Математические задачи и методика обучения их решению в курсе геометрии основной школы

Т.С. Полякова

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ИХ РЕШЕНИЮ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

 

 

РОСТОВ-НА-ДОНУ

Математические задачи и методика обучения их решению в курсе геометрии основной школы: Учебно-методическое пособие для студентов педвузов и педколледжей. – Ростов н/Д: РГПУ, 2008, – 41 с.

 

В учебно-методическом пособии раскрыты теория и методика обучения решению математических задач в курсе геометрии основной школы. Пособие написано на модульной основе с выделением теоретического, практического и диагностико-квалиметрического модулей.

Пособие может быть рекомендовано учителям математики, студентам, обучающимся в бакалавриате и на отделении заочного обучения математических факультетов педвузов, а также студентам и преподавателям педагогических колледжей.

 

ВВЕДЕНИЕ

Одна из традиционных математических дисциплин школьного курса математики – геометрия. В геометрии учащиеся впервые сталкиваются со строго определяемыми понятиями. Здесь же они знакомятся с важнейшими математическими предложениями – теоремами и аксиомами, впервые от них требуют логических обоснований теорем, которые представлены в виде строгих доказательств. Не менее важную роль в обучении геометрии играет и решение разнообразных задач. Методике обучения их решению в курсе геометрии основной школы и посвящено это методическое пособие.

Учебное пособие разработано на модульной основе. Это проявляется в том, что в нем представлены три базовых модуля – теоретический, практический и диагностико–квалиметрический.

Теоретический модуль содержит материалы для лекционных занятий со студентами. Он разбит на два содержательных подмодуля.

Первый содержательный подмодуль теоретического модуля содержит характеристику математических задач в курсе геометрии основной школы. Здесь вводится понятие геометрической задачи, рассматривается ее структура и решение, анализируется роль и функции геометрических задач различных видов. Большое внимание уделяется классификациям геометрических задач – по специфике языка, по характеру рассматриваемых в задаче объектов, по отношению к теории, по характеру требований задачи, по методическим особенностям использования в процессе обучения.

Второй содержательный подмодуль посвящен методике обучения решению геометрических задач. Курс геометрии основной школы играет колоссальную роль в обучении решению задач, так как именно в этой школьной дисциплине впервые теоремы учащиеся решают геометрические задачи различных типов. В пособии специально рассмотрена роль чертежа и краткой записи условия геометрической задачи, требования к чертежу. Основное внимание уделяется методике обучения решению различных типов геометрических задач: стандартных задач, задач на доказательство, вычисление, наконец, задач на готовых чертежах.

Все теоретические положения первого модуля проиллюстрированы подробно разобранными практическими примерами.

Практический модуль содержит материалы для практических и лабораторных занятий по проблемам, изложенным в теоретическом модуле.

Наконец, диагностико–квалиметрический модуль содержит материалы, направленные на диагностику уровня ранее усвоенного материала по общей методике обучения математике, а также на определение качества овладения теоретическим материалом пособия.

I МОДУЛЬ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ

Материалы к лекционным занятиям

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ ПОДМОДУЛЬ 1.

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ ПОДМОДУЛЬ 2.

ЭТАП. Оформление решения.

Доказательство:

1. Рассмотрим DАВD и DА₁В₁D_1. Они прямоугольные, т.к.:

BD=B₁D₁ (по условию),

ÐABD=ÐA₁B₁D₁ (как половины равных углов), так как ÐВ=ÐВ₁ (по условию) и ½ÐВ=½ÐВ₁.

Следовательно, DАВD= DА₁В₁D_1.

2. Рассмотрим DАВС и DА₁В₁С₁. Они также прямоугольные, т.к.:

АВ=А₁В₁ (по доказанному),

ÐВ=ÐВ₁ (по условию).

Следовательно, DАВС=DА₁В₁С₁ (по катету и острому углу), что и требовалось доказать.

 

 

 

 

Этап.

Аналитический метод поиска решения:

– Какие величины даны в условии? (Длина катета треугольника). Что надо найти в задаче? (Периметр квадрата)

– По какой формуле он рассчитывается? (Р=4а).

–А что для этого надо знать? (Длину стороны квадрата).

– Частью каких элементов треугольника являются стороны квадрата? (Частью сторон).

– Можно ли визуально предположить, как связаны стороны треугольника и стороны квадрата? (Видимо, равны половине стороны). Если бы нам удалось это доказать, смогли бы мы ответить на вопрос задачи? (Да. 6 умножить на 4).

– Итак, надо попытаться доказать, что сторона треугольника равна по длине двум сторонам квадрата. Одна сторона квадрата непосредственно является частью стороны треугольника. Значит нужно доказать, что оставшаяся часть FB равна стороне квадрата.

– В состав какой фигуры входит отрезок FB? (DEFB). Может быть, можно визуально найти равный ему треугольник, в состав которого входит сторона квадрата? (DADE, сторона DE).

– Итак, нужно доказать равенство треугольников. Что мы можем сказать о виде треугольников? (они прямоугольные). Какие признаки равенства прямоугольных треугольников знаем? Какие равные элементы имеются в треугольниках? (Два угла соответственно равны и два катета как стороны квадрата).

– Какой можно вывод сделать, опираясь на признак равенства? (Треугольники равны).

– Что из этого следует? (DE=FB).

–Чему равна длина стороны треугольника? (Сумме длин сторон квадрата CB=CF+DE=2CF).

– Чему равна длина стороны квадрата из этого выражения? (Половине длины стороны треугольника).

– Зная длину стороны треугольника, сможем найти сторону квадрата? Периметр?

Намечается общий план решения задачи.

1. Доказать, что треугольники DEFB и DADE – прямоугольные и обосновать их равенство.

2. Сделать вывод о равенстве отрезков DE и FB.

3. Найти длину стороны квадрата.

4. Найти периметр квадрата.

3 этап – осуществление плана во всех деталях, оформление решения.

Решение

1. DEFB и DADE – прямоугольные (при их вершинах D и F углы являются смежными с углами квадрата, тогда их величина по 90°).

2. DEFB=DADE (по катету и острому углу): Ð1=Ð2 как углы при основании равнобедренного треугольника, DE=EF как стороны квадрата.

3. DЕ=FB из равенства треугольников, тогда СВ=CF+FB=CF+DE=2CF. Откуда CF=1/2CВ=6см.

4. Р=6×4=24 (см).

Ответ. 24см.

4 этап. Исследование. Оценка полученного ответа на достоверность: периметр выражается положительным числом, в нашем случае – верно. 

 

Пример 2.

2) отмечены непосредственно на чертеже:

 

 

3) проговорены учителем на уроке;

4) к различным заданиям может быть дано общее требование (см. пример 3 в таблице на следующей странице).

Геометрическое содержание задач на готовых чертежах: рассматриваются, как правило, опорные (типовые) геометрические конфигурации, которые потом используются для доказательства теорем, решения более сложных геометрических задач.

Условие задачи может подаваться по–разному, в частности, в зависимости от технической оснащенности кабинета математики оно может быть:

– при наличии интерактивной доски или мультимедийного проектора встроено в презентацию к уроку;

– подготовлено заранее на доске (в том числе переносной, частично закрытой и др.);

– изготовлена кодопленка;

– использованы кадры диафильма или весь диафильм;

– изготовлен плакат, таблица;

– изготовлен макет чертежа с помощью магнитной доски.

Перечислим несомненные преимущества использования задач на готовых чертежах: экономия времени, показ образцов правильного построения чертежей, формирование умения читать чертеж, что относится к основным общетехническим умениям; формирование умений устно рассуждать, обосновывать, вычислять; развитие пространственного мышления, воспитание эстетических вкусов.

К основному недостатку задач на готовых чертежах можно отнести то, что не формируются конструктивные навыки учащихся. Поэтому в использовании этих задач необходима разумная мера.

 

Пример 3.

Признаки равенства треугольников
Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство
1.	2.	3.
4.	5.	6.

 

 

II МОДУЛЬ

ПРАКТИЧЕСКИЙ

План

1. Геометрическая задача как один из видов математических задач. Понятие, структура, решение.

2. Роль и функции геометрических задач

3. Классификации геометрических задач, их основные виды.

Задания студентам

Общие задания

1. Ознакомьтесь с первым подмодулем теоретического модуля пособия (с. 4-11). Для самоконтроля целесообразно воспользоваться контрольными вопросами и заданиями диагностико-квалиметрического модуля пособия (вопросы 1-25).

2. По программе по математике для общеобразовательных школ установите, как определяется роль геометрических задач и их решений, какие типы геометрических задач предлагается решать.

3. По выбранному преподавателем учебнику геометрии основной школы изучите содержание темы «Четырехугольники», классифицируйте все задачи раздела, составив таблицу

Номер задачи	Условия задачи	Требования задачи	Вид задачи (возможна принадлежность задачи к нескольким видам)

 

4. Найдите в теме «Четырехугольники» задачи на готовых чертежах. Определите, в каком виде предложены условия и заключения этих задач, определите цель их использования на уроке, разработайте фрагмент урока с их использованием.

5. Пользуясь тематическими указателями статей, найдите в журнале «Математика в школе» за последние 10 лет статьи, посвященные обучению решению геометрических задач, составьте аннотации к ним.

 

Индивидуальные задания

1. Выберите из задач задания 3 по одной задаче на вычисление, доказательство и построение. Выполните чертеж к задаче, оформите краткую запись, решите каждую из задач.

 

Общее

1. Изучить содержательный подмодуль 2 настоящего пособия, ответив на контрольные вопросы диагностико-квалиметрического модуля пособия, начиная с вопроса 26.

 

Индивидуальные

2. Разработать методику обучения учащихся задачам из индивидуального задания практического занятия.

3. Разработать фрагмент урока по обучению учащихся решению этой теоремы. Защитить его.

 

III модуль.

Т.С. Полякова

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ИХ РЕШЕНИЮ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

 

 

РОСТОВ-НА-ДОНУ

Математические задачи и методика обучения их решению в курсе геометрии основной школы: Учебно-методическое пособие для студентов педвузов и педколледжей. – Ростов н/Д: РГПУ, 2008, – 41 с.

 

В учебно-методическом пособии раскрыты теория и методика обучения решению математических задач в курсе геометрии основной школы. Пособие написано на модульной основе с выделением теоретического, практического и диагностико-квалиметрического модулей.

Пособие может быть рекомендовано учителям математики, студентам, обучающимся в бакалавриате и на отделении заочного обучения математических факультетов педвузов, а также студентам и преподавателям педагогических колледжей.

 

ВВЕДЕНИЕ

Одна из традиционных математических дисциплин школьного курса математики – геометрия. В геометрии учащиеся впервые сталкиваются со строго определяемыми понятиями. Здесь же они знакомятся с важнейшими математическими предложениями – теоремами и аксиомами, впервые от них требуют логических обоснований теорем, которые представлены в виде строгих доказательств. Не менее важную роль в обучении геометрии играет и решение разнообразных задач. Методике обучения их решению в курсе геометрии основной школы и посвящено это методическое пособие.

Учебное пособие разработано на модульной основе. Это проявляется в том, что в нем представлены три базовых модуля – теоретический, практический и диагностико–квалиметрический.

Теоретический модуль содержит материалы для лекционных занятий со студентами. Он разбит на два содержательных подмодуля.

Первый содержательный подмодуль теоретического модуля содержит характеристику математических задач в курсе геометрии основной школы. Здесь вводится понятие геометрической задачи, рассматривается ее структура и решение, анализируется роль и функции геометрических задач различных видов. Большое внимание уделяется классификациям геометрических задач – по специфике языка, по характеру рассматриваемых в задаче объектов, по отношению к теории, по характеру требований задачи, по методическим особенностям использования в процессе обучения.

Второй содержательный подмодуль посвящен методике обучения решению геометрических задач. Курс геометрии основной школы играет колоссальную роль в обучении решению задач, так как именно в этой школьной дисциплине впервые теоремы учащиеся решают геометрические задачи различных типов. В пособии специально рассмотрена роль чертежа и краткой записи условия геометрической задачи, требования к чертежу. Основное внимание уделяется методике обучения решению различных типов геометрических задач: стандартных задач, задач на доказательство, вычисление, наконец, задач на готовых чертежах.

Все теоретические положения первого модуля проиллюстрированы подробно разобранными практическими примерами.

Практический модуль содержит материалы для практических и лабораторных занятий по проблемам, изложенным в теоретическом модуле.

Наконец, диагностико–квалиметрический модуль содержит материалы, направленные на диагностику уровня ранее усвоенного материала по общей методике обучения математике, а также на определение качества овладения теоретическим материалом пособия.

I МОДУЛЬ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ