Линейные уравнения и неравенства с двумя неизвестными

Линейные уравнения и неравенства с двумя неизвестными

Уравнением с двумя неизвестными называется выражение вида:

(1.1).

Если из уравнения (1.1) можно выразить переменную , то получим уравнение вида

(1.2).

Если уравнение (1.2) имеет вид или

(1.3),

то уравнение называют линейным, а графиком этой зависимости является прямая линия.

Из элементарной геометрии известно, что через две точки проходит единственная прямая. Это значит, что для построения прямой достаточно знать координаты двух точек, принадлежащих данной прямой.

Пример 1. Построить прямую по ее уравнению .

Решение. Введем систему координат и определим координаты двух точек, принадлежащих этой прямой: при ; при . Нанесем эти точки на координатную плоскость и проведем через них прямую Рис.1.

 

 

 

Рис. 1.

Линейным неравенством с двумя неизвестными называют неравенство вида

, где и - действительные числа.

Точки плоскости , удовлетворяющие уравнению (1.4) расположены на прямой, делящей всю координатную плоскость на две полуплоскости и . В одной из этих полуплоскостей выполняется неравенство , в другой - .

Пример 2. Решить неравенство и изобразить область решения на плоскости .

Решение. Построим прямую

 

 

 

Рис. 2.

Определим координаты двух точек, принадлежащих прямой: при ; при . Нанесем точки на координатную плоскость и построим прямую, проходящую через эти точки. Для определения области решения неравенства, возьмем произвольную точку плоскости, не лежащую на прямой, например и подставим ее координаты в заданное неравенство: , т.е. неравенство не выполняется, следовательно, областью решения заданного неравенства служит полуплоскость, не содержащая точку . Рис.2.

Матрицы и определители

Матрицей порядка называют таблицу чисел, состоящую из - строк и - столбцов.

Числа, входящие в состав матрицы, называют элементами матрицы. Для обозначения матрицы используют заглавные буквы латинского алфавита . Элементы матрицы обозначают , где и называют индексом элемента . Первый индекс определяет номер строки, индекс - определяет номер столбца матрицы . Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрицу называют квадратной. Если матрица состоит из одной строки, ее называют матрица-строка, если матрица состоит из одного столбца, то ее называют матрицей-столбцом. Если у квадратной матрицы элементы при , то матрицу называют диагональной. Если у диагональной матрицы все элементы , то матрицу называют единичной матрицей. Единичную матрицу обозначают буквой . Например:

.

Матрицы одинакового порядка можно складывать и вычитать.

Суммой двух матриц и одинакового порядка называют матрицу того же порядка, элементы которой вычисляют по правилу

(3.1).

Аналогично определяют разность матриц.

Пример 5. Найти сумму и разность матриц и .

.

.

.

Произведением матрицы на число называют матрицу , элементы которой вычисляют по формуле

(3.2).

Пример 6. Матрицу умножить на .

Решение. .

Произведением двух матриц порядка и порядка называют матрицу порядка , элементы которой определяют по формуле:

(3.3).

Замечание 1. Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.

Пример 7. Найти произведение матриц и , если

.

Решение.

Квадратная матрица порядка называется обратной матрицей матрицы порядка , если .

Замечание 2. Произведение матриц не обладает свойством коммутативности, то есть в общем случае:

.

Если , то матрицы называют коммутативными.

Замечание 3. Для обратных матриц справедливо равенство .

Обратную матрицу принято обозначать .

Умножение векторов

Векторы можно умножать скалярно и векторно. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(8.1).

Эту формулу можно записать в виде

.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1. - переместительный закон.

2. - распределительный закон

3.

4. , отсюда

5. Если , то - условие перпендикулярности векторов и

6. , - вектор силы, - вектор перемещения, - работа силы .

Если и заданы в прямоугольной системе координат , то (8.2).

Упорядоченная тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору из конца вектора виден совершающимся против часовой стрелки. Рис.7.

 

 

 

 

 

Рис. 7.

Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор , длина которого равна , он перпендикулярен векторам и и направлен в ту сторону, что векторы и образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается .

Векторное произведение имеет следующие свойства:

1.

2.

3.

4. Если , то

5. , где - площадь параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Если векторы и заданы в прямоугольной системе координат: и , то:

(8.3).

Если вектор силы, приложенной в точке , а радиус-вектор точки , то момент силы , относительно начала координат равен:

.

Смешанным произведением трех векторов и называется их векторно-скалярное произведение. Обозначается .

Если заданы координаты векторов в прямоугольной системе координат, то их смешанное произведение вычисляется по формуле:

(8.4).

Свойства смешанного произведения векторов:

1. - условие компланарности векторов;

2. - объем параллелепипеда, построенного на векторах, как на сторонах;

3. - циклическая перестановка сомножителей не меняет величины смешанного произведения;

4.

Пример 11. Даны вершины пирамиды . Найти 1) угол между ребром и гранью ; 2) площадь грани ; 3) объем пирамиды ; 4) длину высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение. Вычислим координаты вектора :

.

Угол между ребром и гранью является дополнительным углом для угла , образованного перпендикуляром, проведенным к плоскости треугольника и ребром . . Для нахождения вычислим координаты векторного произведения векторов и :

;

.

.

;

.

1) Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на сторонах и , т.е.

.

2) Объем пирамиды равен одной трети от объема параллелепипеда,

построенного на ребрах и . Следовательно

.

3) Длина высоты определяется из формулы:

; .

Ответ: ; ; ; .

Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение

(9.1),

где и - действительные числа; - мнимая единица, определяемая равенством

или (9.2).

Число называют действительной частью комплексного числа и обозначают ; - мнимая часть комплексного числа . Ее обозначают . Если , то число называют чисто мнимым, если , то число , есть действительное число.

Два комплексных числа и называют комплексно сопряженными числами.

Два комплексных числа и считаются равными, если и . Комплексное число , если и . Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Иногда комплексное число удобнее изображать в виде вектора , начало которого совпадает с началом координат, соединяющего точку с точкой . Длина этого вектора называется модулем комплексного числа и обозначается .

.

Угол между осью и вектором , отсчитанный против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа и обозначается .

Аргумент числа определяется с точностью до слагаемого , где - целое число. Главное значение аргумента числа - значение аргумента, удовлетворяющее неравенству . Главное значение аргумента комплексного числа обозначается через : .

Запись числа в виде называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Сумма, разность комплексных чисел и умножение определяется так же, как действия над соответствующими векторами.

Суммой комплексных чисел и называется комплексное число

(9.3).

Разностью комплексных чисел и называется комплексное число

(9.4).

Произведение комплексного числа на действительное число называется комплексное число .

Произведение двух комплексных чисел и , записанных в алгебраической форме определяется как произведение двучленов:

(9.5).

Произведением двух комплексно сопряженных чисел служит действительное число

(9.6).

Деление комплексных чисел определяется, как действие обратное умножению. Частное двух комплексных чисел и определяется следующим образом:

(9.7).

Наряду с прямоугольной системой координат введем полярную систему, начало которой совпадает с началом прямоугольной системы, а полярная ось – с положительным направлением оси . Рис. 8.

 

 

Рис. 8.

Из Рис.8 следует, что:

.

Подставляя и в алгебраическую форму комплексного числа, получим

(9.8).

Выражение (9.8) называют тригонометрической формой записи комплексного числа , где .

Пусть даны два комплексных числа и . Записанные в тригонометрической форме:

.

Тогда .

(9.9).

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Если - целое положительное число, то из (9.9) следует:

(9.10).

Корнем -й степени из комплексного числа называется такое комплексное число , -я степень которого равна , т.е. .

Корень -й степени из обозначается .

Если , то равен:

(9.11).

Подставляя в (9.11) значения получим ровно различных корней -й степени из .

Пример 12. Дано комплексное число .

Записать число в алгебраической и тригонометрической формах. Найти все корни уравнения .

Решение. Запишем число в алгебраической форме:

.

Найдем : .

Вычислим . Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид:

.

Вычислим :

при

при

при

Кроме алгебраической и тригонометрической форм записи комплексного числа , применяется более короткая, так называемая показательная форма комплексного числа , согласно которой

.

Пусть и , тогда:

.

Кривые второго порядка

1. Общее уравнение кривых второго порядка.

Всякое уравнение второй степени относительно х и у, то есть уравнение вида

, (12.1)

где - постоянные коэффициенты, причем , определяет на плоскости линию, которую принято называть кривой второго порядка. Верно и обратное. Существует четыре вида кривых второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола. Все они могут быть получены путем сечения конуса плоскостью и потому их еще называют кониками.

Уравнения кривых можно получить исходя из их геометрических свойств как некоторого геометрического места точек, удовлетворяющего определенным условиям.

2. Окружность. Окружностью называют геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если r – радиус окружности, а точка С() – ее центр, то уравнение окружности имеет вид:

. (12.2)

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности имеет простейший – канонический вид: .

Пример14. Составить уравнение окружности, проходящей через точки
А(5; 0) и В(1; 4), если центр ее лежит на прямой х – у – 3 = 0.

Решение.

Найдем координаты точки М – середины хорды АВ:

, то есть М(3; 2).

Центр окружности находится на перпендикуляре, восстановленном из середины отрезка АВ. Составим уравнение прямой АВ:

, или х + у – 5 = 0.

Угловой коэффициент прямой АВ равен -1, следовательно угловой коэффициент перпендикуляра . Уравнение перпендикуляра

у – 2 = 1(х – 3), или х – у – 1 = 0.

Центр окружности С лежит на прямой х + у – 3 = 0 по условию задачи, а также на перпендикуляре х – у – 1 = 0, то есть координаты центра удовлетворяют системе уравнений:

х – у – 3 = 0

х – у – 1 = 0.

Отсюда х = 2, у = 1, и точка С(2; 1).

Радиус окружности равен длине отрезка СА:

.

Уравнение окружности: (х – 2) ²+(у-1)² = 10.

3. Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная , большая чем расстояние между фокусами. Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

. (12.3)

Здесь - большая полуось эллипса, - малая полуось, причем если расстояние между фокусами равно 2с, то . Величина называется эксцентриситетом эллипса и характеризует меру сжатия. Так как с < , то < 1. Расстояния от некоторой точки М, расположенной на эллипсе, до фокусов называются фокальными радиус-векторами этой точки. Фокальные радиус-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам: .

Прямые и называются директрисами эллипса. Директрисы эллипса обладают следующим свойством: если r – фокальный радиус-вектор точки М, d – расстояние от этой точки до односторонней с фокусом директрисы, то .

Пример15. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16.

Решение.

По условию задачи Уравнение директрис ; расстояние между директрисами , отсюда ; так как , то , то есть с = 2.

Так как , то .

Уравнение эллипса: .

Замечание: если в каноническом уравнении эллипса , то фокусы эллипса лежат на оси ординат и ; уравнения директрис: ; фокальные радиус-векторы определяются по формулам: .

Пример 16. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами 2с = 24, эксцентриситет .

Решение.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид: .

По условию задачи с = 12. так как , то , то есть .

Так как , то .

Уравнение эллипса: .

4. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная , меньшая, чем расстояние между фокусами ().

 

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

, (12.4)

где .

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки и называют вершинами гиперболы. Отрезок называют вещественной осью гиперболы, а отрезок , соединяющий точки и , - мнимой осью. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых . Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые, заданные уравнениями называют директрисами гиперболы. Фокальные радиус-векторы правой ветви гиперболы: .

Фокальные радиус-векторы левой ветви гиперболы: .

Уравнение так же является уравнением гиперболы, но вещественной осью этой гиперболы служит отрезок оси OY длины . Точки и служат вершинами гиперболы. Ветви гиперболы расположены в верхней и нижней части координатной плоскости. Две гиперболы и называют сопряженными гиперболами.

Пример17. Эксцентриситет гиперболы равен . Составить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку М().

Решение.

По определению эксцентриситета, имеем , или .

Но , следовательно . Так как точка М() находится на гиперболе, то . Отсюда .

Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид: .

Пример 18. Угол между асимптотами гиперболы равен 60 ^о. Вычислить эксцентриситет гиперболы.

Решение.

Угловой коэффициент асимптоты гиперболы . Эксцентриситет гиперболы .

Подставляя значение углового коэффициента, получим

.