Удлинение недостаточного ряда наблюдений

По данным рек-аналогов

 

Удлинить ряд ежегодных расходов воды в реке В по ряду многолетних наблюдений за стоком воды в реке-аналоге А.

 

Указания к решению задачи

При недостаточности данных гидрометрических наблюдений на реке Впараметры кривой обеспеченности гидрологических характеристик стока или уровней воды необходимо привести к многолетнему периоду используя данные реки-аналога (рек-аналогов) и методы парной или множественной регрессии. При этом необходимо выполнить следующие условия:

- река-аналог или реки-аналоги должны отвечать указанным ниже требованиям;

- число совместных наблюдений на рассматриваемой реке и реках-аналогах должно быть не менее 6 лет при одном аналоге, и не менее 10 лет при двух и более аналогах;

- коэффициент корреляции между стоком в приводимом пункте и пунктах рек-аналогов должен быть не менее 0,7;

- коэффициент достоверности (не случайности) корреляции должен быть не менее 2;

- отношение коэффициентов регрессии к их средним квадратическим отклонениям должно быть более 2.

Основными требованиями, предъявляемыми к реке-аналогу, являются:

- географическая близость расположения водосборов;

- однородность условий формирования стока реки-аналога и исследуемой реки: сходство климатических условий, однотипность почв и грунтов, гидрогеологических условий, близкие степени озерности, залесенности, заболоченности и распаханности);

- отсутствие факторов, существенно искажающих естественный речной сток (регулирование стока, сбросы и изъятия воды и др.).

Мерой тесноты связи между двумя статистическими рядами служит коэффициент корреляции, определяемый по формуле:

, (13)

где Δ X_i = Х_i – X _c; Δ Y_i = Y_i – Y _c;

X_i и Y_i – соответствующие друг другу (по годам) ежегодные расходы воды с количеством членов n лет;

Х_с, Y_c – средние арифметические значения рядов, т.е. Х_с = ∑ Х_i / n; Y_c = ∑ Y_i / n.

Результаты расчета сведены в табл. 5.

Уравнение регрессии, которое предполагается использовать для удлинения ряда по данным одной реки-аналога, имеет вид:

(14)

где σ_у, σ_х – средние квадратические отклонения, определяемые по формулам:

(15)

Для оценки возможности применения уравнения регрессии (14) для удлинения гидрологического рядя предварительно необходимо определить:

- среднее квадратическое отклонение коэффициента корреляции:

(16)

- критерий достоверности (не случайности) коэффициента корреляции:

(17)

- коэффициент уравнения регрессии:

(18)

- среднее квадратическое отклонение коэффициента регрессии:

(19)

При r ≥ 0.7, К _д ≥ 2 и К / σ_к ≥ 2 корреляционная связь между гидрологическими рядами считается достоверной, а уравнение регрессии может быть использовано для удлинения гидрологического ряда для реки В.

При использовании нескольких рек-аналогов (j) удлинение гидрологического ряда производится по уравнению множественной линейной регрессии:

 

Y_i = K ₀ + K ₁ * (X ₁ )_i + K₂ * (X ₂ )_i + … + K_j * (X_j)_i,

 

где K ₁… K _j – значения стока или уровней воды в реках-аналогах (1… j);

K ₀ – свободный член;

K ₁… K _j – коэффициенты уравнения регрессии.

Коэффициенты и свободный член этого уравнения определяют методом наименьших квадратов (МНК).

Статистическая обработка удлиненного ряда наблюдений за стоком на реке В и определение параметров кривой обеспеченности проводится в соответствии с указаниями, изложенными в задаче 2.

При использовании графического метода удлинения ряда наблюдений по данным табл. 5 строится график связи между соответствующими расходами воды. Недостающие значения расхода воды для рассматриваемой реки определяются приближенно по этому графику. При этом целесообразно построить такие графики для нескольких рек-аналогов, из которых для удлинения ряда принимают график, имеющий наибольший коэффициент корреляции. Этот метод допускается применять на начальных этапах проектирования гидротехнических сооружений.

 

Пример

Исходные данные:

Для выбранного варианта из прил. 1 используем два ряда параллельных наблюдений по реке А и В продолжительностью 11 лет (1992 – 2002 гг.).

 

1. Установлено, что река А может являться рекой-аналогом, так как отвечает требованиям, предъявляемым к рекам-аналогам, и имеет более длительный период гидрометрических наблюдений по сравнению с рекой В.

Для приведения кратковременных наблюдений на реке В к многолетнему периоду применим метод парной регрессии.

Результаты расчета параметров, необходимых для определения коэффициентов корреляции и регрессии, сведены в табл. 5.

Вычислим средние арифметические значения рядов:

Хс = ∑Х_i / 11 = 3801 / 11 = 345,5 м³/с;

Yc = ∑ Y_i / 11 = 2245/ 11 = 204,1 м³/с.

Отклонения от средних арифметических значений будут равны:

Δ Xi = Хi – Xc; Δ Yi = Yi – Yc.

Коэффициент корреляции определим по формуле (13):

Таблица 5

 

Годы	Xi, м^3/с	Yi, м^3/с	Δ Xi, м^3/с	Δ Yi, м^3/с	Δ Xi *Δ Yi,	Δ Xi ^2	Δ Yi ^2
			28.5 -145.5 0.5 145.5 126,5 -16,5 -43,5 131,5 -100,5 -85 -117,5	-13.1 -80.1 -11.1 76.9 110,9 -31,1 -53,1 103,9 -67,1 -1,1 -35,1	-373 -6
-	∑ Xi = 3801	∑ Yi = 2245	-	-	∑Δ Xi *Δ Yi =63763	∑Δ Xi ^2 =91969	∑Δ Yi ^2 =45241

 

Среднее квадратическое отклонение коэффициента корреляции составит:

Критерий достоверности (не случайности) коэффициента корреляции равен:

К _д = r / σ_r = 0,99 / 0,0063 = 157.

Для удлинения ряда воспользуемся уравнением регрессии (14), в котором:

=

Коэффициент уравнения регрессии составит:

К = r * (σ_y / σ_x) = 0,99 * (67,3 / 95,9) = 0,69.

Среднее квадратическое отклонение коэффициента регрессии равно:

Отношение К / σ_к = 0,69 / 0,022 = 31,4.

Таким образом, выполнены все условия возможности применения метода парной регрессии для удлинения данного гидрологического ряда, т.е.: коэффициент корреляции r > 0.7, коэффициент достоверности корреляции К _д > 2 и величина отношения К / σ _к > 2.

2. Прямую связи расходов рек А и В построим по двум значениям X _i, охватывающим весь ряд наблюдений на реке А:

X ₁ = 600 м³/с. Эта величина больше X_max = 576 м³/с.

Х ₂ = 150 м³/с. Эта величина меньше Х_min = 185 м³/с.

Y ₁ = 204,1 + 0,99 * (67,3/95,9) * (600 – 345,5) = 379,7 м³/с;

Y ₂ = 204,1 + 0,99 * (67,3/95,9) * (150 – 345,5) = 69,2 м³/с.

После построения прямой связи, нанесем на график точки с соответствующими значениями X_i и Y_i, которые должны находиться рядом с прямой (рис. 5).

3. По уравнению регрессии (14) определим 20 недостающих расходов воды (до n = 31) в реке В для соответствующих значений расходов воды в реке А. Определенные значения расходов воды в реке В, заключенные в скобках, приводятся в отчете.

 

 

Река (В), Y_i, м³/с

Река (А), X_i, м³/с

 

Рис. 5. Прямая связи расходов рек А и В. (Точками показаны расходы воды за 11 лет параллельных наблюдений).

 

 

Задача 4 (МТ)