Вероятность как мера случайности 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Вероятность как мера случайности



Теория вероятностей – это математическая дисциплина, изучающая математический аспект феномена случайного, в соответствии с чем центральным понятием этой теории является понятие вероятности – количественной меры возможности осуществления события при наличии неопределенности, т.е. в ситуации, когда это событие характеризуется как возможное.

Вкладывание того или иного содержания в каждое из понятий триады "количество - событие - неопределенность" порождает различное понимание вероятности. Например, в случае так называемой классической (или элементарной) вероятности неопределенность порождается экспериментом (возможно, мысленным), имеющим конечное число несовместимых равновозможных исходов, событие - в осуществлении какого-либо из определенной группы исходов (называемых благоприятствующими событию), а вероятность события определяется как отношение числа благоприятствующих исходов к числу всевозможных исходов.

Источником возникновения частотной вероятности является реальный эксперимент, частоты исходов которого обладают так называемой статистической устойчивостью. Индуктивная вероятность возникает при рассмотрении суждений как количественная оценка правильности заключения при условии правильности посылок. Субъективная вероятность характеризует степень уверенности субъекта в осуществлении события.

Неопределенность типа той, которая приводит к классической и частотной вероятности, называется случайностью, а событие - случайным. Если классическая и частотная вероятность представляет собой определенное число, то об индуктивных и субъективных вероятностях чаще говорят на уровне "больше - меньше". Здесь усматривается определенная параллель с числовыми и порядковыми шкалами, рассматриваемыми в теории измерений.

Формализация понятия вероятности (в основном вероятности случайного события) и связанных с ним, развитие соответствующего аналитического аппарата и методики решения прикладных задач составляют содержание раздела математики – теорию вероятностей и родственных ей дисциплин: математической статистики, метода случайных испытаний (метод Монте-Карло), теории стохастического управления и др. При этом надо отметить, с одной стороны, широкое применение вероятностных методов, с другой – серьезные трудности, возникающие при этом. В частности, известно большое число так называемых парадоксов теории вероятности – правильных на первый взгляд рассуждений, приводящих к выводам, которые противоречат либо опыту, либо другим, столь же правдоподобным, рассуждениям. Эти трудности породили оживленные дискуссии, доходящие порой до отрицания правомерности применения некоторых традиционных вероятностных методов (Ю.И.Алимов).

Причины указанных затруднений – как проблема построения соответствующей математической модели, так и проблема правомерности применения той или иной модели к данной задаче. Первая из этих проблем решается созданием строгой (как правило, аксиоматической) базы математической теории. Наиболее известной и широко применяемой является аксиоматика, предложенная в начале 1930-х А.Н. Колмогоровым. В настоящее время развиваются и другие подходы: частотный (использующий, в частности, ряд идей Р. Мизеса), сложностный, алгебраический, квантовый, так называемый нестандартный и другие. Проблема применимости вероятностных методов решается на путях развития математической теории, углубления знания в соответствующих прикладных областях и осмысления накапливаемого опыта. Задача развития теории вероятности и ее применений содержит определенный философский аспект, что привело к формированию направления философских исследований, изучающего понятия вероятности, случайности и т.п. В 1960-х Л. Заде ввел и другое, отличное от вероятности, понятие для количественной характеристики неопределенности, а именно нечеткость (или размытость). Вероятность является центральным понятием теории вероятностей.

Важность теории вероятностей для психологии, социологии, демографии, экономики и некоторых других гуманитарных наук обусловлена в основном двумя факторами. Во-первых, в этих науках применяются модели, в явном виде учитывающие влияние случайных факторов на изучаемое явление - например, модели случайных процессов. Во-вторых, теория вероятностей служит теоретической базой математической статистики, находящей широкое применение в эмпирических исследованиях.

Предмет теории вероятностей

Многие явления в окружающем нас мире носят случайный характер, т.е. если явление наблюдать один раз, то нельзя точно предсказать, как оно будет протекать. Но если это явление наблюдать многократно при неизменных условиях, то оказывается, что протекание этого явления можно описать с помощью чисел, т.е. количественно.

Примеры:

1. если бросать монету один раз, то нельзя предсказать, что выпадет герб или цифра;

2. посеянное зерно может дать всход, а может и не взойти.

Если это наблюдение проводить много раз, то можно заметить закономерность:

1. при подбрасывании монеты отношение числа выпадений герба (цифры) к общему числу подбрасываний очень мало отличается от ½, чем больше наблюдений тем ближе к ½;

2. при посеве зерен отношение числа зерен, давших всходы, к общему числу посеянных зерен мало, чем отличается от некоторого постоянного числа, с возрастанием общего числа зерен.

О результатах подобных наблюдений говорят, что они обладают свойством статистической устойчивости. Теория вероятностей дает математические модели для описания случайных явлений, которые могут быть воспроизведены при неизменных условиях сколько угодно много раз и обладающих свойством статистической устойчивости. Приступая к построению математической модели, учитывают главные наиболее существенные особенности изучаемого явления или процесса и отбрасывают те, которые на данном уровне исследований считаются второстепенными.

Так при подбрасывании монеты предполагаются только два возможных исхода – выпадение герба или цифры, возможность падения монеты на ребро или возможность ее исчезновения в результате испытания не учитываются. При высеве семян допущения состоят в том, что семена абсолютно одинакового качества, высаживаются в одинаковых условиях. Различие в качестве, условия высева и произрастания не учитываются, т.е. считаются несущественными.

В действительности и качество семян, и условия их посева и произрастания одинаковыми не бывают.

При такой постановке задачи выводы, полученные в результате изучения моделей, будут отражать особенности явления лишь в главном, а при решении прикладных задач ответ на поставленный вопрос будет приближенным.

Теория вероятностей – это математическая наука о количественных закономерностях моделей случайных явлений независимо от их конкретной природы.

Теория вероятностей широко используется в теоретических и прикладных науках: физике, геодезии, теории автоматического управления и т.д. В частности, она служит теоретической базой математической и прикладной статистики, на основе которых осуществляется планирование и организация производства.

Определения понятия вероятности

Значения вероятности как меры случайности во многом определяются характеристиками тех моделей случайных событий и явлений, которые используются как наиболее адекватные в тех или иных ситуациях. Фактически, различные определения понятия вероятности, изложенные ниже, показывают основные типы таких моделей и, соответственно, как в этих моделях получаются числовые значения вероятностей.

Случайные события

Математическая теория вероятностей даёт модель реальности, которая может быть более или менее адекватна этой реальности. Адекватная модель всегда включает самые существенные для анализа ситуации объекты и связи между ними.

Опишем модель случайного события, которая используется в современной теории вероятностей.

Опыт – это действие, которое при неоднократном повторении может давать различные результаты.

Событие – это любое последствие осуществления опыта, любой факт или явление, которое произошло в результате осуществления опыта. Событие называется случайным, если в результате опыта оно может произойти, а может и не произойти.

Примеры опытов и случайных событий.

1. Опытом можно считать стрельбу по цели. Событиями можно считать попадание или непопадание в мишень (это разные события).

2. Опытом можно считать подбрасывание монетки. Одно событие тогда – это выпадение орла, другое событие – выпадение решки.

Событие называется достоверным, если в результате опыта оно обязательно происходит. Событие называется невозможным, если оно ни при каких условиях не может произойти в результате опыта.

Например, достоверным является событие выпадения орла или решки при подбрасывании монетки (какая-то сторона монетки выпадет всегда, на ребро она не встанет, как мы считаем).

Два события A и B считаются несовместными, если в результате опыта одновременно они осуществиться не могут, будет осуществлено либо A, либо B, но не оба сразу. Группа событий называется несовместной, если никакие два из них не могут осуществиться одновременно в результате опыта.

Например, выпадение орла и выпадение решки при подбрасывании монетки – это несовместные события, т.к. может осуществиться только одно из них. Пример группы несовместных событий – выпадение граней игрального кубика: может выпасть от 1 до 6, но только что-то одно.

Группа событий называется полной, если в результате опыта хотя бы одно из них обязательно осуществится, т.е. в этой группе событий есть все варианты осуществления такого опыта.

Например, полная группа событий – это выпадение граней игрального кубика: может выпасть от 1 до 6, ничего другого выпасть не может.

События называются равновозможными в данном опыте, если у них равные возможности осуществиться, т.е. нет каких-то факторов, способствующих осуществлению одних событий и препятствующих осуществлению других.

Например, равновозможны выпадения чисел от 1 до 6 при бросании игрального кубика.

Если события составляют полную группу равновозможных событий, то каждое такое событие называется исходом опыта.

Событие A называется благоприятствующим событию B, если наступление события A влечёт за собой наступление события B.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-01-20; просмотров: 958; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.221.43.155 (0.01 с.)