Тема : елементи механiки суцiльних середовищ

 

ПЛАН

 

1. Тиск у рiдинах та газах.

2. Стацiонарна течiя рiдини. Рiвняння неперервностi.

3. Тиск текучої рiдини. Рiвняння Бернуллi.

4. Ламiнарний і турбулентний режими течiї.

 

 

Гiдроаеромеханiка - це роздiл механiки, який вивчає рiвновагу та рух рiдин i газiв, їх взаємодiю мiж собою й обтiкаючими ними тiлами.

 

 

1. При розглядi законiв цього роздiлу застосовується єдиний математичний пiдхiд до вивчення як рiдин, так i газiв, незважаючи на їх iндивiдуальнi особливостi.

Загальними характеристиками їх властивостей, якi дозволяють застосування єдиного математичного пiдходу, є плиннiсть (текучість) - рiдина та газ не зберiгають свою форму та приймають форму посудини, в якiй знаходяться.

 

Унаслідок цього:

 

Закон Паскаля: зовнішній тиск, що утворюється на рідину та газ, передається рівномірно по всіх напрямках об'єму.

 

Для подальшого розгляду введемо три обмеження на рідину і газ:

1. Рідина нестислива ( =const для нерухомої рiдини, а також для окремих рухомих шарів рiдини за умови.

v_{руху рідини} v_{руху звуку}

2. Рiдина повинна бути iдеальна (F_t 0; сила тертя мiж шарами рiдини спрямовується до 0).

3. Рух рiдини - стацiонарний (швидкiсть постiйна у кожнiй точцi простору всiх часток, які послiдовно рухаються через неї).

 

Тиск - це фiзична величина, яка дорiвнює вiдношенню сили, дiючої нормально до поверхнi, до величини площi цiєї поверхнi.

 

(1)

 

 

 

 

h

 

S

 

 

 

(2)

 

- гiдоростатичний тиск.

 

Iз (2) впливає:

а) на однаковiй висотi тиск постiйний у нерухомiй рiдинi:

P = const при h = const;

б) тиск лiнiйно змiнюється зі змiною висоти

 

Закон Архiмеда: сила тиску на нижню частину будь- якого тiла, зануреного в рiдину, бiльша, нiж на верхню частину, що й зумовлює появу виштовхувальної cили.

 

2. Перейдемо вiд нерухомої рiдини до текучої (плинної). Введемо кілька необхiдних термiнiв.

Рух рiдини = " течiя ".

Сукупнicть рухомих частинок = " потiк ".

Графiчно рух рiдини зображається за допомогою лiнiй струму - лiнiй, у кожнiй точцi яких вектор v є вектором дотичної.

v

v

v

 

 

За густотою цих лiнiй судять про швидкiсть руху частинок рiдини.

Частина рiдини, обмежена лiнiями струму, називається трубкою струму.

Розглянемо трубку струму змiнного перерiзу:

 

S₁

S₂

v₁ v₂

 

 

Нехай за час dt через перерiз S₁ проходить об'єм рiдини S₁v₁dt; а через переріз S₂ проходить об'єм рiдини S₂v₂dt;а за одиницю часу відповідно S₁v₁ i S₂v₂.

Оскільки рiдина нестислива, то через рiзнi поперечнi перерiзи повинен проходити за одиницю часу один i той же об'єм рiдини, тому S₁v₁ = S₂v₂ = … = S_nv_n, або

 

(3)

 

-рiвняння неперервностi для нестисливої рідини.

 

Для нестисливої piдини, для даної трубки струму добуток швидкостi течiї рiдини на величину поперечного перерiзу трубки струму є сталим.

 

 

3. Застосуємо закон збереження механiчної енергiї до стацiонарної течiї iдеальної нестисливої рiдини.

 

Маємо трубку струму змiнного перерiзу:

 

S₁

S₁^' S₂

S₂^'

v₁ v₂

P₁ P₂

 

h₁ h ₂

 

 

Нехай для перерiзу

Тиск на входi в

 

Згiдно із законом збереження механiчної енергiї змiна повної енергiї iдеальної нестисливої рiдини дорiвнює роботi зовнiшних сил із перемiщення рiдини маси m:

 

(4)

 

Ми розглядаємо перемiщення рiдини за час dt на нескiнченно малий вiдрiзок l₁ (l₂); при цьому змiна поперечного перерiзу буде така:

, де

E₂ i E₁ - повнi енергiї рiдини маси m у мiсцях з поперечним перерiзом S₁ i S₂.

 

 

Подiлимо лiву i праву частину на та врахуємо, що й одержимо:

 

або

 

(5)

 

- рiвняння Бернуллi.

Воно вiдображає закон збереження механiчної енергiї стосовно стацiонарної течiї iдеальної нестисливої рiдини.

- динамічний тиск (динамічний напір);

- гідростатичний тиск (гідростатичний напір);

Р - тиск (статичний напір).

 

Закон Бернуллi: повний напiр у рухомiй рiдині залишається сталим.

 

Якщо маємо горизонтальну трубку (h₁ = h₂), то

 

(5a)

 

Із (5) i (5а) випливає: при горизонтальному положеннi трубки змiнного перерiзу швидкість бiльше, а тиск менше у мiсцях звуження та навпаки. Ця властивість використовується у роботі водострумного насоса.

 

вода

повітря

повітря вода + повітря

 

 

4. Iснує 2 режими течiї рiдини у трубках:

1) ламiнарний - якщо у серединi потоку кожний шар просковзує вiдносно сусiднiх без перемiшування.

2) турбулентний - якщо в серединi потоку iснує перемiшування рiдини з iнтенсивним вихроутворенням.

Ламiнарна течiя спостерiгається при малих швидкостях течiї: шар рiдини, який лежить близько до поверхнi труби, взаємодiє за рахунок мiжмолекулярних сил із поверхнею труби, тому швидкість iнших шарiв прискорюється з вiддаленням вiд поверхнi труби, а профiль усередненої швидкості має вигляд параболи.

 

 

 

ламінарний турбулентний

вид течії вид течії

 

При турбулентнiй течiї виникають складовi швидкості, якi будуть перпендикулярнi напрямкам течiї. Перехiд частинок рiдини iз шару в шар буде спостерiгатись iнтенсивнiше, тому тут не буде параболи, а вихри будуть утворюватися біля стiнок поверхнi труби.

Математично ця вiдмінність описується безрозмiрним числом Рейнольдса, яке визначається фiзико-хiмічними властивостями рiдини та параметрами труби (R_е).

Якщо , - ламiнарний;

Якщо , - турбулентний;

Якщо , - перехiд вiд ламiнарного режиму до турбулентного.

Лекція VII

ТЕМА: МАКРОСКОПІЧНИЙ СТАН

ПЛАН

1. Статистичний та термодинамiчний методи, макроскопiчнi параметри.

2. Основне рiвняння молекулярно-кiнетичної теорiї. Рiвняння стану iдеального газу.

3. Середня кiнетична енергiя молекул. Молекулярно-кiнетичний змiст температури.

4. Закон рiвномiрного розподiлу енергiї за ступенями вiльностi.

 

1. Статистична фiзика вивчає властивостi та агрегатнi стани макроскопiчних тiл залежно вiд їх будови й взаємодiї мiж їх частинками (атомами i молекулами) i параметрами їх теплового руху.

Термодинамiка - це роздiл фiзики, який вивчає найбільш загальнi властивостi макросистем, якi знаходяться в рiвновазi, та процеси переходу мiж ними.

У статистичнiй фiзицi використовується молекулярно-кiнетичний метод дослiджень. Вiн установлює закони протiкання рiзних процессiв у макротiлах на основi вивчення їх молекулярної структури і механiзму взаємодiї окремих молекул.

Термодинамiка (термодинамiчний метод) - використовується для вивчення властивостей тiл без урахування їх внутрiшньої будови. Його основна мета - визначення стану термодинамiчної системи.

Термодинамiчна система - це сукупнiсть макротiл, якi взаємодiють та обмiнюються енергiєю мiж собою і зовнiшнiм середовищем.

Стан кожної термодинамiчної системи задається термодинамiчними параметрами.

Термодинамiчнi параметри - це сукупнiсть фiзичних величин, якi характеризують властивостi термодинамiчної системи: P,V,T.

Абсолютна температура - це величина, яка характеризує термодинамiчну рiвновагу системи.

Термодинамiчний рiвноважний стан - це такий стан, при якому всi термодинамiчнi параметри не змiнюються з часом.

Термодинамiчний процес - явище переходу системи iз одного термодинамiчного стану в iнший.

 

 

2. Найпростіший об'єкт дослідження у молекулярній фізиці - ідеальний газ.

Iдеальний газ - це газ, молекули якого можна вважати матеріальними точками, та можна знехтувати взаємодiєю мiж його молекулами.

Знайдемо рiвняння, яке б зв'язувало залежнiсть параметрiв стану газу з кiнетичною енергiєю поступалього руху його молекул.

Із найбільш загальних мiркувань тиск визначається наслiдком ударiв молекул об стiнку посудини з деякою силою, величина якої невiдома. Однак ми можемо порахувати середню силу, яка дiє на стiнку посудини з боку усiх молекул газу.

 

Z l

N

Y

O

 

 

Х

 

Маємо газ, який знаходиться у кубi з довжиною ребра l, кiлькiсть молекул N, уздовж кожної гранi рухається N₁ молекул; зi швидкiстю .

Сила дiї одної молекули на грань

 

а повна сила всiх N₁-молекул на грань l дорiвнює:

 

 

Уведемо середню квадратичну швидкiсть поступального руху молекули газу:

 

Уведемо середню кiнетичну енергiю поступального руху однiєї молекули газу:

 

(*)

 

(1)

 

- основне рiвняння МКТ.

 

Тиск в ідеальному газовi дорiвнюї 2/3 добутку середньокiнетичної енергiї поступального руху молекули газу на концентрацiю молекул газу.

 

Це рівняння основне тому, що пов`язує макропараметри з мікрохарактеристиками газу (швидкість однієї молекули).

Воно дає відповідь на питання, чому в газі є тиск. Тому, що молекули володіють кінетичною енергією, б’ють із силою на грані куба і зумовлюють тиск.

Тому рівняння Клапейрона-Менделєєва є звичайним наслідком основного рівняння молекулярної теорії.

 

 

3. Ми знайшли, що

; ,

де - об`єм одного моля газу;

N_а - стала Авогадро; 6.023 10¹³ моль^-1 - величина, яка показує кількість молекул, що знаходяться в одному молі газу.

 

(2)

 

Т є мірою поступального руху молекул газу.

 

- стала Больцмана; К=1.38*10^-23 Дж/К.

 

(3)

 

- кінетична енергія поступального руху однієї молекули.

Порівнявши (3) і (*), будемо мати:

 

 

Другий варіант формули одержимо з урахуванням:

та

(4)

 

Цей вираз є одним із варіантів запису основного рівняння МКТ.

 

 

4. Молекули газу можна розглядати як систему матеріальних точок, які здійснюють як поступальний, так і обертальний рух.

Кількість незалежних координат, які визначають положення молекул у просторі, називають кількістю ступенів вільності молекул.

Одноатомний газ (аргон,...): i = 3

Двоатомний газ (NО,CО,H₂): i = 5

Триатомний газ та багатоатомний: і = 6 (3 поступальних та 3 обертальних степенів вільності).

 

Для поступального руху молекул ми знайшли, що

, а оскільки поступальному рухові завжди відповідає 3 степені вільності, то на кожний ступінь вільності припадає .

У цьому і є зміст закону рівномірного розподілу енергії за степенями вільності:

 

Статистично, в середньому, на кожний ступінь вільності молекули припадає енергія

 

Воднорідному багатоатомному газі кожна молекула має

і-ступенів вільності, тому кожна молекула володіє енергією:

 

(5)

 

Лекція VIIІ