Математична модель. Види математичних моделей.

- Математичні моделі, являють собою системи математичних співвідношень, виражених формулами, функціями та рівняннями, які описують ті чи інші властивості об’єкта, процесу, явища, що досліджується. Математичні моделі електричних явищ у органах, наприклад, описання форм електрограф, ґрунтуються на законах електродинаміки, а моделі кровообігу – на законах гідродинаміки.

 

Відповідно розрізняють теоретико-множинні, матричні, топологічні та поліномні математичні моделі. Приклади математичних моделей:

Модель Мальтуса – закон про пропорційну залежність між швидкістю росту і розміром популяції.

Система хижак-жертва (Вольтера-Лотки) – показує залежність між чисельністю хижаків та жертв.

Модель оптимальної поведінки покупця – виражає вибір покупця між множиною продуктів при обмеженому бюджеті.

Модель всесвіту.

 

Детерміністичні моделі описують закономірності, що виявляються в одиночному, у кожнім окремо узятому елементі сукупності. Такій закономірності властива тверда механічна причинність, що конкретно визначає поводження кожної одиниці сукупності. Вона одержала назву динамічної або закономірності з твердою детермінацією. Типовими прикладами динамічних закономірностей можуть служити закони класичної механіки. У динамічних закономірностях зв’язок між причиною і наслідком може бути виражений цілком точно у вигляді конкретних математичних формул. Тут кожному наборові значень пояснюючих змінних завжди відповідає визначене значення пояснюваної змінної. Такий зв’язок називається функціональним. Детерміністична модель служить вираженням функціонального зв’язку.

Крім того, причини можуть мати і непередбачений характер. Так, наприклад, у банківській діяльності щоденні грошові потоки формуються під впливом визначених закономірностей (заплановані платежі), а також необов’язкових, а часом і непередбачених надходжень або платежів. Отже, економічні процеси мають імовірний характер, а розвиток досліджуваного об’єкта визначається сумарним впливом закономірності і випадковості.

Щоб відокремити істотні фактори, що діють на досліджуваний об’єкт, від другорядних і випадкових, спостереження повинні бути багаторазовими, масовими. Закономірності, що виявляються при масових спостереженнях, називають статистичними. Статистичні закономірності також причинно обумовлені, як і динамічні, тільки причин може бути безліч, вони взаємно переплетені і діють у різних напрямках. Імовірність одержання конкретного результату тут дорівнює нулю. У подібних ситуаціях можна лише знайти інтервал, у який попадає значення досліджуваного показника з наперед заданою імовірністю. Виявлення статистичних закономірностей, визначення інтервальних оцінок невідомих параметрів і перевірка різних гіпотез здійснюються методами математичної статистики.

Стохастичні моделі описують закономірності, які обумовлені одночасною дією на об’єкт багатьох факторів і які проявляються чітко тільки при масових спостереженнях. До найбільш розповсюджених методів побудови стохастичних моделей відносяться методи, об’єднані під загальною назвою — багатовимірний статистичний аналіз, зокрема — кореляційний і регресійний аналізи. Практика показує, що стохастичні моделі, одержані за допомогою кореляційного і регресійного аналізів, мають перевагу при кількісному описі причинно-наслідкових відносин в економіці і соціальній сфері в порівнянні з детерміністичними моделями. Виявлення кількісних співвідношень у вигляді регресії дає можливість краще зрозуміти природу досліджуваного явища. А це, у свою чергу, дозволяє впливати на виявлені фактори, втручатися у відповідний економічний процес з метою одержання потрібних результатів.

Класичний регресійний аналіз описує економічні процеси за допомогою одного рівняння регресії. Це рівняння не функціональне, а стохастичне. У ньому кожному наборові пояснюючих змінних може відповідати відразу кілька значень пояснюваної змінної. У рівнянні повинні бути присутні тільки істотні пояснюючі змінні. Неконтрольовані або невраховані фактори, а також помилки виміру включаються у випадковий член (випадкове відхилення). Передбачається, що пояснюючі змінні не випадкові і не корелюють між собою, а випадкова складова має діагональну дисперсійно-коваріаційну матрицю з рівними діагональними елементами (дисперсіями).

Як показали подальші дослідження, опису економічних процесів за допомогою одного рівняння регресії явно недостатньо через безліч переплетень причин і наслідків. Для більш адекватного відображення реальних взаємовідносин в економічних процесах необхідно застосовувати систему регресійних рівнянь. Застосування обґрунтованих тестів для перевірки гіпотези про вигляд дисперсійно-коваріаційної матриці випадкового відхилення показало, що розраховані значення випадкового члена рівняння регресії в багатьох випадках (особливо при аналізі часових рядів) відкидають основні припущення класичного регресійного аналізу. Ідея про взаємозв’язок між економічними змінними, а також припущення про загальний вигляд дисперсійно-коваріаційної матриці випадкового члена привело до створення нового типу стохастичних моделей, що стали називатися економетричними.