Случайные погрешности прямых измерений

Оценка истинного значения измеряемой величины

Случайные погрешности проявляются при многократных измерениях одной и той же величины в одинаковых условиях. Влияние случайных погрешностей на результат измерений надо учитывать и стремиться по возможности уменьшать.

Пусть в процессе прямых измерений получен ряд значений физической величины: Х ₁, Х ₂, Х ₃ ,..., Х_n.

Как оценить истинное значение величины и найти случайную погрешность измерений?

Для большинства измерений наилучшей оценкой истинного значения Х_ист, как показано в математической теории погрешностей, следует считать среднее арифметическое Х_ср ряда измеренных значений (в данной работе для обозначения среднего арифметического значения используется индекс “ср”, например Х_ср или черта над величиной, например ):

, (1.1)

где n – количество проведенных измерений величины Х.

Оценка случайной погрешности

Теперь надо ответить на вопрос: чему равна случайная погрешность D _сл полученной выше величины Х_ср?

В теории погрешностей показано, что в качестве оценки случайной погрешности D _сл среднего арифметического значения Х_ср следует брать так называемое среднее квадратическое отклонение s, которое вычисляется по формуле:

. (1.2)

Очень важной особенностью этой формулы является то, что определяемая величина случайной погрешности s уменьшается при увеличении числа измерений n. (систематическая погрешность этим свойством не обладает). Значит, если необходимо уменьшить случайную погрешность, то это можно сделать путем увеличения количества повторных измерений.

Эта величина погрешности определяет тот интервал, внутрь которого попадает истинное значение измеренной величины с определённой вероятностью Р. Чему же равна эта так называемая доверительная вероятность?

Теория погрешностей показывает, что для большого количества измерений n >30, если случайную погрешность принять равной среднему квадратическому отклонению D _сл=s, то доверительная вероятность равна 0,68. Если в качестве оценки случайной погрешности взять удвоенное значение D _сл= 2 s, то внутрь этого увеличенного интервала истинное значение будет при многократных измерениях попадать с доверительной вероятностью Р= 0,95, для интервала D _сл= 3 s вероятность Р= 0,997 (рис. 1.1).

В интервал 1 (см. рис. 1.1) истинное значение величины Х может попасть с вероятностью Р= 0,68, в интервал 2 - с вероятностью Р= 0,95, в интервал 3 – с вероятностью Р= 0,997.

Какой же оценкой для случайной погрешности следует пользоваться? Для измерений, которые проводятся с учебными целями, достаточно в качестве оценки D _сл брать s, для которой Р= 0,68. Для научных измерений обычно используют оценку D _сл= 2 s с Р= 0,95. В особо ответственных случаях, когда проводимые измерения связаны с созданием эталонов или имеют значение для здоровых людей, в качестве оценки случайной погрешности берут 3 s, для которой Р= 0,997.

В лабораторных работах можно брать в качестве оценки случайной погрешности D _сл величину s, для которой доверительная вероятность Р= 0,68.

Суммирование погрешностей

Общая абсолютная погрешность измерения D всегда содержит две составляющие: систематическую погрешность D _с и случайную погрешность D _сл

Можно оценить величину D _с (п.4) и отдельно оценить величину D. Как после этого найти суммарную погрешность?

Общая абсолютная погрешность находится по формуле

. (1.3)

Сложение погрешностей можно интерпретировать и графически (рис. 1.2). Общая погрешность D равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются D_с и D_сл.

Покажем, что часто при сложении погрешностей формулой (1.3) можно и не пользоваться. Пусть одна из погрешностей, например D_с, в 2 раза меньше, чем другая D_сл. Тогда, согласно формуле (1.3),

= .

Видно, что абсолютная погрешность в этом случае лишь на 10% больше, чем случайная. То есть если бы систематической погрешности вообще не было, то в нашем примере это мало бы повлияло на общую абсолютную погрешность. Теперь учтем, что погрешность редко удается оценить с точностью лучше чем 10-20%, тогда в нашем случае можно положить D=D _сл, то есть систематической погрешностью D _с можно вообще пренебречь.

Из сказанного вытекают следующие правила измерений:

1. Если систематическая погрешность в два и более раз больше, чем случайная, то случайной погрешностью можно пренебречь; большое количество измерений при этом проводить нецелесообразно, так как D _с не уменьшается при увеличении n. Итак, если D _с > 2D_сл, то D» D _с (при этом достаточно провести три-четыре измерения только для того, чтобы убедиться, что показания прибора повторяются без случайных отклонений).

2. Если, наоборот, случайная погрешность более чем в 2 раза превышает систематическую, то систематической погрешностью можно пренебречь, то есть если D _сл > 2D _с, то D» D _сл (желательно провести побольше измерений для уменьшения D _сл).

3. Если обе составляющие общей абсолютной погрешности соизмеримы, то следует их суммировать по формуле (1.3) или графически по рис. 1.3. (Количество измерений целесообразно увеличить для уменьшения D_сл и перехода к случаю 1).

Принимая во внимание, что вместо D _сл можно взять её оценку s, то формула (1.3) примет вид:

На схеме (рис. 1.3) обобщены методы определения погрешности при прямых измерениях.

Правила округления погрешности и результата измерения

Рассчитывая значения систематической, случайной и суммарной погрешностей, особенно при использовании электронного калькулятора, получают значение с большим числом знаков. Однако исходные данные для этих расчетов всегда указываются с одной или двумя значащими цифрами. Действительно, класс точности прибора на его шкале указывается не более чем с двумя значащими цифрами, а среднее квадратичное отклонение не имеет смысла записывать с более чем двумя значащими цифрами, так как точность этой оценки при 10 измерениях не выше 30%.

Вследствие этого и в окончательном значении расчетной погрешности должны быть оставлены только первые одна – две значащие цифры.

При этом необходимо учитывать следующее. Если полученное число начинается с цифры 1 или 2, то отбрасывание второго знака приводит к очень большой ошибке (до 30 – 50%), это недопустимо. Если же полученное число начинается, например, с цифры 9, то сохранение второго знака, то есть указание погрешности, например, 0,94 вместо 0,9, является дезинформацией, так как исходные данные не обеспечивают такой точности.

В итоге можно сформулировать правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного экспериментального результата измерения:

1. Абсолютная погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной, – если первая есть 3 и более.

2. Среднее значение измеренной величины округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.

3. Относительную погрешность, выраженную в процентах, достаточно записать двумя значащими цифрами.

4. Округления производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления будут с одним-двумя лишними знаками.

Пример: На вольтметре класса точности 2,5 с пределом измерений 300 В были произведены несколько повторных измерений одного и того же напряжения. При этом оказалось, что все замеры дали одинаковый результат 267,5 В.

Отсутствие различий между знаками говорит о том, что случайная погрешность пренебрежимо мала, поэтому суммарная погрешность совпадает с систематической (см. рис. 1.3 а).

Сначала найдем абсолютную, а затем относительную погрешности. Абсолютная погрешность градуировки прибора равна:

Так как первая значащая цифра абсолютной погрешности больше трех, то это значение должно быть округлено до 8 В.

Относительная погрешность:

В значении относительной погрешности должны быть сохранены два значащих разряда 2,8%

Таким образом, в окончательном ответе должно быть сообщено “Измеренное напряжение U =(268+8) В при относительной погрешности d_U =2,8% ”.