Уравнение Эйлера для равновесия жидкости

Уравнение Эйлера для равновесия жидкости - совокупное дифференциальное уравнение равновесия жидкости под действием произвольных внешних сил.

Если dP₁ и dP₂ - внешние силы, то условие равновесия: dP₁ - dP₂ + dF_x = 0; где dF_x = dM × a_x, dM = r × dW, dW = dx × dy × dz.

Сила гидростатического давления: dP = p × dw, если р₁ и р₂ - давление в точках приложения сил dР₁ и dР₂, то dР₁ = p₁ × dy × dz и dР₂ = p₂ × dy × dz. Если р = давление в центре тяжести, то: и .

Уравнение равновесия: , поскольку dy¹0 и dz¹0, то: . Аналогично для других координатных осей, получим уравнение Эйлера:

Сложив три уравнения получим: , при постоянной плотности жидкости: . ГМТ постоянного давления называется поверхностью равного давления или поверхностью уровня.

 

Равновесие жидкости под действием силы тяжести

, для жидкости, находящейся в равновесии под действием собственного веса: a_x = 0; a_y = 0; a_z = -g;

p = -r × g × z + c, так как r × g = g, то p + g × z = const.

Основное уравнение гидростатики, энергетический и геометрический смысл

Так как: p + g × z = const, то p/g + z = const [м] - основное уравнение гидростатики.

Энергетический смысл: р/g - удельная (отнесенная к единице веса) потенциальная энергия давления, z - удельная потенциальная энергия положения.

Геометрический смысл: p/g + z = Н - гидростатический напор, тогда: p/g - пьезометрический напор и z - напор положения.

Полное и манометрическое давление, вакуум, пьезометрическая и вакуумметрическая высота

Полное давление - сумма внешнего поверхностного и весового давлений: p = p₀ + g × h, где весовое давление - произведение удельного веса жидкости на расстояние от точки до свободной поверхности.

Манометрическое (избыточное) давление - превышение гидростатического давления над атмосферным: p_изб = p - p_атм.

Вакуум - разность между атмосферным и гидростатическим давлением: p_вак = p_атм - p.

Пьезометрическая высота - высота столбика жидкости, который своим весом может создать давление, равное избыточному.

Вакуумметрическая высота - разность атмосферного и полного давлений в точке.

Давление жидкости на плоскую стенку

Пусть a - угол наклона стенки к горизонту, r - плотность жидкости, р₀ - давление на свободной поверхности жидкости, h - расстояние от свободной поверхности жидкости до точки и l - расстояние до точки вдоль стенки, тогда: р = р₀ + g × h = р₀ + g × l × sin a; dP = p × dw = (р₀ + g × l × sin a) dw, интегрируя по w получим: P = p₀ × w + r × g sin a S_x, где Sx - статический момент относительно оси ^ стенке. Так как S_x = l_цт × w, то P = (р₀ + g × h_ц)w.