Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей.

Установим такую зависимость для осевых моментов инерции.

 

Рассмотрим плоскую фигуру, для которой уже известен осевой момент инерции относительно оси и требуется определить момент инерции площади этой фигуры относительно оси y, параллельной первой. Тогда, по определению моментов инерции, имеем и

Из рисунка (2.12,а) видно, что

Тогда

Разобьем этот интеграл на сумму трех интегралов. Получим

,

или

(2.6)

Аналогично

(2.7)

Для центробежного момента инерции будем иметь

или

(2.8)

В частном случае, когда оси и проходят через центр тяжести площади заданной фигуры (статические моменты относительно центральных осей, как известно, равны нулю), то полученные формулы упрощаются и принимают вид

; ; (2.9)

Oсевой момент инерции площади плоской фигуры относительно произвольной оси равен моменту инерции площади этой же фигуры относительно центральной оси плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями. Из этих формул видно, что моменты инерции относительно центральных осей имеют наименьшее значение по сравнению с моментами инерции относительно любых других параллельных осей.

Рассмотри примеры:

Определим осевой момент инерции площади прямоугольника относительно оси, проходящей через его центр тяжести параллельно основанию (рис. 2.12,б).

В случае, когда ось проходит чепез основание прямоугольника (рис. 2.11,а), имеем

Тогда, используя формулы для центральных осей, будем иметь

Аналогично

Получим аналогичную формулу для треугольника

В этом случае (рис. 2.13,а)

.

Поэтому

Определим осевой момент инерции площади полукруга относительно оси,

 

 

параллельной основанию и проходящей через центр тяжести этой фигуры.

Для полукруга (рис. 2.13,б) имеем

Осевой момент инерции площади полукруга относительно основания равен половине осевого момента инерции площади полного круга относительно диаметра, т.е. Следовательно

Определим центробежный момент инерции площади прямоугольного треугольника относительно центральных осей, параллельных его катетам.

Имеем

Тогда (рис. 2.14,а)

 

Полученный результат показывает, что центробежный момент инерции в различных случаях может иметь как положительные, так и отрицательные значения, следовательно, он может быть и равным и нулю.

Рассмотрим случай симметричной фигуры. Найдем центробежный

момент инерции площади фигуры относительно осей, одна из которых – ось z является осью симметрии (рис. 2.14,б).

Получим

,

где

В результате определяем

Таким образом, центробежный момент инерции площади симметричной фигуры относительно двух взаимно перпендикулярных осей, одна из которых ось симметрии фигуры, равен нулю.