Классификации геометрических задач

В методической литературе приняты следующие условные классификации геометрических задач.

1. По специфике языка. В курсе геометрии основной школы часто решаются текстовые задачи, т.е. те задачи, условие которых представлено преимущественно на естественном языке. Примером такого рода задачи из задач, рассмотренных в предыдущем пункте, может служить задача о хордах круга. Как видно из этого примера, кроме естественного здесь может использоваться и геометрический язык.

Иногда решаются и сюжетные геометрические задачи, то есть те, в которых присутствует фабула. В них описан «некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс) …» [22. С. 3]. Чаще всего это геометрические задачи с практическим содержанием. Таковой является, например, последняя задача предыдущего пункта.

Сюжетные геометрические задачи играют значительную роль в процессе обучения, т.к. при их решении решается одна из важнейших задач всего курса математики – обучение методу моделирования и, в первую очередь, перевод естественного языка на язык математический, что иногда представляет значительную трудность.

Абстрактные задачи (с использованием только геометрического языка) встречаются гораздо реже. Иллюстрацией такого рода задач могут служить две задачи на готовых чертежах в первом из рассмотренных в предыдущем пункте примере.

2. По характеру рассматриваемых в геометрической задаче объектов они подразделяются на чисто геометрические задачи и практические задачи.

В чисто геометрических задачах речь идет только о геометрических фигурах вне связи их с конкретными объектами окружающего мира. Именно такие задачи составляют основное содержание задачного материала современных учебников геометрии. Приведенные в предыдущем пункте задачи, кроме последней, являются чисто геометрическими.

В практических задачах основными объектами являются предметы окружающего мира. Например, последняя задача предыдущего пункта относится к практическим. Эти задачи помогают учащимся узнавать в предметах окружающего мира знакомые геометрические фигуры, использовать те или иные свойства этих фигур и тем самым осознавать возможности практического применения геометрии. Более того, практические задачи играют большую роль в формировании общих компетенций. Задач с практическим содержанием в учебниках обычно недостаточно. Большую помощь в насыщении курса планиметрии такого рода задачами может оказать пособие для учителя [Апанасовы].

3. По отношению к теории [23. Оборот титула] или по уровню проблемности [11. С. 102] геометрические задачи делятся на стандартные и нестандартные [3] задачи.

Геометрические задачи, для решения которых в школьном курсе имеются готовые алгоритмы или эти алгоритмы непосредственно следуют из определений или теорем, называют стандартными.

Примеры. Первый пример. Стандартными являются геометрические задачи, в которых теоремы могут служить алгоритмами решения. Так, теорема о средней линии трапеции служит алгоритмом для решения задач нахождения длины средней линии трапеции по ее основаниям. Последовательность шагов алгоритма для решения таких задач проста:

1) устанавливаем длину оснований трапеции;

2) находим их полусумму. Это и будет длина средней линии.

Второй пример. Все так называемые элементарные задачи на построение являются стандартными. 

4. Наиболее распространенная классификация, которая обычно используется и в работе с учащимися, – это классификация, основанием которой является характер требований задачи. В соответствии с этим основанием геометрические задачи условно классифицируются на задачи: 1) на вычисление, 2) на доказательство, 3) на построение (конструктивные задачи).

Заметим, что эта классификация, несмотря на очень широкое ее распространение, достаточно условна: задача на вычисление часто является и задачей на доказательство, так как требует обоснования; одним из очень существенных этапов решения задачи на построение является доказательство; во многих задачах сочетается построение, вычисления и измерение. Все же эта классификация облегчает рассмотрение особенностей каждого вида геометрических задач.

5. В методической литературе специально выделяются так называемые “ задачи на готовых чертежах ”. Далее мы кратко их охарактеризуем. Функции этих задач не столько математические, сколько методические.

6. Методический характер носит и классификация, основой которой является характер использования задачи на уроке. В соответствии с этой классификацией можно выделить:

– подготовительные задачи,

– задачи на раскрытие содержания новых понятий,

– задачи на применение отдельной теоремы, формулы и др.;

– комбинированные задачи: на применение нескольких теорем, формул и т.д.

Некоторые примеры такого рода задач приведены в пункте 1.2.

Рассмотрим методику использования в процессе обучения наиболее интересных с методической точки зрения классов геометрических задач.

 

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ ПОДМОДУЛЬ 2.