а Методические указания к выполнению контрольной

Работы №2

Приступить к решению задач второй контрольной работы следует после изучения основных вопросов программы предмета и повторения раздела «Статика» (методика определения реакций связей балок и стержневых конструкций). В процессе изучения учебного материала требуется внимательно разобрать соответствующие примеры решения задач, которые имеются в учебниках и пособиях. Затем самостоятельно решить несколько аналогичных задач и только после этого выполнить контрольное задание.

Изучая соответствующий учебный материал, следует иметь четкое представление о методе сечения для определения внутренних силовых факторов (ВСФ). Легко запомнить все пункты метода сечений, если записать их словом «РОЗУ»:

Р – разрезаем тело плоскостью на две части,

О – отбрасываем одну часть,

З – заменяем действие отброшенной части внутренними силами,

У – уравновешиваем оставшуюся часть и из уравнения равновесия определяем внутренние силы.

В общем случае нагружения тела внутренние силы (силы упругости), возникающие в поперечном сечении нагруженного бруса, могут быть заменены их статическом эквивалентом – главным вектором и главным моментом. Если последние разложить по осям координат (рис. 13), то получим шесть составляющих с общим названием «внутренние силовые факторы»: N_Z –продольная сила; Q_X, Q_У – поперечные силы; М_Z – крутящий момент; М_Х и М_У – изгибающие моменты.

Числовая мера интенсивности внутренних сил, приходящихся на единицу площади сечения у какой-либо точки, называется напряжением.

Шесть внутренних силовых факторов вместе с известными внешними силами на оставшейся части бруса образуют уравновешенную систему сил, для которой можно составить шесть уравнений равновесия. В каждое из этих уравнений входит один из неизвестных внутренних силовых факторов. Решая уравнение, найдем:

N_Z = ΣF_Z Μ_Z = ΣΜ_Z(F);

Q_Y = ΣF_Y Μ_Y = ΣΜ_Y(F);

Q_Х = ΣF_Х М_Х = ΣΜ_Х(F);

Нормальное напряжение σ - следствие возникновения продольной силы N_Z или изгибающих моментов М_Х и Μ_Y; касательные напряжения τ – следствие возникновения поперечных Q_Х и Q_Y или крутящего момента Μ_Z.

Числовое значение напряжений в поперечных сечениях тела зависит е только от возникновения силового фактора, но и от размеров поперечного сечения – от соответствующей геометрической характеристики прочности сечения.

Условием прочности при расчете по допускаемому напряжению называется неравенство вида υ ≤ [σ] или τ ≤ [τ], где [σ] и [τ] – допускаемые напряжения, т.е. максимальные значения напряжений, при которых гарантируется прочность детали.

 

[σ] = σ_пред|/[n],

 

где σ_пред - предельное напряжение для материала рассчитываемой детали; [n] – коэффициент запаса прочности детали, зависит от ответственности детали, срока службы, точности расчета и других факторов.

 

 

При решении задачи следует применять единицы Международной системы (СИ), а также кратные и дольные от них.

Единицей давления, механического напряжения и модуля упругости установлен паскаль (1 Па = 1 Н/м²) и кратная единица – мегапаскаль

(1 МПа = 10⁶ Па). Отметим, что 1 МН/м² = 1 Н/мм².

К решению первой задачи второй контрольной работы (№ 61 – 70), следует приступать после изучения темы «Растяжение и сжатие», метода сечений и разбора решенных примеров в данном пособии и рекомендуемой литературе – (1, гл. 3) и (2, гл. 19).

Задача требует от учащегося умения определить продольные силы, нормальные напряжения, удлинения и построить эпюры N и σ.

Растяжением (сжатием) называют такое нагружение бруса, при котором в поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N, в любом поперечном сечении бруса численно равная алгебраической сумме внешних сил, действующих на оставленную часть бруса.

Простейшие случаи растяжения и сжатия представлены на рис. 14, а, б; в центрах тяжести торцевых поперечных сечений бруса приложены две равные противоположно направленные силы, линии, действия которых совпадают с осью бруса.

Продольные силы N, соответствующие деформации растяжения, считаются положительными (рис. 14, в), в противном случае они отрицательные (рис. 14, г).

Удлинение (укорочение) бруса или отдельных его участков определяется по формуле Гука:

 

∆l = Nl / АЕ,

 

которую можно определить еще в виде ∆l =σ(l /Е), помня, что Н/А = σ.

Пример 9. Для двухступенчатого бруса (рис. 15,а) определить и построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Определить удлинение (укорочение) бруса. Модуль упругости Е = 2 · 105 Н/мм².

 

 

Р е ш е н и е. Разделим брус на участки, границы которых определяются сечениями, где изменяется площадь поперечного сечения или приложены внешние нагрузки. При составлении уравнений равновесия надо использовать правила знаков проекций сил, принятых в теоретической механике, а именно: проекция силы берется со знаком плюс, если ее направление совпадает с положительным направлением оси. Мысленно рассечем брус в пределах первого участка и отбросим верхнюю часть бруса (рис. 15,б). Вместо отброшенной верхней части приложим внутреннюю силу N₁, которая уравновешивается силой F₁:

 

N₁ = F₁ = 40 · 10³ Н = 40 кН.

Аналогично, в пределах участка II (рис. 15,в) отбросим верхнюю часть бруса и рассмотрим оставленную часть бруса с действующей силой F₁, которая уравновешивается продольной силой N_1I:

 

N_1I = F₁ = 40 · 10³ Н = 40 кН.

 

Продольная сила на участке III (рис. 15,г) уравновешивается в сечении внешними силами F₁ и F₂ и равна их алгебраической сумме:

 

N_III = F₁ – F₂ = 40 · 10³ – 50 · 10³ = - 10 · 10³ = - кН.

 

В пределах каждого участка нагружения продольная сила постоянна, а поэтому на эпюре изобразится линией, параллельной оси бруса. Эпюра штрихуется линиями, перпендикулярными оси бруса.

Построим эпюру N (рис. 15,д). Для этого параллельно оси бруса проведем базовую (нулевую) линию. Левее ее откладываем значение продольной силы, вызванной сжатием участка, а правее – растяжением. В пределах участка III брус сжат (N_III = - 10 кН), в пределах участков II и I брус растянут (N_II = N_I = 40 кН).

Для определения напряжений σ в поперечных сечениях значение продольных сил необходимо разделить на площади соответствующих сечений

σ = N/A.

Площадь поперечного сечения бруса первого участка

 

А₁ = мм².

 

Площадь поперечного сечения бруса на участках II и III

 

А_I = A_III = м².

Находим напряжение на отдельных участках бруса и строим эпюру (рис. 15,е):

 

σ_I = H/мм²;

 

σ_ІI = H/мм²;

 

σ_ІII = H/мм²;

 

В соответствии с полученными значениями напряжений строим эпюру нормальных напряжений.

При построении эпюр продольных сил и нормальных напряжений нет необходимости изображать отдельно отсеченные части бруса, достаточно обратить внимание на то, что продольная сила, возникающая в произвольном сечении, равна алгебраической сумме всех внешних вил, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения, а нормальное напряжение равно отношению продольной силы к соответствующей площади поперечного сечения. Кроме того, при построении эпюр и проверки их правильности следует руководствоваться следующими правилами:

1. Скачки на эпюрах N имеют место в точках приложения сосредоточенных сил. Величина скачка равна внешней силе.

2. На эпюре σ скачки имеют место не только в точках приложения сосредоточенных сил, но и в местах изменения площади поперечного сечения.

3. Знаки на участках эпюры σ должны совпадать со знаками на соответствующих участках эпюры N.

Полное удлинение бруса можно найти, воспользовавшись эпюрой N, представленной на рис. 15, д, т.е. полное удлинение бруса равно алгебраической сумме удлинений его участков:

 

∆t =

 

=

 

= мм,

 

или

∆t = σ_І

 

∆t =

мм,

∆t = 0,79 мм.

 

Во второй задаче (№ 71 – 80) рассматриваются статически неопределимые системы с числом неизвестных реакций связи, на единицу превышающую число уравнений статики (уравнений равновесия), которые можно составить для этой системы. Поэтому при решении подобных задач рекомендуется придерживаться такой последовательности:

1) брус, равновесие которого рассматривается, освободить от связей и заменить действие связей реакциями;

2) составить уравнение равновесия, в него войдут неизвестные реакции связей, без которых невозможно определить продольные силы, возникшее в стержне (уравнение проекций всех внешних сил на ось и уравнение моментов относительно неподвижного шарнира, которым жесткий брус прикреплен к стене);

3) рассмотреть картину деформации системы, изобразив ее на рисунке;

4) рассматривая с геометрической точки зрения картину деформации, составить уравнение перемещений, в которое войдут те же неизвестные реакции, что и в уравнении статики;

5) произвести в уравнении перемещений необходимые упрощения;

6) уравнение статики и уравнение перемещений решить совместно, определить искомые реакции связей;

7) определить внутренние силовые факторы (продольные силы) в частях деформируемого стержня (если в задаче требуется определить допускаемую нагрузку), выразить продольные силы через искомую нагрузку;

8) завершить решение задачи, производя заданный в ее условии расчет.

Исходя из условия прочности, можно производить три вида расчетов: а) проверочный, при котором проверяется, выполнено ли условие прочности

σ ≤ [σ] (или n ≤ [n]);

б) определение допускаемой нагрузки;

в) проекторный, при котором определяются необходимые размеры поперечных сечений бруса, обеспечивающие заданную прочность.

Пример 10. Жесткий брус OD (рис. 16, а), шарнирно закрепленный в точке О, удерживается в равновесии с помощью стержней 1 и 2. В точке D брус нагружен силой F = 40 кН. Определить напряжения в поперечных сечениях обоих стержней, если а = 1 м, площади поперечных сечений соответственно А₁ = 4 см² и А₂ = 6 см².

Р е ш е н и е. Вырезаем стержни и заменяем их действие на брус силами N₁ и N₂ (рис. 16, б). В данном случае реакции шарнира О нас не интересуют, а в уравнение моментов относительно точки О (уравнение равновесия статики)

- F · 2,5a + N₂2a + N₁a = 0 (1)

входят обе неизвестные силы. Следовательно, задача один раз статически неопределима (уравнение проекций на оси х и у ничего не дают, так как в них войдут еще две неизвестные составляющие реакции шарнира О).

Для того чтобы еще раз составить дополнительное уравнение перемещений, допустим, что после нагружения бруса узел С опустился на

∆l₂, а узел В – на ∆l₁. Из подобия треугольников ОВВ₁ и ОСС₁ получим уравнение перемещений:

 

∆l₂ = 2∆l₁. (2)

 

Так как ∆l₁ = N₁ l₁ / (Е А₁) и ∆l₂ = N₂ l₂ / (Е А₂), а l₂ = 2 l₁, что следует из рассмотрения тех же треугольников ОВВ₁ и ОСС₁, то уравнение (2) примет вид

 

Подставив в это уравнение значения А₁ = 4 см² и А₂ = 6 см², находим, что N₂ = 1,5 N₁.

Решив последнее уравнение совместно с уравнением (1), получим

 

- F · 2,5a + 1,5N₁ · 2a + N₁a = 0,

откуда N₁ = ;

N₂ = 1,5 N₁ = 1,5 · 25 = 37,5 kH = 37,5 · 10³ H.

 

Теперь легко найти напряжения в поперечных сечениях стержней, помня, что А₁ = 4 см² = 400 мм² и А₂ = 6 см² = 600 мм²,

 

σ₁ = Н/мм²,

 

σ₂ = Н/мм²,

 

Пример 11. Абсолютно жесткий брус (рис. 17, а) опирается на шарнирно неподвижную опору О и прикреплен к двум стержням в точках В и С с помощью шарниров. Определить: а) нормальные силы, возникшие в стержнях; б) допускаемую нагрузку [F], приравняв большее из напряжений, возникшее в одном из стержней, допускаемому напряжению [σ]=160 Н/мм².

Р е ш е н и е. Разрезаем стержни и водим искомые силы N₁ и N₂ (рис. 17, б), составляем момент равновесия, приняв за центр моментов шарнир О:

 

Fa – N₁2a – N₂5a = 0, (1)

которое после деления обеих частей на а приобретает вид

 

F – 2N₁ – 5N₂ = 0.

В результате удлинения стержней брус займет новое положение (рис. 17,б). Из подобия треугольников ОВВ₁ и ОСС₁ следует пропорция

∆l₁/2а = ∆l₂/5а, из которой получаем зависимость между удлинениями стержней: 5∆l₁ - 2∆l₂ = 0.

Выразим в этом уравнении перемещения шарниров В (∆l₁) и (∆l₂) по формуле Гука:

 

(2)

 

Умножим обе части уравнения на Е и, подставив числовое значение величин l₁ = 4 ·10³ мм, l₂ = 3 ·103 мм, А₁ = 20 · 10² мм² и А₂ = 10 · 10² мм², получим уравнение перемещений в окончательном виде:

 

5N₁ - 3 N₂ = 0.

 

Решив совместно уравнения (1), (2), находим значения искомых сил:

 

N ≈ 0,1F и N₂ ≈ 0,16F.

 

По найденным значениям внутренних сил находим напряжения в сечениях стержней:

 

σ₁ = 5 · 10^-5F Н/мм²

и σ₂ = 16 · 10^-5F Н/мм²

σ₂ > σ₁, следовательно, допускаемую нагрузку определяем по напряжениям в стержне 2, помня, что

[σ]=160 и 16 · 10^-5[F] = 160 · [F] = 10⁶ Н = 1000 кН.

 

Третью задачу (№ 81 – 90) следует решать после изучения темы «Практические расчеты на срез и смятие» и разбора решенного примера.

Детали для соединения отдельных элементов машин (заклепки, болты, штифты и т.п.) воспринимают нагрузки, перпендикулярные их продольной оси. Расчеты таких деталей базируются на следующих основных допущениях: 1) в поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор – поперечная сила Q; 2) касательные напряжения в поперечном сечении распределены по его площади равномерно; 3) если соединение осуществлено несколькими одинаковыми деталями (болтами и т.п.), то принимается, что все они нагружены одинаково.

Условие прочности при срезе

τ_ср = Q/iR ≤ [τ_ср],

где τ_ср – расчетное касательное напряжение среза, возникающее в поперечном сечении растачиваемой детали; R – количество срезов одной заклепки; Q – поперечная сила; i – число болтов, заклепок и т.п.;

[τ_ср] = (0,25…0,35)σ_Т – допускаемое напряжение среза, где σ _Т – предел текучести материала болта.

Расчетная формула на смятие имеет вид

 

σ_см = F/(iA_см) ≤ [σ_см],

 

где А_см – расчетная площадь смятия; А_см = δ_min · d; [σ_см] – допускаемое напряжение на смятие, принимают по табл. 7; δ_min – минимальная толщина соединяемых деталей; d – диаметр заклепки.

В заклепочном соединении проверяется прочность листа по формуле

 

σ = ≤ [σ],

 

где m – число заклепок, попадающих в одно сечение листа; b – ширина листа; δ – толщина листа; d – диаметр заклепок.

Пример 12. Определить высоту h и диаметр d головки стержня, нагруженного растягивающей силой F (рис. 18). Допускаемые напряжения для стали СтЗ при продавленных отверстиях принимаем [σ] = 140 Н/мм²

(см. табл. 7).

 

 

Р е ш е н и е. Определяем допускаемую нагрузку из условия прочности на растяжение:

F_р = [σ] ;

F_р = 140 · = 176 ·10³ Н.

 

Определяем высоту головки из условия прочности на срез, принимая

[τ]_ср = 100 Н/мм².

 

Таблица 7 – Допускаемые напряжения для сталей

Материал конструкции	Допускаемые напряжения, Н/мм^2
При продольных отверст.	При сверленых отверст.
[τ]ср	[σ]см	[τ]ср	[σ]см
Сталь Ст2
Сталь Ст3

 

τ_ср = F_р/(πd₀h) ≤ [τ]_ср, откуда

 

h = = 13 мм.

 

Определяем диаметр опорной поверхности головок из условия ее прочности на смятие, принимая [σ]_см = 280 Н/мм².

 

σ_см = ≤ [σ]_см, откуда

 

D = = 50 мм.

 

К решению четвертой задачи (№ 91 – 100) следует приступить после изучения темы «Кручение» и разбора решенного примера.

В соответствии с международной системой единиц (СИ) заданную в условии частоту вращения n (об/мин) необходимо выразить в единицах угловой скорости (рад/с), применив формулу ω = πn/30. Тогда зависимость между передаваемой мощностью Р (кВт), угловой скоростью ω (рад/с) и внешним моментом М_вр (Н · м), скручивающим вал, запишется в виде

М_вр = Р/ω.

Допускаемый угол закручивания на практике обычно задается в град/м, поэтому для перевода в единицы СИ это значение необходимо умножить на

π/180°. Например, если дано [φ°] = 0,4 град/м, то 0,4 град/м = 0,4 π/180° =

= 0,007 рад/м = 7 · 10^-3 рад/м.

Пример 10. Для стального вала (рис. 19, а) определить из условия прочности требуемые диаметры каждого участка и углы закручивания этих участков. Угловую скорость вала принять ω = 100 рад/с, допускаемое напряжение [τ] = 30 МПа, модуль упругости сдвига G = 0,8 · 10⁵ Н/мм².

Р е ш е н и е. Вал вращается с постоянной угловой скоростью, следовательно, система вращающих моментов уравновешена. Мощность, подводимая к валу без учета потерь на трение, равна сумме мощностей, снимаемых с вала:

 

Р₁ = Р₂ + Р₃ + Р₄ = 10 + 12 + 8 = 30 кВт.

 

Определяем вращающие моменты на шкивах:

 

М₁ = Р₁/ω = 30 · 10³/100 = 300 Н · м;

М₂= Р₂/ω = 10 · 10³/100 = 100 Н · м;

М₃= Р₃/ω = 12 · 10³/100 = 120 Н · м;

М₄= Р₄/ω = 8 · 10³/100 = 80 Н · м;

 

Для построения эпюр крутящих моментов проведем базовую (нулевую) линию параллельно оси вала и, используя метод сечений, найдем значения крутящего момента на каждом участке, отложим найденные значения перпендикулярно базовой линии.

Вал имеет три участка, границами которых являются сечения, в которых приложены внешние моменты. В пределах каждого участка, значение крутящего момента сохранятся постоянным

(рис. 19, б):

 

М = - М₄ = - 80 Н · м;

М = - М₄ – М₃ = - 80 – 120 = - 200 Н · м;

М = М₂ = - М₄ – М₃ + М₁ = 100 Н · м.

Кручением называют такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент М_к.

Крутящий момент в каком-либо поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на оставленную часть вала в плоскостях перпендикулярно оси вала и приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

При вычислении крутящих моментов целесообразно установит правило знаков: рассматривая любую из оставленных частей бруса со стороны сечения, внешние моменты, действующие по ходу часовой стрелки, считать, положительными, действующие против хода часовой стрелки – отрицательными.

Из условия прочности диаметр вала на первом участке определяем по формуле

τ = ≤ [τ],

откуда

d₁ = = 25 мм.

На втором участке

 

d₂ = = 35 мм.

 

На третьем участке

 

d₃ = = 28 мм.

 

Вычисляем полярные моменты инерции сечений вала:

I_pI = ≈ 0,1 · 25⁴ = 3,9 · 10⁴ мм⁴;

I_pII = 0,1 · 35⁴ = 15 · 10⁴ мм⁴;

 

I_pIII = 0,1 · 28⁴ = 6,2 · 10⁴ мм⁴.

 

Углы закручивания соответствующих участков вала:

 

φ₁ = = - 0,16°;

 

φ₂ = = - 0,38°;

 

φ₃ = = 0,29°;

 

Пятую задачу контрольной работы (№ 101 – 110) следует решать после изучения темы «Изгиб» и внимательного разбора примеров 14 и 15 настоящего пособия.

При прямом поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникает два внутренних силовых фактора – поперечная сила Q_y и изгибающий момент М_х. Поперечная сила, возникающая в произвольном поперечном сечении, численно равна алгебраической сумме всех внешних сил (если все силы параллельны оси у), действующую на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих на балку по одну сторону, от рассматриваемого сечения относительно той точки продольной оси балки, через которую проходит рассматриваемое сечение.

Для отыскания опасного сечения строят эпюры Q_y и М_х, используя метод сечения.

Условимся о правиле знаков: внешняя сила F, стремящаяся сдвинуть левую часть балки вверх относительно правой или (что то же самое) правую часть вниз относительно левой, вызовет возникновение положительной поперечной силы (рис. 20, а).

Внешняя сила или момент, изгибающие балку таким образом, что сжатые волокна находятся вверху балки (рис. 20, б), вызывают положительный изгибающий момент, который на эпюре М_х откладывается вверх от оси абсцисс, т.е. в сторону сжатых волокон, иначе можно сказать, что эпюры изгибающих моментов строятся на сжатом волокне.

 

 

Для балок, имеющих много участков нагружения, т.е. нагруженных комбинацией нагрузок, целесообразно строить эпюры по характерным сечениям, а именно: вычислять поперечные силы и изгибающие моменты только для сечений, в которых эпюры претерпевают изменения, а затем, зная закон изменения эпюры между найденными сечениями, соединить их соответствующими линиями. К характерным относятся сечения, в которых приложены сосредоточенные силы или моменты, а также сечения, где начинается или кончается распределенная нагрузка.

Для того чтобы вычислить поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечении, необходимо мысленно рассечь плоскостью в этом месте балку и часть балки (любую), лежащую по одну сторону от рассматриваемого сечения, отбросить. Затем по действующим на оставленную часть балки внешним силам надо найти искомые значения Q_y и М_х, причем знак их надо определить по тому действию, какое оказывают внешние силы на оставленную часть балки в соответствии с принятым ранее правилом знаков.

При построении эпюры слева направо отбрасывается правая часть балки, а Q_y и М_х находятся по силам, действующим на левую часть. При построении эпюры справа налево, наоборот, отбрасывается левая часть, а Q_y и М_х определяются по силам, действующим на правую часть балки.

Для построения эпюр необходимо запомнить следующие правила:

1. На участке балки, где отсутствует распределенная нагрузка, эпюра

Q_y - прямая, параллельная базовой линии, а эпюра М_х – наклонная прямая.

2. Под сосредоточенной силой на эпюре Q_y наблюдается скачок, численно разный приложенной внешней силе, а на эпюре М_х - излом.

3. В точке приложения сосредоточенной пары сил на эпюре момента происходит скачок на размер момента этой пары, а эпюра Q_y не претерпевает изменения.

4. На участке действия равномерно распределенной нагрузки эпюра Q_y выражается наклонной прямой, а эпюра M_z – параболой, обращенной выпуклостью навстречу действию распределенной нагрузки.

5. Если на участке действия распределенной нагрузки эпюра пересекает базовую линию, то в этом сечении изгибающий момент принимает экстремальное значение.

6. Если на границе действия распределенной нагрузки не приложено сосредоточенных сил, то на эпюре Q_y участок, параллельный оси абсцисс, переходит в наклонный без скачка, а параболическая и наклонная части эпюры М_х сопрягаются плавно без изгиба.

7. Изгибающий момент в концевых сечениях балки всегда равен нулю, за исключением случая, когда в концевом сечении действует сосредоточенная пара сил. В этом случае изгибающий момент в концевом сечении балки равен моменту действующей пары сил.

8. В сечении, соответствующем заделке, Q_y и М_х численно равны опорной реакции и реактивному моменту.

Решать задачу рекомендуется в такой последовательности:

1) определить реакции опор балки (по двум уравнениям моментов: одно – относительно левой опоры, второе – относительно правой), а затем обязательно проверить правильность решения по уравнению проекций на ось, перпендикулярную балке;

2) построить эпюру поперечных сил;

3) построить эпюру изгибающих моментов (для этого целесообразно использовать метод построения по характерным сечениям, который достаточно подробно изложен в рекомендованных учебниках [1], [2]);

4) по эпюре изгибающих моментов определить расчетный (наибольший по абсолютному значению) изгибающий момент, выразив его в Н · мм;

5) в выражении условия прочности σ = M_n/W_x ≤ [σ] принять σ = [σ] и определить требуемый осевой момент сопротивления поперечного сечения балки;

6) выразить значение W_x в мм³ (при подстановке в расчетную формулу

W_x = M_х / [σ] значения М_х выражаются в Н · мм, а значения [σ] – в Н/мм², в результате получим в мм³) и с помощью таблиц соответствующих ГОСТов по найденному значению W_x подобрать необходимый номер профиля швеллера (ГОСТ 8240 – 72) или двутавра (ГОСТ 8239 – 72); при решении задач контрольной работы, т.е. в учебных целях, можно использовать старые ГОСТы 1956 г. (ГОСТ 8209 - 56 «Балки двутавровые» и ГОСТ 8240 - 56 «Швеллеры»), которые имеются в любом сборнике задач по сопротивлению материалов, изданном до 1976 г.

Пример 14. Для балки (рис. 21, а) построить эпюры поперечных сил, и изгибающих моментов, если сосредоточенные силы F₁ = 4 кН и F = 8 кН, момент

М = 11 кН · м, расстояние а = 2м, b = 4м,

с = 8м.

Р е ш е н и е. Определим опорные реакции:

 

Σ М_А = 0; - F₁ а + F b + М – R_В (b + с) = 0,

откуда

 

R_B = = 0,

 

Σ M_B = 0; - F₁ (a + b + c) + R_A(b + c) – Fc + M = 0,

 

откуда

R_A = = 7 кН.

 

Для проверки составляем сумму проекций всех сил на вертикальную ось у:

 

Σ_Y = 0, - F₁ – F + R_А + R_B = - 4 – 8 + 7 + 5 = 0.

 

Строим эпюру поперечных сил (рис. 21, б).

В сечении К: Q_yК = - F₁ = - 4 кН.

В сечении А: Q_{yA лев} = - F₁ = - 4 кН.

Q_{yA прав} = - F₁ + R_A = - 4 + 7 = 3 кН.

В сечении А: на эпюре Q_y получается скачок на величину реакции R_A.

В сечении D:

Q_{yD лев} = - F₁ + R_A = - 4 + 7 = 3 кН;

Q_{yD прав} = - F₁ + R_A - F = - 4 + 7 – 8 = - 5 кН.

 

В сечении В: Q_yВ = - R_B = - 5 кН.

Строим эпюру изгибающих моментов по характерным сечениям

К, A, D, B (рис. 21, в).

В сечении К изгибающий момент М_хК = 0, так как в этом сечении нет сосредоточенного момента.

В сечении А рассмотрим левую часть, на которую действует сосредоточенная сила F₁:

М_хА = - F₁ · а = - 4 · 2 = - 8 кН · м.

 

В сечении В действует сосредоточенный момент М:

М_хВ = - М = - 11 кН · м.

 

В сечении D рассмотрим правую часть, на которую действует сила R_B

и сосредоточенный момент М:

M_xD = R_BC – M = 5 · 3 – 11 = 4 кН · м.

 

Соединим полученные точки на участках DB и AD наклонными прямыми.

К решению шестой задачи второй контрольной работы (№ 111 – 120) следует приступить после изучения темы 2.7. «Изгиб и кручение» и разбора примера.

При совместном действии изгиба и кручения в поперечном сечении бруса возникают нормальные и касательные напряжения. Расчет производится по формулам, выведенным на основе гипотез прочности:

 

σ_э = ≤ [σ],

где М_Э – так называемый эквивалентный момент.

По гипотезе наибольших касательных напряжений (третья гипотеза прочности)

М_эIII = .

 

По гипотезе потенциальной энергии формы изменения (пятая гипотеза прочности)

М_эV = .

 

В обеих формулах М_К – крутящий момент в опасном поперечном сечении вала; М_И – суммарный изгибающий момент в том же сечении, его числовое значение равно геометрической сумме изгибающих моментов, возникающих в данном сечении от вертикально и горизонтально действующих внешних сил, т.е.

М_И = .

 

Для решения шестой задачи рекомендуется такая последовательность:

1) привести действующие на вал нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действие реакциями в вертикальной и горизонтальной плоскостях, т.е. получить расчетную схему вала;

2) по заданной мощности Р и угловой скорости ω определить вращающие моменты действующие на вал;

3) вычислить нагрузки F₁, F_r1, F₂ и F_r2, приложенные к валу;

4) составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости и отдельно в горизонтальной плоскости (эпюры М_х и М_у);

5) определить наибольшее значение эквивалентного момента

 

М_эIII = .

 

М_эV = .

 

6) положив σ_э = [σ], определим требуемое значение осевого момента

 

сопротивления W_х = ;

7) из выражения определить W_X = πd³/32 определить d – диаметр вала, округлив его значение (в мм) в большую сторону до целого четного числа или числа, оканчивающегося на пять.

Пример 15. Для стального вала круглого поперечного сечения с одним зубчатым колесом (рис. 22, а), передающего мощность Р = 12 кВт при угловой скорости ω = 40 рад/с, определить диаметр вала в опасном сечении, приняв [σ] = 60 МПа и полагая, что F_r = 0,4 F_t.

Р е ш е н и е. 1. Момент, передаваемый валом:

 

М = 300 Н · м.

 

2. Окружная сила

F_t = = 2000 Н.

3. Радиальная сила

F_r = 0,4 F_t = 0,4 · 2000 = 800 Н

4. Опорные реакции от окружной силы (рис. 22, б)

ΣΜ_А = 0; F_t0,3 – R_B0,2 = 0,

 

откуда R_By = = 3000 Н;

ΣΜ_В = 0; F_t0,5 – R_Ау0,2 = 0,

откуда R_Аy = = 5000 Н.

5. Проверяем правильность определения опорных реакций:

ΣY = 0; F_t – R_Ау + R_Ву = 0; 2000 – 5000 + 3000 = 0.

Строим эпюры изгибающих моментов в вертикальной плоскости

(рис. 22, в)

В сечении С: М_С = 0.

В сечении А: М_А = F_t · 0,3 = 2000 · 0,3 = 600 Н · м.

В сечении В: М_В = 0.

Находим опорные реакции от радиальной силы F_r (рис. 22, г):

Σ_ΜА = 0; R_Bх0,2 – F_r · 0,3 = 0,

откуда R_Bх = = 1200 Н.

 

ΣΜ_B = 0; - F_r · R_Ах · 0,2 = 0,

 

откуда

R_Ах = = 2000 Н.

 

Проверяем правильность определения опорных реакций:

ΣY = 0; - F_r