Моменты инерции плоских фигур

В различных математических исследованиях приходится встречаться с определенными интегралами следующих типов:

(2.4)

Все эти интегралы называются моментами инерции площади заданной фигуры относительно координатных осей, а именно:

- осевой момент инерции площади фигуры относительно оси y;

- осевой момент инерции площади фигуры относительно осиz;

- центробежный момент инерции площади фигуры относительно двух взаимно перпендикулярных осей y и z.

Таким образом, задача об определении моментов инерции сводится к вычислению определенных интегралов некоторого заданного типа. Процесс такого вычисления может оказаться и весьма трудоемким, но в некоторых случаях эти моменты инерции могут быть найдены сравнительно легко.

Найдем осевой момент инерции площади трапеции относительно оси .

Элементарная площадь (рис. 2.7,а) . Тогда, согласно формуле , имеем двойной интеграл по двум переменным y и z. Представим этот интеграл в виде т.е. будем интегрировать сначала по координате y, а затем по z. Получим

Тогда где представляет собой длину горизонтальной элементарной полоски, взятой на расстоянии z от нижнего основания трапеции (от оси y ). Величина эта зависит от координаты z,поэтому ее необходимо предварительно определить. Имеем (рис. 2.7,б)

Отрезок определим из подобия треугольников и . Отсюда Следовательно.

Тогда

Частными случаями трапеции являются параллелограмм, прямоугольник, треугольник. Для параллелограмма и прямоугольника (рис. 2.8,а,б) формула имеют вид

Для треугольника формулы примут вид:

- относительно оси, совпадающей с основанием (рис. 2.8,в) ;

- относительно оси, совпадающей с вершиной (рис. 2.8,г) .

 

 

Определим центробежный момент инерции для прямоугольника (рис. 2.9,а).

 

Если оси y и z прямоугольной декартовой системы координат совпадают с двумя сторонами прямоугольника, то центробежный момент инерции площади прямоугольника относительно этих осей будет равен

;

Приходим к двойному интегралу

Для прямоугольного треугольника (рис. 2.9,б).

; ;

определим из подобия треугольников и .

Так как и то

Подставив полученное значение и проинтегрировав, получим

Определим центробежный момент инерции площади четверти круга относительно его сторон (рис. 2.9,в).

Из рисунка имеем ,

Тогда

Полярный момент инерции. Связь с осевыми моментами инерции.

Помимо моментов инерции осевых - и центробежного встречается определенный интеграл где - расстояние элементарных площадок от некоторой точки, которая в частном случае может быть началом координат.

 

 

Этот интеграл называется полярным моментом инерции относительно полюса ( рис. 2.10,а).

Вычислим полярный момент инерции площади круга относительно его геометрического центра (рис. 2.10,б). Элементарную площадку получим следующим образом. Проведем две произвольные окружности с центром в начале координат (полюс ), радиусы которых и , а из полюса проведем два бесконечно близких радиуса, составляющих с горизонтальной осью y углы и .

Этими четырьмя линиями ограничивается бесконечно малый элемент , площадь которого равна .

Тогда

Если элементарную площадку взять в виде кольца радиусом и бесконечно малой толщины , то выражение для полярного момента имеет вид

Между полярным моментом инерции и осевыми моментами инерции и имеется простая зависимость. Из рисунка 2.10,а имеем .

Тогда

Два интеграла в правой части представляют собой осевые моменты инерции и площади заданной фигуры относительно взаимно перпендикулярных осей и , проходящих через полюс

Следовательно,

. (2.5)

При помощи этой формулы можно вычислить, например, полярный момент инерции площади прямоугольника относительно одной из его вершин и полярный момент инерции площади прямоугольного треугольника относительно вершины прямого угла.

Для прямоугольника (рис. 2.11,а) имеем

Тогда

где - площадь прямоугольника, c - его диагональ.

Для треугольника (рис. 2.11,б)

Тогда

где - гипотенуза треугольника.

При помощи формулы можно вычислить осевой момент инерции площади круга относительно одного из его диаметров. Для круга Поэтому Отсюда

До сих пор рассматривались моменты инерции весьма простых фигур относительно «удобно» расположенных осей. В других более сложных случаях процесс интегрирования, необходимый для определения моментов инерции, оказывается значительно более сложным. В связи с этим, возникает необходимость использования какого-либо приема, позволяющего найти тот или иной момент инерции, пользуясь найденными уже ранее моментами инерции относительно других осей. То есть, необходимо найти зависимость между моментами инерции при преобразовании координатных осей.