Условие статистической определимости плоской кинематической цепи

Кинематическая цепь является статистически определимой, если число уравнений статики равно числу неизвестных при определении реакций в кинематических парах.

Рассмотрим вопрос о числе неизвестных при определении реакций в кинематических парах

Для низших кинематических пар:

1. Вращательная пара (рис.4.7).

	Рис.4.7. Сила, действующая между звеньями во вращательной кинематической паре.

Обозначим F₃₄ силу, действующую на звено 3 со стороны звена 4. При этом первый индекс (в данном случае 3) – это номер звена, на которое действует реакция; второй индекс (4) – это номер звена, со стороны которого действует реакция.

Без учёта сил трения реакция во вращательной паре проходит через центр шарнира. Неизвестны величина реакции и линия её действия, т.е. число неизвестных при определении реакций во вращательной паре равно 2.

2. Поступательная пара (рис. 4.8).

Без учёта трения реакция F₃₄ в поступательной паре перпендикулярна направляющей этой пары.

	Рис.4.8. Сила, действующая между звеньями в поступательной кинематической паре.

 

 

Неизвестны величина реакции и точка её приложения, т.е. имеем две неизвестных. Точка приложения определяется плечом h_х относительно какой-либо точки, положение которой известно.

В высших кинематических парах (рис.4.9) без учёта сил трения реакция

	Рис.4.9 Реакция между звеньями в высшей кинематической паре.

 

между звеньями проходит через точку касания элементов высшей пары по нормали к взаимодействующим профилям. В данном случае неизвестна одна величина – модуль реакции.

Таким образом, если в кинематической цепи число низших кинематических пар составляет р₁, то при определении реакций необходимо определить 2р₁ неизвестных; если цепь содержит р₂ высших кинематических пар, то число неизвестных составит р₂. При наличии в цепи как низших, так и высших кинематических пар общее число неизвестных, определяемых при нахождении реакций между звеньями, будет равно 2р₁ + р₂.

Для каждого звена можно написать три уравнения статики (åFx = 0, åFy = 0, åM _i = 0).

Если в кинематической цепи п подвижных звеньев, то число уравнений статики, которые можно написать для этой цепи, равно 3 п.

Таким образом, чтобы кинематическая цепь была статистически определимой, необходимо выполнение равенства:

2р₁ + р₂ = 3 п

Для плоских рычажных механизмов, т.е. механизмов, в которых отсутствуют высшие кинематические пары, р₂ = 0. В этом случае получаем равенство 3 п = 2р₁, которое устанавливает соотношение между числом подвижных звеньев и низших кинематических пар, при котором кинематическая цепь является статистически определима.

Это же соотношение было получено при рассмотрении условия существования групп Ассура (см. раздел 2.1.1). Следовательно, группы Ассура статистически определимы.

Поэтому силовой расчёт механизма ведут по группам Ассура, начиная его с последней присоединённой группы Ассура, для которой известны все внешние силы, и заканчивают расчёт рассмотрением начального звена, на котором требуется определить уравновешивающую силу или момент.

Пример: для кривошипно-ползунного механизма (рис. 4.10) дано:

l₁, l₂, w ₁=const, j₁, G₁, G₂, G₃, Fин₂, Fин₃, Мин₂, F.

Определить реакции во всех кинематических парах и уравновешивающую силу на кривошипе.

Рис.4.10. Силовой расчет кривошипно-ползунного механизма.

 

 

При силовом расчёте за начальное звено принимают звено, на котором требуется определить F_ур или М_ур.

Звенья 2 и 3 образуют 2ПГ Ассура 2-3 (2 вида), для которой известна внешняя сила F.

Изобразим 2ПГ Ассура 2-3 в том же положении и в том же масштабе, что и на схеме механизма. Покажем реакции F₂₁ и F₃₀, которые заменяют действие отброшенных звеньев 1 и 0 (рис. 4.11).

Рис.4.11 Реакции, действующие на звенья в группе Асура 2^ого вида (ВВП).

 

 

Составим таблицу, в которую будем записывать последовательность определения реакций, уравнения, которые надо составить для определения этих реакций, и номера звеньев, для которых записываются эти уравнения.

 

Что определяем	Каким уравнением	Для какого звена
F^t21	åMc = 0
F^n21 и F30	å = 0	2 и 3
23 (или 32)	å = 0	2 (или 3)
hx	åMc = 0

1) Определим тангенциальную составляющую F^t₂₁:

 

F^t₂₁(ВС)m_l +G₂h₁ m _l –М_ин2 –F_ин2h₂m_l=0 (4.4)

F^t₂₁ = - G₂ h₁ m _l + М _ин2+ F _ин2h₂m_l

(ВС)m _l

2) Для нахождения Fⁿ₂₁ и F₃₀ составим векторное уравнение сил:

å = ⁿ₂₁ + ^t₂₁ + ₂ + _ин2+ _ин3 + ₃+ + ₃₀ = 0 (4.5)

Выбираем масштаб для построения силового многоугольника:

m _f = F^t₂₁ / аб [ н / мм ], где аб - произвольный вектор, изображающий F^t₂₁ в масштабе m _f.

Определим отрезки, которыми будем изображать в масштабе m _f остальные силы:

бв = G₂ / m _f [ мм ], вг = F _ин2 / m _f [ мм ] и т.д.

	Рис.4.12. Силовой многоугольник для определения реакций, действующих на звенья группы Ассура 2^ого вида.

 

 

После этого строим замкнутый (т.к. å = 0) силовой многоугольник (рис. 4.12) в той последовательности, в которой записаны силы (уравнение 4.5), в результате чего найдем векторы, изображающие искомые реакции. Величины этих реакций будут равны:

Fⁿ₂₁ = (за)m _f [ н ] и F₃₀ = (жз) m _f [ н ]

Полная реакция ₂₁ будет складываться из ее нормальной и тангенциальной составляющих: ₂₁ = ⁿ₂₁ + ^t₂₁

Величина силы F₂₁ будет равна: F₂₁= (зб)m _{f .}

3) Для нахождения реакции F₂₃ составим векторное уравнение:

å = ⁿ₂₁ + ^t₂₁ + ₂ + _ин2+ ₂₃ = 0. (4.6)

Первые четыре вектора в соответствии с уравнением (4.5) уже построены на рис.4.12. Поэтому для определения величины и направления силы F₂₃ соединяем начало вектора Fⁿ₂₁ с концом вектора F _ин2.

4) Для нахождения плеча h_x составим уравнение суммы моментов относительно точки С для звена 3:

åМс=F₃₀ h_xm _l=0. (4.7)

Так как F₃₀ ¹ 0 иm _l ¹ 0, то h_x = 0.

В зависимости от вида привода определяется либо уравновешивающая сила F_ур,либо уравновешивающий момент М_ур.

Если начальное звено приводится в движение через зубчатую передачу, то находится F_ур. Линия её действия и точка приложения определяется из рассмотрения геометрии зубчатой передачи.

В курсовом проекте условно можно принять за точку приложения силы F_ур точку В кривошипа и считать, что линия действия этой силы перпендикулярна кривошипу АВ.

Если начальное звено приводится в движение через муфту, то определяется М_ур.

б)

а)

Рис. 4.13. Силовой расчет начального звена при действии на него уравновешивающей силы: а) силы, действующие на звено, б) силовой многоугольник.

 

 

Вариант 1: Определение F_ур (рис. 4.13,а).

 

Fур	åMА= 0
10	å = 0

 

1) åМ_А = Fур АВ m _l - F₁₂ h₃ m _l = 0, (4.8)

откуда F_ур= F₁₂ h₃ / АВ [н]

2) å = _ур + ₁ + ₁₂+ ₁₀ = 0. (4.9)

В соответствии с записанным уравнением строим замкнутый векторный многоугольник сил (рис.4.13,б), из которого определяем ₁₀.

Вариант 2: определение М _ур (рис. 3.14 а,б).

 

Мур	åMА=0
10	å = 0

 

1) åМ_А = Мур - F₁₂ h₃ m_l=0, (4.10)

откуда М_ур= F₁₂ h₃ m_l [н×м]

2) = ₁₂+ ₁ + ₁₀ = 0. (4.11)

План сил для определения ₁₀ представлен на рис.4.14,б.

 

Рис. 4.14. Силовой расчет начального звена при действии на него уравновешивающего момента: а) силы, действующие на звено, б) силовой многоугольник.