Предел функции одной переменной

 

1.1.1. Понятие предела – одно из основных в математическом анализе. Не приводя строгих определений, объясним смысл указанного понятия. Пусть дана функция и значения аргумента х неограниченно приближаются к значению , но не совпадают с (что будем записывать в виде ). Если при этом оказывается, что значения становятся сколь угодно близкими к некоторому числу А, то говорят, А есть предел функции в точке и записывают

.

В случае, когда значения аргумента х неограниченно растут по модулю, оставаясь при этом положительными (отрицательными), мы записываем (). Если не принципиально, какого знака значения аргумента х, то употребляем символ Запись означает, что значения становятся сколь угодно близкими к числу А при Говорят также, что число А есть предел функции на бесконечности.

Если в (любом из трех рассмотренных случаев) А= 0, то функция называется бесконечно малой.

Возможен также случай, когда значения функции неограниченно растут (к или - ) при стремлении аргумента х к некоторому или к бесконечности. В этих случаях записывают соответственно

и ,

а функцию называют бесконечно большой (при и соответственно).

Следует заметить, что если функция - бесконечно большая (бесконечно малая), то функция бесконечно малая (бесконечно большая).

Если рассмотреть, в частности, функцию натурального аргумента (последовательность) , то к ней применимо определение предела на бесконечности; используют запись

.

1.1.2. Всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения . Это означает возможность перехода к пределу под знаком функции во всякой точке : .

Этим свойством пользуются при вычислении пределов. Кроме того, при выполнении арифметических операций над функциями соответствующие операции выполняются и над их пределами.

1.1.3. Неопределенностями (при или ) называются такие выражения (под знаком предела), которые при формальной подстановке вместо аргумента х предельного значения ( или ) принимают вид , и др.

1.1.4. Приемы вычисления пределов. Вычисление пределов рациональных или иррациональных дробей на бесконечности может быть произведено путем одновременного деления числителя и знаменателя на старшую степень аргумента, чем достигается переход от бесконечно больших к бесконечно малым. Продемонстрируем прием на следующем примере.

Пример. Вычислить .

Решение. Имеем бесконечно большие в числителе и знаменателе дроби; следовательно, выполняем одновременное деление на старшую степень аргумента, т.е. на

=

Теперь имеем бесконечно малую в знаменателе дробь и функцию, стремящуюся к в числителе, т.е. дробь оказывается бесконечно большой. Ответ записываем в виде

.

Пример. Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, т.е. на и сократим числитель и знаменатель на общий множитель х, (который при не равен нулю). В результате имеем

 

так что искомый предел равен 0,5.

1.1.5. Замечательные пределы.

1) При отношение представляет собою неопределенность вида . Можно доказать, что .

2) При показательно-степенное выражение вида представляет собою неопределенность вида . Можно доказать, что соответствующий предел существует и равен некоторому иррациональному числу е =2,7…: .

Рассмотренные пределы называются, соответственно, первым и вторым замечательными пределами. Второй замечательный предел может быть также записан в равносильной форме

.

Пример. Вычислить a) , б) , в) .

Решение. а) Имеем неопределенность вида . Заметим, что при (см. первый замечательный предел) отношение (вместе с ) стремится к единице. При вычислении предела отношения можно снова воспользоваться первым замечательным пределом, если положить и заметить, что при . Остается выполнить преобразование

=

и закончить вычисление:

=3

б) Имеем «комбинированную» неопределенность вида . Если выделить в скобках в качестве слагаемого число 1, то станет возможным использование второго замечательного предела:

= .

Теперь при , поэтому в показателе степени удобно выделить выражение вида , т.е. :

= .

Теперь, пользуясь свойством непрерывности показательно-степенной функции, перейдем по-отдельности к пределу в основании и показателе степени:

(второй замечательный предел при ),

Имеем .

в) Непосредственная подстановка значения приводит к неопределенному выражению вида . Снова используем прием выделения слагаемого, равного 1:

=