Задачи для контрольной работы

 

Даны функция и точка М. Найти:

а) градиент данной функции в точке М;

б) производную этой функции в точке по направлению вектора , где точка - начало координат.

1. . 14.

2. . 15.

3. . 16.

4. . 17.

5. 18.

6. 19.

7. 20.

8. 21.

9. 22.

10. 23.

11. 24.

12. 25.

13.

 

2.5.Экстремумы функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения.

2.5.1. Экстремумы функций двух переменных.

Говорят, что функция достигает максимума (минимума) в точке , если ее значение в указанной точке является наибольшим (наименьшим) по сравнению со значениями из некоторой окрестности точки . Если функция непрерывна в некоторой области и обладает в всеми непрерывными частными производными до второго порядка включительно (эти условия выполнены для всякой элементарной функции двух переменных в ее области определения), то поиск экстремумов (максимумов и минимумов) может быть осуществлен по такому алгоритму:

а) найти и ;

б) найти точки, в которых одновременно и (критические точки);

в) вычислив в каждой найденной критической точке () частные производные второго порядка

,

выяснить знак выражения .

Если , то в данной критической точке () функция достигает экстремума: в случае имеется минимум, в случае - максимум.

Если , то в данной критической точке экстремума нет.

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Имеем элементарную функцию, определенную при любых действительных значениях переменных и . В соответствии с изложенным алгоритмом

а) Найдем частные производные , .

б) Найдем критические точки (точки, подозрительные на экстремум), из системы уравнений

, которая в нашем случае имеет вид

или

Из первого уравнения системы = , следовательно

Второе уравнение системы преобразуется к виду

, откуда , .

Подставляя найденные значения поочерёдно в первое уравнение системы, получим , .

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки и .

в) Найдем вторые частные производные данной функции:

 

Имеем в точке :

Значит = в точке , а тогда в этой точке экстремума нет.

Далее, в точке :

Следовательно, =27>0, так что в этой точке имеется экстремум. Поскольку , то в точке данная функция достигает минимума. Определяем минимальное значение функции :

 

Ответ: .

2.5.2. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области D. Всякая непрерывная функция достигает в такой области D своего наибольшего и наименьшего значения. В частности, для элементарных функций может быть использован следующий алгоритм нахождения этих значений.

а) Найти частные производные и данной функции и определить критические точки, т.е. точки, в которых

;

при этом рассмотреть лишь те из них, которые расположены внутри области D.

б) Вычислить значения данной функции в этих точках.

в) Определить наибольшее и наименьшее значения функции на каждом участке границы области D. При этом, выражая переменную у или переменную х из уравнения соответствующего участка границы, будем всякий раз иметь функцию одной переменной на некотором отрезке. Исследование такой функции на наибольшее и наименьшее значение – знакомая задача (см. п. 1.5.1).

г) Среди значений, найденных в п. б) и в) выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D, ограниченной линиями , , .

Решение. Данная элементарная функция определена при любых действительных значениях переменных и . Область , ограниченная указанными линиями, изображена на рисунке .

а) Найдем частные производные данной функции

, и определим критические точки:

Преобразуем систему к виду

или ,

Откуда и, следовательно, .

Итак, данная функция имеет единственную стационарную точку , которая, очевидно, принадлежит области . При этом

.

б) Исследуем поведение функции на границе области .

На участке границы имеем функцию одной переменной , . Тогда и , если , откуда .

Итак, нахождению подлежит значение функции в точке , принадлежащей границе области :

На участке границы имеем функцию одной переменной , . Тогда и при . В точке , принадлежащей границе области , имеем

Из уравнения прямой (участка границы) выразим переменную через и подставим в заданную функцию. Получим, что при

или , .

Далее, и , если , откуда . Тогда

В точке , принадлежащей границе области , имеем

Остается вычислить значения данной функции в концевых точках участков границы (в угловых точках области ) и выбор наибольшего и наименьшего:

,

,

.

Сравнивая эти значения, находим, что наибольшее из них равно 6 и достигается в точках , , а наименьшее значение равно -1 и достигается в точке .

Ответ: достигается в точках и , достигается в точке .