Элементы теоретических знаний

 

Выделим основные группы теоретического материала.

I. Нумерация целых неотрицательных чисел.

II. Конкретный смысл арифметических действий.

III. Термины и символы.

IV. Взаимосвязь между результатами и компонентами арифметических действий.

V. Изменение результата в зависимости от изменения одного из компонентов.

VI. Свойства арифметических действий.

VII. Правила.

Дадим характеристику материала каждой группы.

 

I. Нумерация целых неотрицательных чисел - материал этой группы рассматривается отдельно.

 

II. Конкретный смысл арифметических действий.В курсе математики начальных классов находит отражение теоретико-множественный подход к истолкованию сложения и вычитания целых неотрицательных чисел, в соответствии с операцией объединения попарно- пересекающихся конечных множеств. Возможны различные подходы к введению материала:

1 подход - конкретный смысл усваивается в процессе решения простых задач;

2 подход - выполнение учащимися предметных действий и их интерпретация в виде графических и символических моделей.

Основная цель - осознание предметного смысла числовых выражений и равенства. Деятельность учащихся сводится сначала к переводу предметных действий на языке математики, потом к установлению соответствия меж­ду различными моделями (вербальной, предметной, графической, символической). Затем числовые равенства интерпретируются на числовом луче.

Теоретико-множественная трактовка определения действий умножения лежит в основе разъяснения его смысла. Она легко переводится на язык предметных действий и позволяет для усвоения нового действия активно использовать ранее изученный материал.

Для осознания необходимости введения нового действия можно использовать различные ситуации. Например, предлагается подсчитать количество кафельных плиток для выкладки стены на кухне (стена имеет форму прямоугольника, разбитого на квадраты). Способ поединичного подсчета клеток - трудоемкий, нерациональный. Достаточно подсчитать количество квадратов в 1 ряду и повторить это число слагаемым столько раз, сколько рядов. Делается запись, выясняется, что обозначает каждое число.

Для усвоения смысла умножения используются приемы сравнения, выбора, преобразования, конструирования.

Можно предложить следующие виды заданий:

а) на соотнесение рисунка и математической записи:

 

4´3

3´4

 

 

б) на выбор рисунка, соответствующего данной записи 2´6

 

 

в) на преобразование рисунка с математической записью:

-Какие изменения нужно внести в рисунок, чтобы они соответствовали записи 2´6?

г) на выбор записи, соответствующей рисунку;

д) на сравнение выражений на основе определения умножения (не вычисляя): 12´9 и 12´11;

е) на замену умножения суммой и суммы умножением:

31+31+31+9; 0х5 =0+0+0+0+0+0+0;

ж) на сравнение двух произведений, значение одного из которых известно: 12´3=36; 12´4=?

Основой формирования представления о действии деления служит теоретико-множественный подход к трактовке частного, суть которого сводится к разбиению конечных множеств на равночисленные подмножества, не имеющие общих элементов. Выбор этого подхода обусловлен тем, что он опирается на жизненный опыт при введении новой терминологии и математической записи.

1 подход в изучении конкретного смысла каждого арифметического действия следует рассмотреть в статьях Бантовой М.А., Микулиной, Шадриной И.В. Независимо от того, каким методическим подходом вы руководствуетесь при изучении конкретного смысла арифметического действия, следует обосновать необходимость его введения, название действия, название компонентов и результатов каждого действия, научить правильно записывать и читать, то есть познакомить с необходимой символикой и терминологией.

 

III. Термины и символы:

1) термин: прибавить, вычесть, умножить, разделить, названия действий, результатов и компонентов каждого арифметического действия, увеличить, уменьшить, выражение, равенство, неравенство, уравнение и т.д.;

2) символы: цифры, знаки плюс (+), минус (-), умножить (´), разделить (:), скобки, буквы латинского алфавита, знаки отношения «больше», «меньше», «равно».

Методика ознакомления с терминологией и символикой заключается в том, что эти знания даются в готовом виде, без доказательств: «договорились в математике считать…».

 

IV. В начальных классах раскрывается взаимосвязь между результатами и компонентами каждого арифметического действия (сложения и вычитания, умножение и деление). Разъяснение связи можно начать, оперируя предметными действиями. Так, для введения связи между результатами и компонентами действия сложения можно использовать кружки разных цветов (например, 4 красных и 3 зеленых). Проводится практическая работа, в ходе которой с помощью кружков иллюстрируется сумма чисел 4 и 3, затем вычесть из этой суммы сначала первое слагаемое (4) и установить, что при этом получится второе слагаемое (3), а затем вычесть из суммы (7) второе слагаемое (3) и установить, что при этом получится первое слагаемое (4).

Решение записывается в столбик (без наименования):

4+3=7

7-3=4

7-4=3

Аналогично рассматриваются еще несколько случаев сложения. Учитель помогает заметить, как получены второй и третий примеры из первого. Для этого первый пример надо прочитать с названием компонентов и результата действия сложения; примеры на вычитание читать, не изменяя названия компонентов. Учащиеся подводятся к выводам: двум частным и одному общему:

1) если из суммы вычесть первое слагаемое, то получим второе слагаемое;

2) если из суммы вычесть второе слагаемое, то получим первое слагаемое;

3) если из суммы вычесть известное слагаемое, то получим неизвестное.

Затем взаимосвязь разъясняется при рассмотрении специально подобранных задач, решение которых сопровождается использованием средств наглядности. Аналогично вводится взаимосвязь между результатами и компонентами действий вычитания, умножения и деления. Возможны и другие методические подходы к изучению этого вопроса.

 

V. Изменение результатов в зависимости от изменения одного из компонентов рассматривается после усвоения названия компонентов и результатов действий, взаимосвязи между ними. Проводится практическая работа по выявлению и наблюдению особенностей, которые происходят при изменении одного из компонентов, т.е. дети наблюдают, как будет изменяться результат любого арифметического действия в зависимости от изменения каждого из компонентов. Работа может проводиться в два этапа:

I этап - усвоение характера изменений;

II этап- количественная характеристика изменений и обобщение формулировки.

Работа на I этапе проходит в несколько ступеней:

1) прослеживаются изменения с опорой на наглядный образ (действия с множествами);

2) прослеживаются изменения с опорой на сравнение числовых выражений, вычисляя их значения и делая соответствующие выводы;

3) знания об изменении результатов действий сложения и вычитания применяются при выполнении различных упражнений:

а) теми учащимися, которые усвоили выводы (остальные на основе вычислений выполняли задания);

б) всеми учащимися.

Работа может быть проведена по таблицам, в которых даны названия компонентов и результатов и их числовые значения.

Например:

Слагаемое
Слагаемое
Сумма

Формулируется вывод: если слагаемое уменьшается, а второе остается постоянным, то сумма уменьшается. Если в таблице первое слагаемое будет увеличиваться, то вывод следующий: если первое слагаемое увеличивается, а второе остается постоянным, то сумма увеличивается. Аналогично формулируются два вывода, когда изменяется второе слагаемое, а первое остается постоянным.

Таким образом, по каждому действию формулируются 4 вывода:

- изменяется 1 компонент (увеличивается или уменьшается), 2 - постоянный (2 вывода);

- изменяется 2 компонент, 1 постоянный (2 вывода).

Более сложной является количественная характеристика, особенно для действий вычитания и деления, т.к. наблюдается обратно пропорциональная зависимость.

Например:

1) если уменьшаемое постоянно, а вычитаемое увеличивается на несколько единиц (на 2 единицы), то разность будет уменьшаться на столько же единиц (на 2 единицы);

2) если делимое не изменяется, а делитель увеличивается в несколько раз (в 2 раза), то частное уменьшается во столько же раз (в 2 раза).

 

VI. В начальных классах учащиеся знакомятся с большой группой свойств арифметических действий. Среди них можно выделить несколько групп. Для операций сложения и умножения можно выделить следующие:

1. Переместительный (коммутативный) закон сложения и умножения

слагаемых сумма

От перестановки не меняется

множителей произведение

Или в виде символической формы: а+в=в+а; а´в=в´а.

В начальных классах он вводится как переместительное свойство умножения и сложения.

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:

Сумма слагаемых

не изменяется, если какую-либо группу

Произведение

множителей

заменить их

суммой произведением

И этот закон легче запоминать в символической форме:

а+в+с=(а+в)+с=а+(в+с)а´в´с=(а´в)´с=а´(в´с).

В начальной школе сочетательный закон сложения вводится в виде свойства прибавления числа к сумме и суммы к числу; закон умножения в виде свойства умножения числа на произведение и произведения на число.

Для сложения и умножения справедлив и распределительный (дистрибутивный) закон, связывающий эти операции следующим образом: произведение суммы на число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число: (а+в)´с=а´с+в´с. В начальных классах он вводится как свойство умножения суммы на число.

Также в начальном курсе математики вводятся в качестве свойств:

а) вычитание числа из суммы;

б) вычитание суммы из числа;

в) деление суммы на число;

г) деление числа на произведение.

Знакомство с каждым свойством проходит по определенному плану:

1. Свойство иллюстрируется наглядно, раскрывается его суть.

2. Рассматриваются 3(2) способа выполнения операций.

3. Выбирается наиболее удобный (рациональный) способ с учетом особенностей каждого конкретного приема.

4. Применяется свойство при выполнении различных упражнений. Даются задания вида: реши разными способами, удобным способом, объясни запись, продолжи запись и т.д.

 

VII. Начальный курс математики включает ряд правил:

1. Правило умножения на 0 (а´0=0).

2. Правило умножения на 1 (а´1=1).

3. Невозможность деления на 0 (а:0).

4. Правила о порядке выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

В начальной школе правила принимаются без доказательств.

Мы рассмотрели 7 основных групп теоретического материала, которые изучаются в начальной школе. Эти группы являются теоретической основой для введения вычислительных приемов и формирования вычислительных навыков.

 

Литература:

1..Бескоровайная Л.С., Перекатьева О.В.Методика современного открытого урока математики. 1-2 классы.- Ростов н\Д: Феникс, 2003.- 412.

2. Бахтина С.В.. Поурочные разработки по математике.4 класс: к учеб. Моро М.И. и др. Математика В 2-х ч. М.: Просвещение.- М.: Экзамен, 2008. – 346. (Учебно-методический комплект).

3. Дебашина Е.Ю. Самостоятельная работа на уроках математики в условиях развивающего обучения. Начальная школа. № 7. С.101.2003.

4. Демидова Т. Е., Козлова С.А., Тонких А.П.. Моя математика. Учебник для 3-го класса в 3-х частях. Часть 1-4. Изд. 2-е, испр. -М.: Баласс, Издательский Дом РАО, 2005.-96 с. (Образовательная система «Школа 2100»)

 

 

Понятия вычислительного приема и вычислительного навыка.
Классификация вычислительных приемов

 

Вычислительный прием - это способ нахождения результата арифметического действия.

Вычислительный навык - это вычислительный прием, доведенный до автоматизма или высокая степень овладения вычислительным приемом.

Приобрести вычислительный навык - это значит для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результаты арифметических действий.

Все вычислительные приемы делятся на две группы: устные и письменные.

Устные и письменные приемы имеют сходство и различия. Покажем основные отличия в таблице.

Устные вычислительные приемы	Письменные вычислительные приемы
1. Выполняются устно, записываются в строчку: 34+20=(30+4)+20=(30+20)+4=54	1. Выполняются в столбик: ^+ 18
2. Операции начинают выполня­ться с единиц высших разрядов	2. Операции начинают выполнять с единиц низших разрядов
3. Промежуточные результаты запоминаются, записываются только на стадии ознакомления	3. Промежуточные результаты записываются
4. Теоретическая основа может быть различна: 12+12+12+12+12=60. Т.о. - конкретный смысл арифметического действия умножения. 12´5=(10+2)´5=10´5+2´5=60. Т.о. - свойство умножения суммы на число. 12´5=12´10:2=60. Т.о. - изменение результата в зависимости от изменения одного из компонентов.	Теоретическая основа всегда единственна. Приемы основаны на принципе по разрядности
5. Рассматриваются на области чисел, начиная с 10 и до многозначных чисел, где вычисления не затруднены	Рассматриваются на области чисел, начиная с сотни и до бесконечности.

 

Устные и письменные вычислительные приемы имеют сходство. Все вычислительные приемы основаны на знании теоретического материала. В зависимости от теоретического материала они делятся на шесть групп.

I группа. Вычислительные приемы, основанные на знании нумерации:

1. Знание принципа образования натуральной последовательности. Слу­чаи вида: а + 1.

Дети должны усвоить, что для того чтобы прибавить 1, надо назвать следующее число; вычесть 1 - назвать предыдущее число: 7+1; 26-1; 393+1; 10000-1.

2. Знание разрядного состава чисел. Случаи вида:

40+5 100+40+7

45-5 147-100

45-40 147-40

147-7

40+5=45 - рассуждения учащихся могут быть такие: 4 десятка и 5 единиц образуют число 45.

45-5=40 - если из 4 десятков и 5 единиц вычесть 5 единиц, то получим 4 десятка.

45-40=5 - если из 4 десятков и 5 единиц вычесть 4 десятка то получим 5 единиц.

3. Прием, основанный на знании поместного значения цифры (позиционного принципа записи чисел). В зависимости от того, на каком месте (позиции) стоит цифра в записи числа, она имеет разное значение. В эту группу входят случаи умножения и деления на 10, 100, 1000 без остатка.

Умножить на 10, значит приписать один нуль (7 умножить на 10, 7 записываем на второе место справа, на место десятков). Разделить на 10, значит отбросить один нуль.

Примеры:

7´10 70:10

7´100 700:100

7´1000 7000:1000.

 

II группа. Вычислительные приемы, теоретической основой которых является знание конкретного смысла арифметических действий.

1. Случаи вида: а + 2, 3, 4, 0, (5+5), (в пределах 20). Применяется прием присчитывания и отсчитывания по одному и группами:

3+2=5 (объединяем 3 да 2) 5-2=3

3+1=4 5-1=4

4+1=5 4-1=3

2. Случаи вида: 9+5=14 12-5=7.

9+1+4 12-2-3

3. Случаи сложения и вычитания разрядных чисел:

40+30=70 - 4 десятка плюс 3 десятка равно 7 десятков.

40-30=10 - 4 десятка минус 3 десятка получим 1 десяток.

800-400=400 - 8 сотен минус 4 сотни получим 4 сотни.

5000+3000=8000 - 5 тысяч плюс 3 тысячи получим 8 тысяч.

Случаи сложения и вычитания сводятся к сложению и вычитанию однозначных чисел.

Теоретическая основа - конкретный смысл сложения и вычитания.

4. Случаи табличного умножения, когда первый множитель меньше или равен второму.

Например: 2´3; 2´8; 3´5; 4´4.

Теоретическая основа - конкретный смысл умножения.

5. Случаи вне табличного деления, теоретической основой которых является конкретный смысл деления с остатком; конкретный смысл деления.

29:7=4 (остаток 1); 86:10=8 (остаток 6); 90:3=30.

6. Случаи умножения 0 и 1 на число, теоретической основой которых является конкретный смысл умножения.

1´а=а 1´5=1+1+1+1+1=5 (по 1 взяли 5 раз)

0´а=0 0´5=0+0+0+0+0=0

III группа. Вычислительные приемы, теоретической основой которых является знание правил. Сюда входят случаи умножения любого числа на 0 и 1, невозможность деления на 0.

а´0; а´1; а:0 (делить нельзя);

7´0=0 25´0=0;

7´1=7 25´1=25.

 

IV группа. Вычислительные приемы, теоретической основой которых является знание взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий.

1. Случаи вида: а-5, 6, 7, 8, 9 (в пределах 10).

8-6=2

8=6+2

8-6=2

Рассуждение учащихся: какое число надо прибавить к 6, чтобы получить 8, 8 - это 6 и 2, значит, если из 8 вычесть 6, получится 2.

2. Случаи вычитания в пределах 20 вида: 12-5=7

Теоретической основой случаев 1, 2 является взаимосвязь между результатами и компонентами действия сложения.

3. Все случаи табличного деления:

21:7=3 54:6=9

4. Случаи деления разрядного числа на разрядное вида:

90:30=3, т.к. 30´3=90

800:400=2, т.к. 400´2=800

5. Случаи внетабличного деления неразрядного числа на неразрядное вида:

54:18=3, т.к. 18´3=54

6. Случаи деления 0 на число и числа на 1

а:1=а 0:а=0

Например: 0:2=0, т.к. 0´2=0

3:1=3, т.к. 3´1=3

Теоретической основой случаев 3, 4, 5, 6 является взаимосвязь между результатами и компонентами действия умножения.

V группа. Вычислительные приемы, теоретической основой которых является изменение результатов в зависимости от изменения одного из компонентов (сюда входят приемы рациональных вычислений):

1. Приемы округления:

399+566=965

966-1=965

400+566=966

Здесь удобно первое слагаемое округлить до 400. Найдем сумму, чтобы сумма не изменялась, из результата вычтем 1.

2. Случаи умножения и деления на 5, 25, 50.

Примеры вида: 18´50=900

Рассуждения: 50=100:2, значит 18´100=1800, т.к. второй множитель увеличили в 2 раза, чтобы произведение не изменилось, его нужно разделить на 2.

Рассуждения: если первый множитель четное число и в данном случае делится на 2 рассуждать можно следующим образом: 18´50=18:2´100=900

Пример вида: 16´25=400.

16´25=400; 25=100:4, значит 16´100=1600 1600:4=400.

Рассуждения: если второй множитель увеличили в 4 раза, значит, чтобы произведение не изменилось, его нужно уменьшить в 4 раза. Или: 16:4´100=4´100=400

Рассуждения: первый множитель уменьшаем в 4 раза, чтобы произведение не изменилось, его нужно увеличить в 4 раза.

Пример деления вида:

400:25=16 400:100=4 4´4=16.

Рассуждения: т.к. делитель увеличили в 4 раза, частное в 4 раза уменьшилось, следовательно, чтобы результат не изменился, частное нужно увеличить в 4 раза.

 

VI группа. Вычислительные приемы, теоретической основой которых является знание свойств арифметических действий.

 

Свойство		Объяснение
1. Переместительные свойства умножения и сложения а+в=в+а а´в=в´а	а+5, 6, 7, 8, 9 (в пределах 10)	3+6=6+3=9 Здесь удобнее к большему числу 6 прибавить меньшее 3, получим 9
2. Прибавление числа к сумме, вычитание числа из суммы (а+в)+с (а+в)-с	34+20 34+2 34-20 34-2 36+4 30-8 340+200 340+20 340-200	(30+4)+20= 34 + 20 =(30+20)+4= 50+4=54 Заменяю число 34 суммой разрядных слагаемых 30 и 4, получился пример к сумме чисел 30 и 4 прибавить 20, здесь удобнее сначала к десяткам прибавить десятки, затем прибавить единицы
3. Прибавление суммы к числу, вычитание суммы из числа (а+в)=с (а+в)-с	37+5 32-8
4. Умножение суммы на число (а+в)´с	Для всех случаев умножения на однозначное число (кроме случаев умножения однозначного на однозначное) 25´3 467´5	1. 25´3=(20+5)´3=20´3+5´3=60+15=75 2. Для письменных случаев умножения: а) умножаю единицы, подписываю под единицами; б) умножаю десятки, подписываю под десятками; в) умножаю сотни и т.д.
5. Деление суммы на число (а+в):с	Для всех случаев внетабличного деления на однозначное число 81:3 36:2 70:2 776:8 3725:5	81:3=(60+21):3=60:3+21:3=20+7=27 70:2=(60+10):2=60:2+10:2=30+5=35
6. Умножение числа на произведение а´(в´с)	Случаи умножения на разрядные числа 17´40	17´40=17´(4´10)=17´4´10=68´10=680 17 умножаю на 4 и доумножаю на 10
7. Умножение числа на сумму а´(в+с)	Случаи умножения на двузначное и трехзначное число 85´34	85´35 1. Умножаю на единицы, получаю первое неполное произведение. 2. Умножаю на сотни, получаю второе неполное произведение. 3. Читаю ответ
8. Деление числа на произведение	Случаи деления на разрядные числа (кроме случаев деления двузначного числа на двузначное) 440:60 420:14 5130:90 674550:90	1) 420:60=420:(10´6)=(420:10):6=7 2) 420:14=420:(7´2)=(420:7):2=30

 

Учителю необходимо знать теоретические основы вычислительных приемов, чтобы выработать обобщенные вычислительные навыки учащихся.

Литература

1.Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе: Курс лекций: Учебное пособие для вузов. – М.: Владос, 2007. -455.

2.Бельтюкова Г.В.,Степанова С.В. Об изменениях в программах учебниках математики. Начальная школа. №9. С.19.2008.

3.Байрамукова П.У., Джулай А.М.. Обучение математике в начальных классах: практ. и лаб. занятия.- Ростов н/Д: Феникс, 2007. – 119 с.

4.Громова Ю.Б. Приемы сложения и вычитания в пределах 1000.Управление начальной школой. 2011. № 12.

5. Фаддейчева Т.И.. Обучение устным вычислениям. Начальная школа. № 10. 2003.

 

 

Содержание

 

Методика преподавания математики
как наука и учебный предмет.
Начальный курс математики
как учебный предмет в школе..................................................................... 4

Вопросы для контроля знаний......................................................... 14

Характеристика основных понятий
начального курса математики................................................................... 15

Общие вопросы нумерации
целых неотрицательных чисел............................................................... 15

Основные этапы подготовительного периода.
Количественное натуральное число. Счет предметов.
Взаимосвязь количественных и порядковых чисел.
Математическая символика. Отрезок натурального ряда 1-10. Цифра и число 0 20

Десятичная система счисления. Двузначные числа......................... 25

Десятичная система счисления. Методика изучения нумерации трехзначных чисел.................................................................................................................. 26

Словарь основных понятий.............................................................. 30

Вопросы для контроля.................................................................... 33

Изучение арифметических действий
над целыми неотрицательными числами.................................................. 34

Обучение младших школьников элементам
теоретических знаний об арифметических действиях........................... 34

Оо Оо................................................................................................ 37

Оо Оо........................................................................................... 37

Понятия вычислительного приема и вычислительного навыка.
Классификация вычислительных приемов............................................ 40

 

 

Учебно-методическое издание