Метод Гомори. Целочисленное решение

Значительная часть задач коммерческой деятельности требует целочисленного решения. К ним относятся задачи, у которых переменные величины означают количество единиц неделимой продукции, например распределение товаров между коммерческими предприятиями, раскрой материалов, число станков при загрузке оборудования, распределение транспортных средств по рейсам, распределение коммерческих заказов между оптовыми предприятиями, продажа автомобилей, распределение самолетов по авиалиниям, количество вычислительных машин в управляющем комплексе и др. Линейные задачи, решение которых должно быть получено в целых числах, называют задачами целочисленного программирования. Задача целочисленного программирования формулируется так же, как и задача линейного программирования, но включает дополнительное требование, состоящее в том, что значения переменных должны быть целыми неотрицательными числами, например, х1 = 30 станков, х2 = 16 самолетов, х3= 7 человек. Методы целочисленной оптимизации можно разделить на три основные группы: а) методы отсечения; б) комбинированные методы; в) приближенные методы. Рассмотрим один из методов отсечения — метод Гомори. Сущность методов отсечения состоит в том, что сначала задача решается без условия целочисленности. Если полученный план целочисленный, то задача решена. В противном случае к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, обладающее следующими свойствами: а) оно должно быть линейным; б) должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план; в) не должно отсекать ни одного целочисленного плана. Дополнительное ограничение, обладающее указанными свойствами, называется правильным отсечением. Алгоритм Гомори, основанный на симплексном методе, имеет простой способ построения правильного отсечения и содержит следующие этапы. 1. Задача линейного программирования решается без учета условия целочисленности симплексным или двойственным симплексным методом. Если все элементы оптимального плана целые числа, то решение заканчивается для задачи целочисленного программирования. 2. Если среди элементов оптимального решения есть нецелые числа, то необходимо выбрать элемент с наибольшей дробной частью и составить дополнительное ограничение (сечение), которое отсекает нецелочисленные решения. Дополнительное ограничение дается в том случае, если значение базисной переменной в оптимальном плане xi=bi — дробное число. Тогда некоторые элементы аij в i-й строке симплексной таблицы также дробные числа. Обозначим [bi] и [аij] целые части чисел bi и аij, т.е. наибольшие целые числа, не превышающие bi и aij. Величины дробных частей qi и qij определяются как разности следующим образом: qi = bi - [bi]; qij =аij - [aij] и являются положительными числами. Тогда неравенство qi-qi1 x1 - qi2x2 -... - qimxn £ 0, сформированное по i-й строке симплексной таблицы обладает всеми свойствами правильного отсечения. 3. Неравенство преобразуется в уравнение путем введения дополнительной неотрицательной переменной и включается в оптимальную симплексную таблицу. 4. Полученная расширенная задача решается двойным симплексным методом. Если новый оптимальный план будет целочисленным, то задача решена. В противном случае необходимо вернуться к п. 2 алгоритма. Если в процессе решения в симплексной таблице появится уравнение с нецелым свободным членом bi и целыми коэффициентами aij, то данная задача не имеет целочисленного оптимального решения. Пример. Маркетинговые исследования указали на необходимость освоения выпуска новой продукции. Поэтому на предприятии решено установить новое технологическое оборудование на освободившейся площади 10 м2. На приобретение оборудования двух видов выделено 6 млн. руб. Комплект первого вида оборудования стоимостью 1 млн руб. устанавливается на площади 5 м2 и позволяет увеличить доход предприятия на 8 млн руб. Комплект второго вида оборудования занимает площадь 2 м2, стоит 1 млн руб. и обеспечивает увеличение дохода предприятия на 5 млн руб. Определите, какое количество технологического оборудования каждого вида следует закупить, чтобы обеспечить максимальное увеличение дохода предприятия от продажи выпускаемой продукции.

 

 

Алгоритм гомори

3.1 Постановка полностью целочисленной задачи линейного программирования

Минимизировать ф-ю при ограничениях , где

3.2 Краткое описание алгоритма Гомори

Сначала находим оптимальное решение непрерывной задачи (применяется прямой или двойственный симплекс-метод).

Пусть бащисные переменные выражены через свободные след. образом:

, где G – множество индексов свободных переменных в оптимальном решении непрерывной задачи.

Это может быть записано как

, где [ x ] – целая часть х, а х⁰ – дробная.

Тогда, если предположить, что l -ая переменная оптимального решения приняла др. значение, то введем новое ограничение

, где

Это будет дополнительная строка в симплекс-таблице.

Далее решаем задачу двойственным симплекс-методом (при выборе отрицательного элемента в столбце свободных членов это будет )