Аналитический метод кинематического исследования механизмов

При использовании этого метода вначале удобнее определять не сами скорости и ускорения, а их аналоги. При заданной схеме механизма аналоги скоростей и ускорений являются функцией обобщенной координаты механизма (если число степеней свободы W=1) или обобщенных координат (если число степеней свободы больше единицы). Такой путь решения позволяет задачу о кинематическом исследовании свести к задаче об определении некоторых геометрических характеристик схемы, используя которые, при заданном законе изменения по времени обобщенных координат механизма, можно определить действительную скорость и ускорение.

Предположим, что для механизма с одной степенью свободы определены угол поворота i-ого звена и координаты точки М, как функции обобщенной координаты механизма:

, , . Здесь q – обобщенная координата, х_м - абсцисса точки М, у_м - ордината точки М.

Определение скоростей

Угловая скорость i-ого звена и проекции линейной скорости т. М на координатные оси определятся, как:

- по аналогии.

В этих формулах - первая производная обобщенной координаты механизма по времени, называемая обобщенной скоростью механизма;

- производные координат точки М по обобщенной координате механизма – проекции аналога скорости точки М на координатные оси.

Полный аналог скорости точки М:

Скорость точки М:

Определение ускорений

Угловое ускорение для i-го звена

После преобразований получаем:

Проекции ускорения точки М на оси х и у:

,

где - вторая производная обобщенной координаты по времени.

, - вторые производные координат точки М по обобщенной координате (проекции аналога ускорения точки М на координатные оси).

Полный аналог ускорения:

Полное ускорение:

При угловой обобщенной координате обобщенная скорость механизма – это угловая скорость начального звена (размерность с^-1), а - угловое ускорение начального звена (с^-2).

Аналоги угловой скорости и углового ускорения звена являются безразмерными величинами, а аналоги скоростей и ускорений точки имеют размерность длины.

Для этого случая:

В частном случае, когда и :

;

Пример аналитического исследования кинематики кривошипно-ползунного механизма (рис.3.14)

Применим метод замкнутых векторных контуров (метод Зиновьева).

Условие замкнутости контура, составленного звеньями механизма, записывается в векторной форме. Затем слагаемые этого равенства проецируются на координатные оси, что позволяет получить уравнения, определяющие положение звеньев и их точек. Последовательным дифференцированием этих уравнений определяют аналоги скоростей и ускорений.

Условие замкнутости контура ABCA (рис. 3.14,б) запишется в виде:

Проекции векторов этого равенства на оси X и Y дают:

(а)

(б)

а)

б)

	Рис. 3.14. К аналитическому исследованию кинематики кривошипно-ползунного механизма: а) схема механизма, б) замкнутый контур, составленный звеньями механизма).

 

Углы и отсчитываются от положительного направления оси абсцисс.

Из второго уравнения найдем функцию положения звена 2:

, (в)

где ;

Положение ползуна удобно задавать от его правого крайнего положения: , где - координата, определяющая крайнее правое положение ползуна. С учетом выражения (а) .

Определим далее аналоги скоростей:

- для шатуна 2, и - для ползуна 3.

Дифференцируя выражение (в), получим: , откуда

Аналог скорости ползуна найдется, как

Аналоги ускорений:

.

Таким образом, имея выражения, определяющие положения звеньев, их аналоги скоростей и ускорений в функции обобщенной координаты , можно, задаваясь величиной , определить скорости, ускорения и расположения звеньев в любом положении механизма.