ТОП 10:

Момент iмпульсу абсолютно твердого тiла вiдносно нерухомої осi не змiнюється з часом при будь-яких взаємодіях між тілами систем.



Цей фундаментальний закон є наслiдком iзотропностi простору.

Iзотропнiсть простору - це така фiзична властивiсть простору, яка пов'язана з iнварiантнiстю фiзичних законiв вiдносно обертання системи координат на довiльний кут.

Приклад - лава Жуковського:

 

;

 

8. Кінетичну енергію тіла, що обертається, можна записати так:

 

(21)

 

У загальному випадкові рух абсолютно твердого тiла можна зобразити як суму поступального руху абсолютно твердого тiла зi швидкiстю і обертального руху зi швидкiстю навколо миттєвої осi, яка проходить через центр iнерцiї С:

 

(22)

 

 

Лекція IV

ТЕМА: МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ

ПЛАН

1. Поняття про коливальний процес.

2. Кiнематика гармонiчних коливань.

3. Гармонiчний осцилятор. Маятники, вантаж на пружинi.

4. Енергетичне спiввiдношення для осцилятора.

5. Додавання коливань.

6. Вiльнi затухаючі коливання.

7. Вимушенi коливання осцилятора пiд дiєю синусоїдальної сили. Резонанс.

 

 

1. Пiд коливаннями в самому загальному випадкові розумiють рухи або процеси, якi мають певну повторюванiсть із часом.

Найбiльше значення у фiзицi мають механiчнi та електромагнiтні коливання.

Власнi, або вiльнi, коливання - це такi коливання, якi виникають у системi, на яку не дiють зовнiшнi змiннi сили, а система приходить у коливання внаслiдок початкового вiдхилення вiд положення рiвноваги.

А якщо цi коливання виникають у консервативнiй системi, то вони будуть незатухаючими.

Коливальний рух є перiодичним, якщо значення фiзичної величини повторюється через певний промiжок часу.

Коливання рiзної фiзичної природи мають однаковi закономiрностi i тому описуються єдиним математичним апаратом.

2. Найбільш простий тип механiчних коливань - гармонiчнi коливання.Це такi коливання, якi вiдбуваються за законом sin або cos.

Математично це можна представити так:

 

(1)

 

Х

 

 
 


t

 

 

Х -змiщення точки вiд положення рiвноваги у момент часу t;

A - амплiтуда коливань;

- фаза коливань у момент часу t;

- початкова фаза;

- циклiчна (кругова) частота;

- частота коливань - кiлькiсть коливань за одиницю

часу.

Амплiтуда - величина максимального змiщення коливальної величини вiд положення рiвноваги.

Початкова фаза - значення фази у момент часу t = 0.

 

T - перiод коливань- час одного повного коливання.

[T] = c.

 

 

3. Розглянемо коливання пружинного маятника.

Пружинний маятник - це тiло масою m, з`єднане з нерухомою пружиною з коефiцiєнтом пружностi k, що коливається в горизонтальній площинi пiд дiєю сили ;

 
 

 


mnp. m

           
 
     
 


 
 


Опишемо математично цей рух :

 

 

(2)

 

- диференцiйне рiвняння гармонiчних коливань.

 

Нехай .Перевiримо, чи задовольняе рiвняння (2) такому вигляду х.

 

 

Наслiдки перевiрки:

1) рiвняння (1) є рiшенням диференцiйного рiвняння (2);

2) коливання пружинного маятника є гармонiчнимколиванням із частотою .

3).

(сила пропорцiйна першому степеневі змiщення).

4).

 

(3)

 

Математичний маятник - iдеалiзована система, яка складається iз матерiальної точки, що пiдвiшена на невагомій нерозтягнутій нитцi та здійснює малі коливання пiд дiєю сили тяжiння у вертикальній площині.

 

 
 

 

 


 
 


                   
 
   
     
   
 
     
 
 
 


Fтяж.

 

Диференцiйне рiвняння руху має вигляд :

 

 

 

(5), тоді:

 

(4)

 

- диференцiйне рiвняння коливань математичного маятника.

Висновки:

1. F~X;

2. Коливання математичного маятнику теж є гармонiчнi.

3. З урахуванням (5) маємо :

 

(6)

 

- перiод коливань математичного маятника.

 

Сили, якi за своєю дiєю аналогiчнi силам пружностi, називаються квазiпружними (квазi - майже), а звiдси випливає найбiльш загальне визначення гармонiчних коливань :

 

Гармонiчнi коливання - це коливання, якi виникають пiд дiєю пружних або квазiпружних сил.

 

Фiзичний маятник - це абсолютно тверде тiло, яке коливається вiдносно горизонтальної осi, яка не проходить через центр iнерцiї цього тiла.

 

 
 


О

 
 

 


C

mg

О'

Розглянемо малi коливання фiзичного маятника :

Якщо вивести маятник iз положення рiвноваги, виникне обертальний момент, який буде прагнути повернути маятник у положення рiвноваги.

Можна показати, що диференцiйне рiвняння в цьому випадкові таке:

 

(7)

 

l - вiдстань мiж центром iнерцiї та вiccю обертання;

І - момент iнерцiї маятника вiдносно вiсi обертання;

m - маса маятника;

(8)

 

- перiод коливань фiзичного маятника

 

(9)

 

- приведена довжина фiзичного маятника

 

(10)

 

Із порiвняння формули (10) i (6) випливає, що - це довжина такого математичного маятника, який коливається синхронно з фiзичним.

Усi вищенаведенi приклади являють собою частковi випадки коливань гармонiчного осцилятора.

Гармонiчний осцилятор - це фiзична система, коливання якої можна представити таким диференцiйним рiвнянням:

 

(11)

 

S - коливальна величина.

 

Цi коливання становлять собою приклад гармонічного руху i тому можуть бути моделлю у багатьох галузях фiзики.

 

 

4.

 

- кiнетична енергія тіла, що

коливається.

Потенцiйна енергія тiла, що коливається, вимірюється роботою, яку виконує повертальна сила F = -kx, котра приводить тiло у положення рiвноваги

(En = A);

 

 

Вiдомо, що повна енергія коливань тiла = Ек + Еn

 

 

(12)

 

- повна механічна енергія тiла, що коливається.

 

 

5. Кожне гармонiчне коливання можна зобразити за допомогою векторної дiаграми, якщо ввести обертальний вектор амплітуди .

У будь-який промiжок часу проекцiя кiнця вектора буде змiнюватись так:

 

 

 

О Х

A - модуль вектора ;

- кутова швидкiсть обертання вектора навколо точки О (фiзичний змiст циклiчної частоти );

- початкова фаза.

 

Використавши цей прийом, складемо 2 коливання однакової частоти та однакового напрямку :

 

 

Нехай результуюче коливання має такий вигляд :

 

 

Складемо вектори за правилом паралелограма:

 

 

А

       
   
 
 


 
 


С

В

 

 

За допомогою теореми косинусів маємо:

(13)

 

 

 

(14)

 

Цей прийом є унiверсальним, оскільки вiн дозволяє скласти не тiльки 2 коливання, а й бiльше.

При складаннi 2-х взаємно перпендикулярних коливань у загальному випадку маємо складне рiвняння елiпсу.

Розглянемо частковий випадок, коли рiзниця фаз дорiвнюе 900:

У

Х

 

 

6. Ранiше ми показали, що в консервативнiй cистемi пiд дiєю квазiпружних сил виникають вiльнi незатухаючі коливання, а якщо система буде дисипативною, то буде вiдбуватись відтiк енергії на виконання роботи проти сил тертя i внаслiдок цього коливання будуть затухати.

Уведемо силу опору:

(на одній горизонталі).

 

 

(15)

 

- диференцiйне рiвняння вiльних затухаючих коливань.

Можна показати, що рiшення цього диференцiйного рiвняння має такий вигляд :

 

(16)

 
 

 

 


t

At At+T

 

 

Таким чином, маємо затухаюче коливання, амплiтуда якого зменьшується з часом за таким законом :

 

 

Частота -

 

Період -

 

Уведемо логарифмiчний декремент :

 

- це величина, що дорiвнює натуральному логарифму вiдношення двох послiдовних амплiтуд, у моменти часу, що вiдрiзняється на перiод коливань.

(17)

 

 

(18)

 

- коефіцієнт затухання.

 

Розглянемо фiзичний змiст i .

Нехай за час амплiтуда коливань зменшилась в е раз.

 

(19)

 

Коефiцiєнт затухання обернений часу, за який амплiтуда коливань зменшилась в е раз.

 

Нехай за час у системi вiдбудеться N коливань.

 

(20)

 

Логарифмiчний декремент обернений кiлькостi коливань, по завершенні яких амплiтуда коливань зменшується в е раз.

 

7. А як одержати незатухаючi коливання в дисипативнiй системi?

Для цього потрiбна дiя зовнiшньої перiодичної сили, яка б протидiяла дисипацiї енергiї у системi.

Нехай ця сила має такий вигляд:

- зовнiшня перiодична сила.

Ця сила в певнi промiжки часу буде привносити енергiю в коливальну систему, внаслiдок чого коливання не будуть затухати.

Диференцiйне рiвняння буде мати такий вид:

 

(21)

Можна показати, що у сталому режимi рiшення рiвняння має такий вигляд (за виглядом правої частини):

 

(22)

 

Видно, що коливання будуть вiдбуватися з частотою зовнiшньої перiодичної сили F.

Можна показати, що

 

(23)

 

(24)

 

Тобто коливальний рух визначається тiльки параметрами самої коливальної системи .

Нехай коефiцiєнт затухання . Тодi, як видно iз (23), .

 

- резонанс

 

Резонанс - це явище рiзкого зростання амплiтуди коливань при спрямуванні частоти вимушеної сили до частоти власних коливань

 

A

 
 

 


А0

 

 

Лекція V

ТЕМА: МЕХАНІЧНІ ХВИЛІ

ПЛАН

1. Хвилi. Плоска синусоїдальна хвиля. Рiвняння бiжучої хвилi.

2. Фазова та групова швидкостi. Дисперсiя хвиль.

2. Енергiя хвилi. Вектор Умова.

 

 

1. Якщо в будь-якiй точцi пружного середовища (тверде тiло, рiдина, газ) виникають коливання його часток, то внаслiдок взаємодii мiж частками цi коливання будуть поширюватися у цьому середовищi з деякою швидкiстю .

Поширення коливань у пружному середовищi називають хвильовим процесом, або пружною хвилею.

Як i механiчнi коливання, хвилi рiзної фiзичної природи також мають однаковий математичний опис.

 

Найважливiша ознака хвиль рiзної природи полягає в тому, що вiдбувається перенесення енергiї без переносу речовини!!!!

 

Хвилі бувають поперечнi та поздовжнi.

Поздовжнi хвилi - це такi, для яких коливання частин середовища збігається з напрямком поширення хвилi.

Поперечнi хвилi - це такi, для яких коливання частин середовища перпендикулярне напрямку поширення хвилi.

Поперечнi хвилi поширюються тільки у твердому тiлi.

Поздовжнi хвилі поширюються у твердому тiлi, рiдинах та газах.

 

Розглянемо хвилю, яка поширюється у напрямку Х:

 

О М Х

l

 

Нехай хвиля за час t1 проходить вiдстань l . У точці О коливання вiбратора описуються так :

О :

М :

Хвиля у точцi M повинна вiдставати за фазою вiд такої у точцi O, оскільки потрiбен час для проходження хвилею шляху l.

Уведемо довжину хвилi . Це вiдстань, яку проходить хвиля за час, рiвний перiоду коливань вiбратора.

Уведемо хвильове число . Воно показує, скiльки довжин хвиль укладається на вiдстанi, що дорiвнює .

З урахуванням вищесказаного одержимо :

 

(1)

 

- рiвняння бiжучої хвилi, де:

S - змiщення точок пружного середовища,

- циклiчна частота вiбратора.

 

Iз цього рiвняння випливає, що коливальний процес є перiодичним як за часом, так i у просторi.

 

 

S

t = const

- позірне зображення хвилi

 
 

 


l

 

2. Хвиля, поширюючись, охоплює все новi дiлянки простору. Введемо нові поняття:

Хвильовий фронт - це геометричне мiсце точок, до яких доходить коливання на даний час.

Вiн являє собою ту поверхню, яка вiддiляє коливальну частину простору вiд частинок, якi ще не почали коливатися.

Зафiксуємо фазу i визначимо швидкiсть її поширення, оскільки рiзним значенням фаз вiбратора вiдповiдають рiзнi значення властивостей хвилi.

 

(2)

 

- фазова швидкiсть (швидкість переміщення фронту хвилі).

Iз формули (2) видно, що v є функцiя циклiчної частоти.

 

Явище залежностi швидкостi поширення хвилi v вiд частоти називають дисперсiєю хвилi, а середовище, в якому це вiдбувається, називають диспергованим.

 

Явище дисперсii хвиль можна взагалi спостерiгати у середовищi, де поширюються не одна, а декiлька синусоїдальних хвиль із рiзними, але близькими за величиною фазовими швидкостями.

Теоретично можна показати, що в цьому випадку результуюча хвиля завжди буде представлена у виглядi системи синусоїдальних хвиль (хвильовий пакет), а за швидкiсть поширення цього пакета (несинусоїдального) приймається швидкiсть поширення максимуму його амплiтуди, яка називається груповою швидкiстю u:

 

(3)

 

Формула "працює" тiльки при .

Iз (3) випливає: при ,

- дисперсiя вiдсутня.

 

 

3. Оскільки хвиля переносить енергiю, то середовище, в якому вона поширюється, повинно володiти додатковим запасом енергiї, що переноситься вiд вiбратора до рiзних точок середовища.

Якщо за час dt через поверхню площиною dS переноситься енергiя dE, то величина має назву потоку енергiї:

(4)

 

Оскільки у рiзних точках середовища потiк енергiї має рiзну iнтенсивнicть, уводять поняття густини потоку енергiї .

 

(5)

 

Густина потоку - це величина, яка дорiвнює потоку енергiї, який переноситься через одиницю поверхнi перпендикулярно до напрямку поширеня.

       
   
 
 


 

 

W - об'ємна густина енергії.

 

(6)

 

- вектор Умова.

Лекція VІ







Последнее изменение этой страницы: 2017-01-26; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.85.214.125 (0.058 с.)