Представление гармонических колебаний в виде вращающегося вектора

 

Пусть гармоническое колебание описывается уравнением x = A cos (ω t + φ₀). Проведем прямую О x (опорную) и построим вектор, направленный из точки О под углом φ₀ к опорной линии.

Обозначим через x ₀ проекцию вектора на опорную линию в момент времени t = 0:

x₀ = A cos (φ₀).

Вращение происходит против часовой стрелки, т.е. ω > 0. За промежуток времени t вектор амплитуды повернется на угол ω t и займет новое положение. Его проекция на опорную линию равна x = A cos (ω t + φ₀).
За время, равное периоду колебаний Т, вектор амплитуды повернется на угол 2φ, и проекция вектора совершит полное колебание около положения равновесия (точка О). Следовательно, вращающийся вектор амплитуды полностью характеризует гармоническое колебание.

Проекция кругового движения на ось у также совершает гармоническое колебание y = A sin (ω t + φ).

Таким образом, равномерное движение по окружности можно рассматривать как два колебательных гармонических движения, совершаемых одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Этим представлением широко пользуются при сложении колебаний.

Формула амплитуды колебаний при сложении двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами, совершающихся вдоль одной прямой.

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания не­обходимо сложить. Сложим гармониче­ские колебания одного направления и оди­наковой частоты

воспользовавшись методом вращающего­ся вектора амплитуды (см. § 140). Постро­им векторные диаграммы этих колебаний (рис.203). Так как векторы a1 и А2 вра­щаются с одинаковой угловой скоростью ω0, то разность фаз (φ2-φ1) между ними остается постоянной.

Очевидно, что уравнение результирую-

щего колебания будет

х=х1+х2=Аcos(ω0t+φ). (144.1)

В выражении (144.1) амплитуда А и начальная фаза φ соответственно за­даются соотношениями

Таким образом, тело, участвуя в двух гар­монических колебаниях одного направле­ния и одинаковой частоты, совершает так­же гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ2-φ1) складываемых ко­лебаний.

Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз (φ2-φ1):

1) φ2-φ1=±2mπ (m = 0, 1, 2,...), тог­да A=A1+A2, т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме ампли­туд складываемых колебаний;

2) φ2-φ1= ±(2m+1)π (m=0, 1, 2,...), тогда A = │A1-A2│, т.е. амплиту­да результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых коле­баний.