имеет множество решений, если она совместна. Из всего множества решений всегда можно выделить два различных, что геометрически будет соответствовать двум различным точкам М₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), принадлежащим данной прямой. Через две точки проходит единственная прямая, уравнение которой имеет вид:

. (14.2)

Определим вектор , параллельный данной прямой, который будем называть направляющим вектором. Из условия параллельности получим:

, (14.3)

где М(x₀,y₀,z₀) – точка, расположенная на прямой.

Полученные уравнения называют каноническими уравнениями прямой в пространстве. Обозначая коэффициент пропорциональности в канонических уравнениях прямой через t, получим:

. (14.4)

Полученную систему называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве. Углом между двумя прямыми называют угол между их направляющими векторами. Если прямые заданы каноническими уравнениями и ,

то угол φ между ними определяется по формуле:

.

Если , то прямые перпендикулярны.

Если , то прямые параллельны.

Необходимым и достаточным условием принадлежности двух прямых, заданных каноническими уравнениями, одной плоскости, служит равенство:

.

Если прямая пересекает плоскость Ax + By + Cz + D = 0, то угол , образованный прямой и плоскостью, определяют из равенства: .

- условие параллельности прямой и плоскости;

- условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Если , то прямая пересекает плоскость Ax + By + Cz + D = 0. Точку пересечения прямой и плоскости можно определить из системы:

Условия принадлежности прямой плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеют вид:

Расстояние d от точки М₁(x₁, y₁, z₁) до прямой, заданной каноническими уравнениями , находится по формуле:

.

Расстояние h между двумя скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями, определяют по формуле:

, где - точка, принадлежащая первой прямой, - точка, принадлежащая второй прямой.

Пример 22. Даны вершины треугольника А(1; -2; -4), В(3; 1; -3) и С(5; 1; -7). Составить параметрические уравнения высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.

Решение.

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку В, перпендикулярно стороне АС, Нормальный вектор этой плоскости . Уравнение плоскости , или .

Запишем уравнение прямой АС:

, или в параметрическом виде:

Найдем точку пересечения М прямой АС и плоскости, перпендикулярной этой прямой, то есть основание высоты:

Подставим x, y, z в первое уравнение:

Найдем направляющий вектор высоты ВМ:

.

Возьмем вектор, коллинеарный вектору :

Параметрические уравнения высоты ВМ имеют вид:

Пример 23. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку и пересекает прямые и .