Анализ гидрологического ряда наблюдений

Инженерная гидрология

(гидрологические и водохозяйственные расчеты)

Методические указания

для студентов

дневной формы обучения

Специальности:

«Мосты и транспортные тоннели»

«Водоснабжение и водоотведение»

 

 

Санкт- Петербург

Введение

 

При изучении курса «Инженерной гидрологии» студент должен решить основные практические задачи по гидрологическим и водохозяйственным расчетам. В зависимости от изучаемой специальности устанавливается перечень решаемых задач. Для специальности «Мосты и транспортные тоннели» они отмечены аббревиатурой «МТ», «Водоснабжение и водоотведение» - «ВиВ».

Номер варианта задач студент выбирает по последней цифре своей зачетной книжки.

При решении задач необходимо выполнять следующие требования:

1. Работа должна быть написана на одной стороне листа А4 или в отдельной тетради. Чертежи выполняются на миллиметровке и вкладываются в соответствующий раздел работы.

2. Решение задач должно вестись поэтапно с пояснением каждого действия.

3. При вычислении искомой величины формулы записываются в буквенном выражении, затем делается подстановка известных величин и только после этого приводится окончательный ответ с обязательной записью размерности.

После рецензирования работ преподавателем студент вносит исправления (если имеются ошибки), а при наличии грубых ошибок переписывает работу или её часть. К экзамену или зачету по теории студент допускается после защиты им всех решенных задач.

Методические указания разработали:

доцент, к.т.н. Ю.А. Канцибер, доцент, к.т.н. А.Б. Пономарев, профессор, д.т.н. В.И. Штыков.

Общие положения

 

Гидрологические и водохозяйственные расчеты проводятся с целью определения гидрологических характеристик водных объектов при проектировании в зоне их влияния новых, расширения, реконструкции и технического перевооружения действующих предприятий, зданий и сооружений для всех видов строительства и инженерной защиты территорий.

К основным гидрологическим характеристикам относят:

расход воды Q, м³/с;

объем стока воды W, м³;

модуль стока воды q, м³/с·км²;

слой стока воды h, мм;

уровень воды Н, см.

Расчетные гидрологические характеристики (средние, максимальные и минимальные расходы и уровни воды и др.) носят стохастический (т.е. случайный) характер и за многолетний период составляют статистические ряды данных гидрометрических (гидрологических) наблюдений на водных объектах. Поэтому для определения их вероятных значений применяют методы математической статистики.

Эти статистические ряды характеризуются также непрерывность ю, когда между двумя смежными величинами ряда в последующие годы может появиться ещё одно значение. Например, между максимальными расходами 352 и 359 м³/с в последующие годы может появиться значение максимального расхода, равное 355 м³/с.

Способы определения расчетных (вероятных) гидрологических характеристик зависят от наличия и продолжительности гидрометрических наблюдений.

При наличии наблюдений проводится анализ гидрологических рядов (задача 1), определение их статистических параметров и построение кривых обеспеченности (задача 2 ). При недостаточности наблюденийпараметры кривой обеспеченности необходимо привести к многолетнему периоду используя данные реки-аналога (рек-аналогов) и методы парной или множественной регрессии(задача 3). При отсутствии наблюдений расчетные гидрологические характеристики определяются по эмпирическим формулам с использованием данных рек-аналогов и картограмм (задача 4).

В «Методических указаниях» представлены в основном расчетные методы и формулы, приведенные в действующих нормативно-методических документах по гидрологическим расчетам, которые используются при проектировании различных гидротехнических сооружений.

Способы решения большинства задач упрощены (отсутствует оценка смещенности статистических параметров, не учитывается автокорреляция расходов воды и пр.). Поэтому для лучшего освоения курса студентам следует ознакомиться с рекомендуемой литературой.

Задача 1 (МТ)

Указания к решению задачи

 

Для расчетов водопропускных труб, мостовых переходов, подводных тоннельных пересечений, систем водоснабжения, водоотведения, водохранилищ и др. необходимо определять максимальный расход воды в реке заданной вероятности превышения Q_p%. Наиболее точно он может быть вычислен при наличии продолжительных гидрометрических наблюдений за стоком воды в створе гидротехнического сооружения.

В соответствии с требованиями [1] продолжительность периода наблюдений считается достаточной, если этот период является репрезентативным (представительным), а относительная средняя квадратическая ошибка расчетного значения гидрологической характеристики не превышает 20% (для максимального или минимального стока).

Оценка репрезентативности рассматриваемого ряда наблюдений проводится в тех случаях, когда продолжительность наблюдений составляет не менее 10…15 и не более 50…60 лет. Она состоит в построении и анализе разностных интегральных кривых стока, которые дают представление о циклических колебаниях стока за многолетний период. Для их построенияпо оси абсцисс графика (пример, рис.3) откладываются годы наблюдений, ординат – сумма отклонений модульных коэффициентов К_i от единицы, т.е. ∑(К_i – 1), где К_i = Q_i / Q_cр (Q_i – максимальный расход воды в i –ый год наблюдений, Q_cр – среднеарифметическое значение ряда наблюдений). Величины ординат определяют последовательным суммированием значений ∑(Кi – 1) за каждый год ряда наблюдений (пример, табл.2).

На построенном графике (рис. 3) выделяют фазы (группы) маловодных и многоводных лет. Репрезентативным рядом наблюдений считается такой ряд, который включает примерно одинаковое число фаз многоводных и маловодных лет, т.е. число подъемов и спадов разностной интегральной кривой стока, а также имеет примерно равную продолжительность многоводных и маловодных лет. Если ряд наблюдений недостаточно репрезентативный, необходимо удлинить его по рекам-аналогам с включением дополнительно многоводного или маловодного периода наблюдений (см. задачу 3). Если это невозможно, то целесообразно из рассматриваемого ряда исключить «лишнюю» фазу стока. При этом продолжительность «короткого» ряда должна оставаться достаточной, а средняя величина модульного коэффициента, рассчитанная для этого ряда, близка к единице.

Ряд гидрологических наблюдений может быть разбит на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить частоту появления в нем членов ряда.

Основной закономерностью гидрологического ряда является то, что члены ряда, по своей величине близкие к среднему арифметическому значению ряда, встречаются наиболее часто, т.е. вероятность их появления будет более высокая, чем величин, значительно отличающихся от среднего значения. Эта закономерность хорошо просматривается при построении гистограммы распределения повторяемости (частоты появления) наблюденных максимальных расходов воды (рис.1).

Для определения расчетных (вероятных) значений гидрологических характеристик в практике гидрологических расчетов используются интегральные кривые распределения повторяемости или ежегодного превышения (обеспеченности) значений рассматриваемой гидрологической характеристики. Обеспеченностью величиныгидрологической характеристики называется вероятность того, что данное её значение будет в дальнейшем превышено.

Они могут быть построены путем суммирования относительных частот появления этих значений в гидрологическом ряду, например, максимальных расходов воды (рис.2) или же в соответствии с указаниями к решению задачи 2.

 

Пример

Исходные данные:

Хронологический ряд максимальных расходов воды в реке А.

Для выбранного варианта расчетов из прил.1 берётся ряд максимальных расходов воды в реке А продолжительностью n=31:

459, 338, 185, 401, 293, 441, 378, 261, 389, 315, 526, 576, 385, 281, 418, 340, 450, 396, 311, 434, 374, 200, 346, 491, 472, 329, 302, 477, 245, 337, 228.

1. Расположим числа данного ряда в возрастающем порядке:

185, 200, 228, 245, 261, 281, 293, 302……………. 491, 526, 576.

2. Определим размах (амплитуду) колебаний максимальных расходов в ряду наблюдений:

Q = Q_max - Q_min = 576 – 185 = 391 м³/с.

3. Вычислим количество интервалов по эмпирической формуле:

k = 5 * ℓg n = 5 * ℓg 31 = 5 * 1.49 = 7.46.

Округлив значение до целого числа, примем k = 7.

4. Вычислим размер интервала с точностью до 0,1:

Δ Q = Q / k = 391 / 7 = 55.9 м³/с.

5. Найдем количество членов ряда n_i, входящих в каждый интервал (абсолютную частоту появления), и относительную частоту появления 100 * n_i / n, % (табл.1).

Например, во второй интервал – от 240,9 до 296,8 м³/с – входят 4 расхода из ряда наблюдений, т.е. абсолютная частота их появления в ряду наблюдений составляет n_i = 4, а относительная – 12,9%. Каждый расход включается в интервал только один раз. При определении границ последнего интервала максимальное значение расхода следует принять равным наибольшему числу из ряда наблюдений.

6. Построим гистограмму распределения частоты появления (повторяемости) максимальных расходов воды (рис. 1).

7. Проведем суммирование относительных частот, начиная от наибольшего расхода (снизу вверх), и определим вероятность превышения (обеспеченность) каждого интервала ряда наблюдений p_i = (∑ n_i / n) * 100,% (табл. 1).

8. Построим ступенчатый график и плавную кривую обеспеченности максимальных расходов воды, которая должна проходить через середины интервалов (рис. 2). По оси абсцисс откладываются обеспеченности от 0 до 100% (масштаб: 1 см – 5 или 10%), по оси ординат – интервалы максимальных расходов (масштаб: 1 интервал – 2 или 1 см).

 

 

n_i

Максимальные расходы воды, м³/с

Рис.1 Гистограмма максимальных расходов воды

 

 

Обеспеченность, %

Рис.2. Гистограмма и кривая обеспеченности

максимальных расходов воды

 

По кривой обеспеченности определим, что числу 576 в данном ряду соответствует обеспеченность (вероятность превышения)

p = 100% * 1 / 32 = 3,1 %.

 

Таблица 1

 

№№ интервалов	Интервал (Δ Qi), м^3/с	ni	100* ni/n, %	Рi, %
	185 – 240,9 240,9 – 296,8 296,8 – 352,7 352,7 – 408,6 408,6 – 464,5 464,5 – 520,4 520,4 – 576		9,7 12,9 25,8 19,4 16,1 9,7 6,5	90,4 77,5 51,7 32,3 16,2 6,5
∑

 

9. Определим среднеарифметическое значение ряда по формуле:

Q _ср = ∑ Q_i / n = 11378 / 31 = 367 м³/с

где ∑ Q_i - сумма значений ряда, м³/с;

n =31 – число членов ряда.

Вычислим для каждого члена значения модульного коэффициента К _i

К_i = Q_i / Q _cр (1)

где – Q_i – максимальный расход воды в i –ый год наблюдений;

Q _cр – среднеарифметическое значение ряда наблюдений.

Последовательно просуммируем (нарастающим итогом) значения (К _i – 1) и по результатам расчетов (табл. 2) построим разностную интегральную кривую ∑ (К – 1 ) = f(T) для рассматриваемого хронологи-ческого ряда наблюдений (рис. 3). Для лучшего анализа проведем сглаживающую кривую.

На построенном сглаженном графике выделим фазы маловодных и многоводных лет. Количество маловодных фаз (спадов кривой) составило 3, многоводных (подъемов кривой) – 2. Продолжительность многоводных маловодных лет в периоде наблюдений (1972…2002 гг.) оказалось примерно равной.

Таким образом, можно считать рассматриваемый ряд наблюдений за стоком достаточно репрезентативным. Если бы наблюдения проводились, например, с 1982 по 2002 год, то ряд наблюдений оказался бы не репрезентативным, так как состоял бы в большей степени из многоводных лет. Средний модульный коэффициент К за этот период был бы равен 1,03, т.е. расчетные гидрологические характеристики стока оказались бы завышенными не менее чем на 3 %.

 

Таблица 2

Годы	Расход воды, Qi, м^3/с	К = Qi/Q ср	(К – 1)	∑(К – 1)
		1,25 0,92 0,50 1,09 0,80 1,20 1,03 0,71 1,06 0,86 1,43 1,57 1,05 0,76 1,14 0,93 1,23 1,08 0,85 1,18 1,02 0,54 0,94 1,34 1,29 0,90 0,82 1,30 0,67 0,92 0,62	0,25 -0,08 -0,50 0,09 -0,20 0,20 0,03 -0,29 0,06 -0,14 0,43 0,57 0,05 -0,24 0,14 -0,07 0,23 0,08 -0,15 0,18 0,02 -0,46 -0,06 0,34 0,29 -0,10 -0,18 0,30 -0,33 -0,08 -0,38	0,25 0,17 -0.33 -0.24 -0.44 -0.24 -0.21 -0.50 -044 -0.58 -0.15 0.42 0.47 0.23 0.37 0.30 0.57 0.65 0.50 0.68 0.70 0.24 0.18 0.52 0.81 0.71 0.53 0.83 0.50 0.42 0,04
	∑Qi = 11378	………………… 1,03 (1982-2002)	---------------------+ ∑ = +3.26 - ∑ = - 3.25

 

 

	Σ (К-1)

Рис.3 Разностная интегральная кривая стока воды

Задача 2 (МТ, ВиВ)

Указания к решению задачи

Поведение случайных величин, которые составляют заданный гидрологический ряд наблюдений, можно охарактеризовать тремя параметрами:

- средним арифметическим значением;

- коэффициентом вариации;

- коэффициентом асимметрии.

Среднее арифметическое значение ряда:

(2)

где: Q_i – максимальный расход весеннего половодья, м³/с;

n – количество членов ряда.

Коэффициенты вариации и асимметрии определяются в соответствии с СП 33-101-2003 тремя методами: моментов, наибольшего правдоподобия и графоаналитическим.

1. Метод моментов. Коэффициент вариации С_v характеризует меру изменчивости членов ряда относительно среднего арифметического значения и определяется по формуле (при С_v < 0.6):

, (3)

где K_i – частное от деления i -го члена ряда на среднее арифметическое этого ряда, т.е. .

Коэффициент асимметрии С_s характеризует отличие по величине и количеству положительных (больше средних) и отрицательных (меньше средних) отклонений от среднего арифметического значения ряда. Для симметричных рядов (нормальное распределение ежегодных вероятностей превышения значений ряда) эти отклонения повторяются одинаково часто, поэтому C_s = 0. Для несимметричных рядов C_s ≠ 0, а коэффициент асимметрии определяется по формуле (при С_s < 1,0):

(4)

Расчеты по определению статистических характеристик сводятся в табл. 3. В верхней строке этой таблицы указана точность, с которой необходимо определить соответствующие величины.

Для проверки правильности определения среднего значения сравниваем суммы положительных и отрицательных значений ∑(K_i - 1). Они должны отличаться один от другого не более чем на 5%.

2. Метод наибольшего правдоподобия. Для оценки коэффициентов вариации и асимметрии этим методом необходимо предварительно определить величины статистик:

(5)

Результаты расчета, необходимые для определения этих статистик, сводятся в табл. 3. По рассчитанным значениям статистик по одной из номограмм (прил. 4) определяют характеристики ряда: C_v, C_s/C_v и C_s.

3. После определения параметров статистического ряда этими методами, по таблицам прил. 4 находятся ординаты (модульные коэффициенты) теоретической (аналитической) кривой трехпараметрического гамма-распределения ежегодных вероятностей превышения значений гидрологической характеристики или кривой обеспеченности. По ним вычисляем максимальные расходы воды заданной обеспеченности Q_р% = К_р% * Q _ср (табл. 4).

4. В задаче требуется построить эмпирическую и теоретические кривые обеспеченности.

Эмпирическую обеспеченность или ежегодную вероятность превышения гидрологических характеристик определяют по формуле:

, % (6)

где m – порядковый номер члена ряда, выстроенного в убывающем порядке (табл. 3).

Результаты расчета эмпирической обеспеченности приведены в табл. 3.

5. На клетчатках вероятности (рис. 4 или прил. 3) по данным табл.3 и 4строим:

- эмпирическую кривую обеспеченности;

- теоретическую кривую обеспеченности (метод моментов);

- теоретическую кривую обеспеченности (метод наибольшего правдоподобия).

6. Графоаналитический метод определения параметров биномиальной кривой обеспеченности (при надлежащем обосновании возможности её применения) допускается использовать на ранних стадиях проектирования гидротехнических сооружений.

Для этого по эмпирической кривой обеспеченности, построенной на клетчатках вероятности (рис. 4 или прил.3) определяется коэффициент скошенности:

S = (Q ₅ + Q ₉₅ - 2 Q ₅₀) / (Q ₅ - Q ₉₅), (7)

где Q _5%, Q _50% и Q _95% - величины расходов воды 5, 50 и 95% обеспеченности, устанавливаемые по эмпирической кривой (рис. 4 или прил. 3).

Коэффициент асимметрии находим по прил.4 в зависимости от величины коэффициента скошенности S. Из этого приложения также выписываются значения коэффициентов Фостера: Ф_50% и (Ф_5% - Ф_95%).

Среднее квадратическое отклонение будет равно:

σ ' = (Q ₅ - Q ₉₅) / (Ф₅ - Ф₉₅) (8)

Уточненное значение средней величины ряда определим по формуле:

Q _ср’ = Q _50% - Ф_50% * σ ’ (9)

Тогда коэффициент вариации:

C_v’ = σ’ / Q _ср’. (10)

Модульный коэффициент р% обеспеченности будет равен:

К_р% = Ф_р% * С_v’ + 1,(11)

где Ф_р% - коэффициент Фостера, определяемый по прил. 4 в зависимости от коэффициента асимметрии C_s и обеспеченности р %.

Искомый максимальный расход воды 1% обеспеченности равен:

Q _1% = K _1% * Q _ср’ (12)

 

Пример

Исходные данные:

Ряд наблюдений за максимальным расходом воды в реке А продолжительностью n =31 год для выбранного варианта (см. прил. 1).

 

1. Вычислим статистические характеристики ряда наблюдений, предварительно выполнив расчеты по форме табл.3

= 11378 / 31 = 367 м³/с.

+ ∑ (К_i - 1) = 3.26

- ∑ (K_i - 1) = - 3.25

Суммы положительных и отрицательных значений ∑(K_i – 1) отличаются менее чем на 5%.

а) метод моментов:

= 0.26

= = 0.059

б) метод наибольшего правдоподобия:

= - 0,016

= 0,015

По номограмме (прил. 4) определим:

C_v = 0.26, C_s / C_v = 0.4, C_s = (C_s/C_v) * C_v = 0.4 * 0.26 = 0.1

2. По таблицам прил. 4 определим ординаты теоретических кривых обеспеченности и величины максимальных расходов воды разной вероятности превышения (табл. 4). При C_s / C_v < 0.5 для определения ординат кривых обеспеченности используется таблица прил. 4 при C_s / C_v = 0.5.

Таблица 3

 

m	Qi в убывав. порядке	Ki	Ki -1	(Ki -1)^2	(Ki -1)^3	p, %	lg Ki	Ki *lg Ki
	Точность	0,01	0,01	0,001	0,0001	0,1	0,001	0,001
… …	…. …	1,57 1,43 … … 0,54 0,50	0,57 0,43 … … -0,46 -0,50	0,325 0,185 … … 0,212 0,250	0,1852 0,0795 … … -0,0973 -0,1250	3,1 6,3 … … 93,8 96,9	0,196 0,155 … … -0,268 -0,301	0,308 0,222 … … -0,145 -0,150
	∑ Qi = =11378		+ 3.26 - 3.25	∑ = =2.028	∑= =+0.0291		∑= = -0.475	∑= =0.451

 

 

Таблица 4

Ординаты теоретической кривой обеспеченности

максимальных расходов воды

а) метод моментов (Q _ср = 367 м³/с, C_v = 0,26, C_s = 0,059)

 

p, %	0,1
Кр %	1,80	1,60	1,41	1,32	1,16	1,0	0,83	0,59
Qр %, м^3/с

 

б) метод наибольшего правдоподобия (Q _ср = 367 м³/с, C_v = 0.26, C_s = 0,1)

 

p,%	0,1
Кр%	1,80	1,60	1,42	1,33	1,17	0,99	0,84	0,60
Qр%, м^3/с

 

3. На клетчатках вероятности (рис.4 или прил.3) по данным табл.3 и 4 строим (рис. 4):

- эмпирическую кривую обеспеченности;

- теоретическую кривую обеспеченности (метод моментов);

- теоретическую кривую обеспеченности (метод наибольшего правдоподобия).

4. Для определения Q _1% графоаналитическим методом, используя построенную эмпирическую кривую обеспеченности (рис.4), устанавливаем величины расходов воды с вероятностью превышения 5, 50 и 95%:

Q _5% = 542 м³/с, Q _50% = 365 м³/с, Q _95% = 200 м³/с.

Коэффициент скошенности:

S = (Q _5% + Q _95% - 2 * Q _50%) / (Q _5% - Q _95%) =

= (542 + 200 – 2 * 365) / (542 – 200) = 0,035.

Коэффициент асимметрии и другие параметры определим по прил. 4: C_s = 0,11, Ф_50% = -0,022, Ф_5% - Ф_95% = 3,28.

 

Q, м³/с

р, %

 

Рис.4. Кривые обеспеченности: (1 – эмпирическая, 2 – метод моментов, 3 – метод наибольшего правдоподобия).

 

 

Среднее квадратическое отклонение равно:

σ’ = (Q _5% - Q _95%) / (Ф_5% - Ф_95%) =

= (542 – 200) / 3,28 = 104,3 м³/с.

Уточненное значение средней арифметической величины найдем по формуле: Q _ср’ = Q _50% - Ф_50% * σ’ = 365 + 0,022 * 104,3 = 367,3 м³/с.

Тогда, коэффициент вариации:

C_v’ = σ’ / Q _ср’ = 104,3 / 367,3 = 0,28.

Расчетный модульный коэффициент при р = 1% равен:

К _1% = Ф_1% * С_v’ + 1,

где Ф_1% - коэффициент Фостера, определяемый по прил. 4 в зависимости от коэффициента асимметрии C_s = 0,11 и обеспеченности р = 1%. Ф_1% = 2,40.

К _1% = 2,40 * 0,28 + 1 =1,67.

Максимальный расход воды 1% обеспеченности, определенный графоаналитическим методом, равен:

Q _1% = K _1% * Q _ср’ = 1,67 * 367,3 = 613,4 м³/с.

5. В качестве расчетного максимального расхода воды 1% обеспеченности принимаем большее из значений, определенных методами моментов и наибольшего правдоподобия, т.е. Q _1% = 587 м³/c.

На ранних стадиях проектирования за расчетный максимальный расход воды 1% обеспеченности допускается принимать его значение, полученное графоаналитическим методом при условии обоснования возможности применения биномиальной кривой обеспеченности, т.е. Q _1% = 613,4 м³/c.

 

Задача 3 (МТ, ВиВ)

По данным рек-аналогов

 

Удлинить ряд ежегодных расходов воды в реке В по ряду многолетних наблюдений за стоком воды в реке-аналоге А.

 

Указания к решению задачи

При недостаточности данных гидрометрических наблюдений на реке Впараметры кривой обеспеченности гидрологических характеристик стока или уровней воды необходимо привести к многолетнему периоду используя данные реки-аналога (рек-аналогов) и методы парной или множественной регрессии. При этом необходимо выполнить следующие условия:

- река-аналог или реки-аналоги должны отвечать указанным ниже требованиям;

- число совместных наблюдений на рассматриваемой реке и реках-аналогах должно быть не менее 6 лет при одном аналоге, и не менее 10 лет при двух и более аналогах;

- коэффициент корреляции между стоком в приводимом пункте и пунктах рек-аналогов должен быть не менее 0,7;

- коэффициент достоверности (не случайности) корреляции должен быть не менее 2;

- отношение коэффициентов регрессии к их средним квадратическим отклонениям должно быть более 2.

Основными требованиями, предъявляемыми к реке-аналогу, являются:

- географическая близость расположения водосборов;

- однородность условий формирования стока реки-аналога и исследуемой реки: сходство климатических условий, однотипность почв и грунтов, гидрогеологических условий, близкие степени озерности, залесенности, заболоченности и распаханности);

- отсутствие факторов, существенно искажающих естественный речной сток (регулирование стока, сбросы и изъятия воды и др.).

Мерой тесноты связи между двумя статистическими рядами служит коэффициент корреляции, определяемый по формуле:

, (13)

где Δ X_i = Х_i – X _c; Δ Y_i = Y_i – Y _c;

X_i и Y_i – соответствующие друг другу (по годам) ежегодные расходы воды с количеством членов n лет;

Х_с, Y_c – средние арифметические значения рядов, т.е. Х_с = ∑ Х_i / n; Y_c = ∑ Y_i / n.

Результаты расчета сведены в табл. 5.

Уравнение регрессии, которое предполагается использовать для удлинения ряда по данным одной реки-аналога, имеет вид:

(14)

где σ_у, σ_х – средние квадратические отклонения, определяемые по формулам:

(15)

Для оценки возможности применения уравнения регрессии (14) для удлинения гидрологического рядя предварительно необходимо определить:

- среднее квадратическое отклонение коэффициента корреляции:

(16)

- критерий достоверности (не случайности) коэффициента корреляции:

(17)

- коэффициент уравнения регрессии:

(18)

- среднее квадратическое отклонение коэффициента регрессии:

(19)

При r ≥ 0.7, К _д ≥ 2 и К / σ_к ≥ 2 корреляционная связь между гидрологическими рядами считается достоверной, а уравнение регрессии может быть использовано для удлинения гидрологического ряда для реки В.

При использовании нескольких рек-аналогов (j) удлинение гидрологического ряда производится по уравнению множественной линейной регрессии:

 

Y_i = K ₀ + K ₁ * (X ₁ )_i + K₂ * (X ₂ )_i + … + K_j * (X_j)_i,

 

где K ₁… K _j – значения стока или уровней воды в реках-аналогах (1… j);

K ₀ – свободный член;

K ₁… K _j – коэффициенты уравнения регрессии.

Коэффициенты и свободный член этого уравнения определяют методом наименьших квадратов (МНК).

Статистическая обработка удлиненного ряда наблюдений за стоком на реке В и определение параметров кривой обеспеченности проводится в соответствии с указаниями, изложенными в задаче 2.

При использовании графического метода удлинения ряда наблюдений по данным табл. 5 строится график связи между соответствующими расходами воды. Недостающие значения расхода воды для рассматриваемой реки определяются приближенно по этому графику. При этом целесообразно построить такие графики для нескольких рек-аналогов, из которых для удлинения ряда принимают график, имеющий наибольший коэффициент корреляции. Этот метод допускается применять на начальных этапах проектирования гидротехнических сооружений.

 

Пример

Исходные данные:

Для выбранного варианта из прил. 1 используем два ряда параллельных наблюдений по реке А и В продолжительностью 11 лет (1992 – 2002 гг.).

 

1. Установлено, что река А может являться рекой-аналогом, так как отвечает требованиям, предъявляемым к рекам-аналогам, и имеет более длительный период гидрометрических наблюдений по сравнению с рекой В.

Для приведения кратковременных наблюдений на реке В к многолетнему периоду применим метод парной регрессии.

Результаты расчета параметров, необходимых для определения коэффициентов корреляции и регрессии, сведены в табл. 5.

Вычислим средние арифметические значения рядов:

Хс = ∑Х_i / 11 = 3801 / 11 = 345,5 м³/с;

Yc = ∑ Y_i / 11 = 2245/ 11 = 204,1 м³/с.

Отклонения от средних арифметических значений будут равны:

Δ Xi = Хi – Xc; Δ Yi = Yi – Yc.

Коэффициент корреляции определим по формуле (13):

Таблица 5

 

Годы	Xi, м^3/с	Yi, м^3/с	Δ Xi, м^3/с	Δ Yi, м^3/с	Δ Xi *Δ Yi,	Δ Xi ^2	Δ Yi ^2
			28.5 -145.5 0.5 145.5 126,5 -16,5 -43,5 131,5 -100,5 -85 -117,5	-13.1 -80.1 -11.1 76.9 110,9 -31,1 -53,1 103,9 -67,1 -1,1 -35,1	-373 -6
-	∑ Xi = 3801	∑ Yi = 2245	-	-	∑Δ Xi *Δ Yi =63763	∑Δ Xi ^2 =91969	∑Δ Yi ^2 =45241

 

Среднее квадратическое отклонение коэффициента корреляции составит:

Критерий достоверности (не случайности) коэффициента корреляции равен:

К _д = r / σ_r = 0,99 / 0,0063 = 157.

Для удлинения ряда воспользуемся уравнением регрессии (14), в котором:

=

Коэффициент уравнения регрессии составит:

К = r * (σ_y / σ_x) = 0,99 * (67,3 / 95,9) = 0,69.

Среднее квадратическое отклонение коэффициента регрессии равно:

Отношение К / σ_к = 0,69 / 0,022 = 31,4.

Таким образом, выполнены все условия возможности применения метода парной регрессии для удлинения данного гидрологического ряда, т.е.: коэффициент корреляции r > 0.7, коэффициент достоверности корреляции К _д > 2 и величина отношения К / σ _к > 2.

2. Прямую связи расходов рек А и В построим по двум значениям X _i, охватывающим весь ряд наблюдений на реке А:

X ₁ = 600 м³/с. Эта величина больше X_max = 576 м³/с.

Х ₂ = 150 м³/с. Эта величина меньше Х_min = 185 м³/с.

Y ₁ = 204,1 + 0,99 * (67,3/95,9) * (600 – 345,5) = 379,7 м³/с;

Y ₂ = 204,1 + 0,99 * (67,3/95,9) * (150 – 345,5) = 69,2 м³/с.

После построения прямой связи, нанесем на график точки с соответствующими значениями X_i и Y_i, которые должны находиться рядом с прямой (рис. 5).

3. По уравнению регрессии (14) определим 20 недостающих расходов воды (до n = 31) в реке В для соответствующих значений расходов воды в реке А. Определенные значения расходов воды в реке В, заключенные в скобках, приводятся в отчете.

 

 

Река (В), Y_i, м³/с

Река (А), X_i, м³/с

 

Рис. 5. Прямая связи расходов рек А и В. (Точками показаны расходы воды за 11 лет параллельных наблюдений).

 

 

Задача 4 (МТ)

Указания к решению задачи

 

Максимальные расходы воды на малых и средних реках РФ при отсутствии гидрометрических данных наблюдений определяются по формулам, приведенным в СП 33-101-2003 (далее СП), Территориальных строительных нормах по гидрологическим расчетам (далее ТСН) и в Пособии по определению расчетных гидрологических характеристик (далее Пособие).

Параметры расчетных формул устанавливаются по данным рек-аналогов, картам ТСН и Пособия, а также материалам, опубликованным в изданиях Государственного водного кадастра «Ресурсы поверхностных вод» и Гидрологических ежегодниках.

Наряду с этими документами рекомендуется использовать надлежаще обоснованные региональные формулы, приведенные в ведомственных указаниях и инструкциях, а также результаты инженерно-гидрологических изысканий и гидрометрических наблюдений, выполненных при проектировании гидротехнических сооружений в соответствии с указаниями СП 11-103-97. Инженерно-гидрометеорологические изыскания. Госстрой России. М., 1998.

Максимальный расход весеннего половодья заданной обеспеченности Q_p% для водосборов с площадями от элементарно малых (менее 1 км²) до 20000 км² на Европейской и до 50000 км² на Азиатской территории РФ определяют по редукционной формуле:

Q_p% = K_o * h_p% * μ * δ * δ₁ * δ₂ * F / (F + b)ⁿ, м³/с (20)

где К_о – параметр, характеризующий дружность половодья, который определяется по данным рек-аналогов обратным расчетом по формуле (20);

h_p% - слой весеннего стока p% обеспеченности, мм; определяется по формуле (21) в зависимости от среднего слоя стока h_o, коэффициента вариации C_v и отношения C_s / C_v по рекам-аналогам, ТСН или картам Пособия (листы 6, 8, 9 прил.1);

μ – коэффициент, учитывающий неравенство статистических параметров слоя стока и максимального расхода; принимается по ТСН или табл. 9 Пособия;

δ – коэффициент влияния проточных озер, водохранилищ и прудов;

δ ₁ – коэффициент влияния залесенности водосбора;

δ ₂ – коэффициент влияния заболоченности;