Неявная функция двух переменных.

Уравнением задается зависимость переменной z от переменных x и y. Если эта зависимость - функциональная, то имеет смысл ставить вопрос о вычислении частных производных и .

Имеют место соотношения

, .

Пример. Неявная функция двух переменных задана уравнением . Найти и .

Решение. Имеем . Найдем частные производные , , .

Теперь , .

Задачи для контрольной работы

Найти производную функции , заданной неявно уравнением.

1. . 14. .

2. . 15. .

3. . 16. .

4. . 17. .

5. . 18. .

6. . 19. .

7. . 20. .

8. . 21. .

9. . 22. .

10. . 23. .

11. . 24. .

12. . 25. .

13. .

 

2.3. Уравнение касательной плоскости и нормали.

2.3.1. Касательная плоскость к поверхности в точке , где

, имеет уравнение

.

2.3.2. Нормаль к поверхности в точке , где , есть перпендикуляр в точке касания . Она имеет уравнение

.

Пример. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке с координатами .

Решение. Нам даны абсцисса и ордината точки касания, найдем аппликату этой точки: . Для составления искомых уравнений потребуются значения частных производных в точке касания

Теперь подставляем найденные значения в уравнение касательной плоскости:

или .

Запишем также уравнение нормали: .

Задачи для контрольной работы

Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке

1. . 14.

2. . 15.

3. . 16.

4. 17.

5. 18.

6. 19.

7. 20.

8. 21.

9. 22.

10. 23.

11. 24.

12. 25.

13.

 

Градиент и производная по направлению

2.4.1. Производная по направлению.

Рассмотрим вектор , соединяющий точки и координатной плоскости. Предел вида

естественно рассматривать как скорость изменения функции в точке в направлении вектора. Этот предел называется производной функции в точке по направлению .

Производную по направлению можно вычислить следующим образом:

= ,

где направляющие косинусы вектора .

2.4.2. Градиент. Вектор, определяющий направление наискорейшего возрастания функции в точке , называется градиентом функции в этой точке и обозначается Градиент имеет следующие координаты:

, }.

Пример. Даны функция и точка . Найти:

а) градиент данной функции в точке М;

б) производную этой функции в точке по направлению вектора , где точка - начало координат.

Решение. Преобразуем данную функцию к виду и найдем ее частные производные в точке М:

,

.

Теперь определяем градиент данной функции в точке

.

Для нахождения производной данной функции в точке М в направлении вектора найдем координаты вектора , его модуль и его направляющие косинусы

, .

Теперь подставляя в формулу для производной по направлению найденные величины и ранее вычисленные значения частных производных в точке М, имеем

.

Ответ: ,