Прямая линия, принадлежащая плоскости

Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат той же плоскости (рис.6.2).

Задача. Дана плоскость (n,k) и одна проекция прямой m2. Требуется найти недостающие проекции прямой m если известно, что она принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k. Проекция прямой m2 пересекает прямые n и k в точках В2 и С2, для нахождения недостающих проекций прямой необходимо найти недостающие проекции точек В и С как точек лежащих на прямых соответственно n и k. Таким образом точки В и С принадлежат плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эти точки, значит согласно аксиоме прямая принадлежит этой плоскости.

Рисунок 6.2 Прямая и плоскость имеют две общие точки

Аксиома 2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости (рис.6.3).

Задача. Через точку В провести прямую m если известно, что она принадлежит плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k. Пусть В принадлежит прямой n лежащей в плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k. Через проекцию В2 проведем проекцию прямой m2 параллельно прямой k2, для нахождения недостающих проекций прямой необходимо построить проекцию точки В1, как точки лежащей на проекции прямой n1 и через неё провести проекцию прямой m1 параллельно проекции k1. Таким образом точки В принадлежат плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эту точку и параллельна прямой k, значит согласно аксиоме прямая принадлежит этой плоскости.

Рисунок 6.3 Прямая имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна прямой расположенной в этой плоскости

 

Главные линии в плоскости

Среди прямых линий, принадлежащих плоскости, особое место занимают прямые, занимающие частное положение в пространстве:

1. Горизонтали h - прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций (h//П1)(рис.6.4).

Рисунок 6.4 Горизонталь

2. Фронтали f - прямые, расположенные в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций (f//П2)(рис.6.5).

Рисунок 6.5 Фронталь

3. Профильные прямые р - прямые, которые находятся в данной плоскости и параллельны профильной плоскости проекций (р//П3) (рис.6.6). Следует заметить, что следы плоскости можно отнести тоже к главным линиям. Горизонтальный след - это горизонталь плоскости, фронтальный - фронталь и профильный - профильная линия плоскости.

Рисунок 6.6 Профильная прямая

4. Линия наибольшего ската и её горизонтальная проекция образуют линейный угол j, которым измеряется двугранный угол, составленный данной плоскостью и горизонтальной плоскостью проекций (рис.6.7). Очевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или параллельна плоскости, или пересекает ее.

Рисунок 6.7 Линия наибольшего ската

18. Перпендикулярность прямой к плоскости. Определение расстояния от точки до плоскости.

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой.

Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой.

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны между собой.

Если из одной точки вне плоскости проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной; наклонные с равными проекциями равны; из двух наклонных большую длину имеет та, у которой больше проекция. О трех перпендикулярах. Для того, чтобы прямая на плоскости была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на плоскость.

19. Способы преобразования проекций.

Четыре основные задачи, решаемые методами преобразования

1. Прямую общего положения преобразовать в прямую уровня.

2. Прямую общего положения преобразовать в проецирующую прямую.

3. Плоскость общего положения преобразовать в проецирующую плоскость.

4. Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня.

Достигается это:

а) введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия или плоская фигура, не меняя своего положения в пространстве, оказалась в частном положении в новой системе плоскостей проекций (способ перемены плоскостей проекций);

б) изменением положения прямой линии или какой-либо фигуры путем поворота вокруг некоторой оси так, чтобы прямая или фигура оказалась в частном положении относительно неизменной системы плоскостей проекций (способ вращения и плоскопараллельного перемещения).

2. Замена плоскостей проекций

Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что при неизменном положении объекта в пространстве производится замена данной системы плоскостей проекций новой системой взаимно перпендикулярных плоскостей проекций (рис. 75).

При переходе к новой системе одну из плоскостей проекций заменяют новой таким образом, чтобы данный геометрический элемент (прямая, плоскость) занял частное положение и проецировался без искажения. При решении ряда задач, например, требуется преобразовать прямую общего положения в прямую уровня, а затем -- в проецирующую, выполнив при этом последовательно два преобразования.

Рассмотрим ход решения задач.

РЕШЕНИЕ I ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ. Для того, чтобы прямая АВ стала линией уровня (рис. 76, а), следует ввести новую плоскость проекций и расположить ее параллельно данной прямой. При этом новая ось x ₁ будет параллельна одной из проекций прямой. Проведем ось параллельно горизонтальной проекции АВ. Новая плоскость проекций V₁ расположится параллельно прямой АВ, которая проецируется на эту плоскость в истинную величину Новая ось x ₁ и плоскость проекции V₁ могут быть расположены на любом расстоянии от прямой, они могут совпадать с прямой и ее проекцией.