Долгосрочное медицинское страхование

Современная стоимость потока затрат на медицинские услуги определяется рядом факторов. Кроме тех, которые влияют на стоимость постоянного аннуитета к ним относятся три новых фактора — шкала относительных величин затрат k_x, базовый размер затрат G и вероятности прекращения страхования g_x. Большое значение имеет и вид страхования (групповое или индивидуальное). Причем влияние новых факторов заметно проявляется на фоне воздействия факторов, определяющих постоянный аннуитет.

Очевидно, что стоимость аннуитета увеличивается при возрастании относительных затрат. Влияние изменения базового размера затрат G аналогично, тогда как повышение уровней вероятности выхода из числа застрахованных сокращает указанную стоимость. Зарубежный опыт показывает, что относительные затраты и значения вероятностей прекращения страхования у мужчин выше, чем у женщин.

Как видим, при увеличении возраста стоимости потоков возрастают. Это объясняется тем, что сокращается срок для дисконтирования значительных затрат на медицинское обслуживание лиц старшего возраста и уменьшается влияние солидарности.

Стоимости потоков для женщин любого возраста выше, чем для мужчин. Сдвиг моментов выплат вперед на полгода (расчет по средним значениям коммутационных функций) снижает стоимости потоков. Это связано не только с увеличением срока дисконтирования, но и с уменьшением числа застрахованных лиц.

Выше во всех случаях предполагалось, что базовые затраты на медицинские услуги не изменяются во времени (G = const). Такое допущение существенно упрощает расчеты, но, увы, далеко от реальности. В связи со сказанным расчеты с постоянной величиной базовых затрат можно рассматривать как основу lля более глубокого анализа.

 

Рассмотрим три теоретически возможных варианта определения нетто-премии: единовременный взнос, пожизненные выплаты, премии и, наконец, выплаты в течение ограниченного срока.

Единовременный взнос премии, очевидно, возможен для любого срока медицинского страхования. Этот вариант в связи с его высокой стоимостью не применяется на практике, однако он необходим в методических целях. Размер единовременной нетто-премии Р_х по определению равен современной стоимости соответствующей последовательности (потока) выплат: и т. д.

Таким образом, факторы, влияющие на стоимость выплат, полностью определяют и размер самой премии. Так, в примере 10.1 единовременная премия при пожизненном страховании 40-летнего мужчины равна , при страховании на 20 лет и т. д.

Перейдем к обсуждению вопроса о последовательных пожизненных взносах. Основной для долгосрочного медицинского страхования является схема, согласно которой взносы и выплаты производятся параллельно во времени. Напомним, что взносы представляют собой некоторую регулярную последовательность, а выплаты осуществляются лишь по мере возникновения страховых случаев. В силу принципа эквивалентности обязательств участвующих сторон получим следующее общее выражение, уравнивающее взносы и страховые выплаты при немедленном пожизненном страховании:

(10.16)

где Р_х — годовая сумма нетто-премии;

А_х — современная стоимость немедленных пожизненных страховых выплат;

а_х — стоимость годового пожизненного аннуитета постнумерандо.

Формула (10.16) конкретизируется в соответствии с условиями осуществления взносов и методом определения современной стоимости выплат. Возможны следующие варианты взносов: пожизненные и ограниченные во времени, пренумерандо и постнумерандо, ежегодные и m раз в год, немедленные и отложенные. В свою очередь, выплаты могут быть пожизненными и ограниченными, немедленными и отложенными. Период, в течение которого производятся взносы, может быть равен сроку страхования или меньше него.

На основе равенства, аналогичного (10.16), которое описывает финансовую эквивалентность обязательств сторон, можно получить ряд вариантов рабочих формул для расчета нетто - премий. В первую очередь рассмотрим наиболее распространенные случаи при условии, что вероятности остаться в числе застрахованных определяются по таблице выбытия (групповое страхование).

Начнем с определения премии при групповом пожизненном страховании. Предположим, что взносы производятся ежегодно пренумерандо, а выплаты — в возрасте х + 0,5 года. Исходное равенство имеет вид , откуда следует:

(10.17)

Если взносы не годовые, а ежемесячные, то

(10.18)

Аналогичным образом находим формулы для расчета нетто-премий и для других комбинаций условий взносов и страховых выплат. При выводе формул применим соотношения, получен­ные для стоимости постоянных страховых аннуитетов (табл. 3.4 в гл. 3) и стоимости потока затрат на медицинские услуги. Огра­ничимся двумя примерами конструирования формул.

Страхование групповое, ограниченное годами, взносы ежегодные пренумерандо, выплаты в возрасте х + 0,5 года. Исходное равенство имеет вид

Откуда

(10.19)

Если взносы ежемесячные, то

(10.20)

С увеличением возраста начала страхования размеры премии растут, достигая некоторого максимума. Их возрастание связано с ускоренным повышением затрат на лечение. Максимум в зависимости от условий страхования приходится на возраст 70—74 года (мужчины) и 68—70 лет (женщины). Уменьшение затрат после точки максимума объясняется резким сокращением числа застрахованных (увеличение смертности сопровождается усиливающимся влиянием фактора солидарности застрахованных) при постоянном уровне затрат на лечение в старшем возрасте, как это было принято при разработке соответствующих таблиц.

Во всех рассмотренных вариантах расчета премии предусматривалось постоянство базового уровня затрат, что, разумеется, удобно, но в значительной степени не отвечает реальному положению дел. Под влиянием множества причин он так или иначе повышается. Наиболее простым способом учета его роста является непосредственное включение в выражение для размера относительных затрат ожидаемого темпа их роста, постоянною в течение всего срока страхования или в отдельные периоды. Пусть темп роста затрат равен . Тогда

.

 

Относительные затраты с поправкой на рост базового уровня для последовательно изменяющегося возраста на момент заключения договора составят:

Возраст	Последовательности относительных затрат с учетом роста базового уровня
х   х+1   х+2

Неудобство такого метода учета динамики затрат состоит в том, что для каждого возраста заключения договора приходится применять свои коммутационные функции.

Один из возможных способов учета роста базового уровня во времени заключается в использовании в расчетах вместо одного, общего для всех лет страхования, показателя базовых затрат прогнозируемых рядов этих показателей.

Пусть базовые затраты представляют собой монотонно растущий ряд G_O, G₁, G₂ и т.д. Это могут быть величины, полученные по простой линейной или экспоненциальной модели, или результаты прогноза. Тогда современная стоимость потока затрат для застрахованных в возрасте 18 лет составит

где G_O — базовая величина затрат для начального возраста.

В итоге для страхования в возрасте х лет вместо формулы (10.7) получим

(10.21)

Данную формулу можно модифицировать с помощью коммутационной функции Q_x (см. § 5.4). В этом случае

(10.22)

Как видим, использовать для упрощения расчетов коммутационную функцию U_x не удается.

Применение формулы (10.21) или ее вариантов позволяет определить величину постоянного размера премии для всего срока страхования. Однако экономические условия изменяются весьма быстро, а иногда, как мы знаем из собственного опыта, и довольно неожиданно. В силу сказанного прогнозы уровня затрат на продолжительные сроки не имеют большой надежности, хотя как-то решают проблему.

Без прогнозирования базовых затрат на первый взгляд можно обойтись, ежегодно определяя уровень премии с помощью формулы (10.21) и в итоге получая монотонно растущий ряд премий. Однако нельзя упускать из виду, что уже в конце первого года страхования образуется некоторый резерв, так как в первое время премия заметно превышает затраты на лечение при любом начальном возрасте страхования. Применение данного метода приведет в итоге к существенному завышению размеров премий (нарушение принципа эквивалентности обязательств). Поэтому при последовательном их вычислении следует принимать во внимание уже накопленные резервы. Методика, основанная на таком подходе, рассматривается в следующей главе.

Резерв в личном страховании

Важнейшим фактором, обеспечивающим надежность страховой организации, является размер резерва как для отдельных застрахованных, так и в целом по всем полисам.

Под резервом в страховой науке понимают современную стоимость "чистых" обязательств страховой организации. Сумму резерва можно определить двумя методами — прямым, или проспективным (prospective), и обратным, или ретроспективным (retrospective). Оба они дают одинаковые результаты. Согласно прямому методу резерв равен современной стоимости выплат, которые обязан осуществить страховщик, за вычетом современной стоимости ожидаемых взносов страхователя. В соответствии с обратным методом резерв равен разности накопленных взносов и накопленной стоимости страхования. Поскольку в большинстве ситуаций прямой метод менее сложен для выполнения, остановимся именно на нем.

Что касается термина "резерв" (reserve), то необходимо сделать небольшое отступление. Трактуемый как чистые обязательства страховщика, он является узкопрофессиональным и уже более века закреплен в отечественном и западном страховании. Резерв в указанном выше смысле означает обязательства, своего рода пассив, а не реальные накопления (активы). Это главное, на что следует здесь обратить внимание.

Резерв — важный аналитический показатель: для того чтобы обязательства перед страхователями были выполнены, ему должны соответствовать некоторые активы, равные размеру резерва или превышающие его. Формирование таких активов является обязательной, нормальной функцией страховщика.

Вместе с тем в экономической, да и в других областях применяется иное, более широкое понимание данного термина: это некоторый запас, накопления или фонд, денежный или вещественный, предназначенный для покрытия расходов и иных потребностей в непредвиденных или чрезвычайных ситуациях (например, продовольственный резерв, резерв главного командования, валютные резервы банка и т. д.). Иначе говоря, такие резервы не являются обязательствами.

Как видим, в понимании обсуждаемого термина существует кардинальное различие в страховой науке и практической деятельности. Резерв как некоторый запас или актив фигурирует во всех отечественных нормативных документах, относящихся к страховой деятельности, в том числе к пенсионному страхованию. В то же время актуариям в нашей стране нельзя отказываться от профессионального значения этого термина.

Возникла в некотором роде тупиковая ситуация. Чтобы устранить указанное смешение понятий, назовем математическим резервом или, кратко, резервом величину, получаемую согласно приведенному выше актуарному определению. В свою очередь, под страховым резервом будем понимать активы, предназначенные для выполнения обязательств страховщика как в пенсионном, так и в медицинском страховании.

Перейдем к общей методике расчета математического резерва. Его можно определить на любой момент действия страхового контракта. Рассмотрим величину резерва в начале действия договора, до первой выплаты премии. В случае когда предусматриваются ежегодные пожизненные взносы пренумерандо в размере Р, получим непосредственно по определению:

, (11.1)

где — размер резерва для застрахованного в возрасте х лет;

А_х — современная стоимость страховых обязательств;

— стоимость пожизненного аннуитета пренумерандо.

Если резерв определяется для тех же условий, но на момент t после начала страхования, то

. (11.2)

Приведенное выше общее определение резерва уточняется применительно к различным условиям и используемым схемам страхования. Удобнее всего показать, как конкретизируется общий подход в расчете величины резерва при страховании на дожитие.

Если в этом виде страхования предусматривается только единовременная премия, то резерв равен актуарной стоимости страхования:

(11.3)

где - величина резерва (в расчете на 1 руб. страховой суммы) на начало страхования;

- стоимость страхования на дожитие до возраста х + п лет для лица в возрасте х лет.

Величину резерва можно определить на любой момент действия страхового контракта. Найдем ее для возраста х + t лет:

(11.4)

Нетрудно убедиться в том, что современная стоимость обязательств в данном виде страхования увеличивается во времени, так как по мере роста t знаменатель в приведенной выше формуле уменьшается.

В пенсионном страховании оговаривается необходимость ведения персональных счетов застрахованных. Как будет показано ниже, средства, накопленные на персональном счете отдельного застрахованного, не идентичны математическому резерву. Необходимо отчетливо представлять себе различие между этими понятиями. В иллюстративных целях проследим, как изменяются во времени сумма на условном, или воображаемом (при страховании на дожитие такие счета не ведутся), персональном счете застрахованного и резерв .

На сумму единовременного взноса наращиваются проценты за соответствующий срок. Соответственно на счете участника в момент t находится сумма

. (11.5)

Что касается резерва, то согласно выражению (11.3) на этот же момент он составит . Заметим, что , так как . Следовательно, для t > 0 имеем . Иначе говоря, наращенная сумма на персональном счете застрахованного меньше резерва на один и тот же момент, за исключением начального.

Из соотношений (11.4) и (11.5) следует, что

, (11.6)

где — вероятность дожития лица в возрасте х лет до возраста х + t лет.

Чем ближе момент оценки резерва ко времени погашения обязательства, тем больше разность между суммой на персональном счете и резервом. Если в начальный момент резерв и премия одинаковы, то в конце срока страхования он равен единице.

Важно понять причину расхождения между полученными выше показателями. Дело в том, что резерв увеличивается не только в результате накопления процентов (на персональном счете), но и в силу солидарной ответственности застрахованных, т. е. за счет тех участников, которые не дожили до возраста х+ t лет. Из сказанного следует, что общий размер резерва для доживших до возраста х + t лет равен сумме средств на персональных счетах всех участников — доживших и не доживших до этого возраста.

Интересно выделить аналитическим путем влияние факторов на размер резерва. Для этого найдем отношение размерен резерва для двух первых лет накопления при страховании на дожитие:

,

где р_х — вероятность прожить один год после возраста х лет.

Аналогично определим динамику резерва за t лет:

. (11.7)

Из сказанного выше следует, что размеры резерва можно рассчитывать и последовательно:

. (11.8)

Таким образом, на динамику резерва в данном виде страхования влияют два фактора — вероятности дожития и процентная ставка. Рост ставки увеличивает резерв, повышение вероятностей дожития сокращает его. Причем резерв увеличивается быстрее, чем происходит наращение за счет процентов, так как при i > 0.

Определенный интерес представляет разложение резерва на слагаемые. Напомним, что . Используя соотношение (11.7), находим

Поскольку , то после некоторых преобразований получим

Первое слагаемое в этой формуле характеризует единовременный взнос премии с процентами, начисленными к моменту t, второе — сумму, поступающую в пользу застрахованного при перераспределении средств застрахованных, не доживших до указанного возраста.