Квадратні рівняння з від’ємними дискримінантами

Відомо, що корені квадратного рівняння

(1)

знаходяться за формулами

 

(2)

де вираз називають дискримінантом.

При D >0 корені квадратного рівняння дійсні і різні;

при D =0 корені дійсні і рівні;

при D <0 говорять. що дійсні корені не існують, а існують, так звані, комплексні корені.

Приклад. Знайти корені квадратного рівняння

.

За формулами (2) маємо:

.

Серед дійсних чисел вираз не має смислу, тобто не є дійсним числом. Запишемо формально: .

Символ прийнято позначати буквою і, тобто:

, а

його називають уявною одиницею.

Тепер корені рівняння запишуться:

.

Перевірка. Для маємо:

.

Аналогічно робиться перевірка для .

Отже, для квадратного рівняння існують два корені і , які не є дійсними, вони відносяться до комплексних чисел.

 

Приклади для самостійного розв’язання

Розв’язати квадратні рівняння:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

 

Алгебраїчна форма к.ч.

В алгебраїчній формі к.ч.мають вигляд , де дійсні числа; число називається дійсною, а – уявною частиною к.ч.; позначення: ; символ формально визначається рівністю і називається уявною одиницею.

Два к.ч. називаються рівними, якщо відповідно рівні їх дійсні та уявні частини.

Основні операції над к.ч. в алгебраїчній формі введені в §§4.4,4.5,4.6.

Надалі домовимось вирази і т.п. вважати к.ч., записаними в алгебраїчній формі, отже, і т.п. набуватимуть тільки дійсних значеннь.

Нехай дано число . Якщо , то дійсне число: ; якщо , то називається чисто уявним числом: .

Приклад. Розв’язати рівняння ; де дійсні числа.

Розв¢язання. З рівності к.ч. випливає: . Розв’язуючи цю систему, одержимо .

 

Спряжені к.ч.

 

Числа і називаються спряженими. Таким чином, якщо і – спряжені числа, то і .

Очевидно, якщо дійсне число, то ; якщо – чисто уявне число, то . Навпаки, якщо і , то відповідно і - дійсне і чисто уявне числа.

Приклади.

1) Якщо , то .

2) Безпосередньо перевіряється тотожність .

 

Модуль к.ч.

 

Модулем числа називається невід’ємне число .

Модуль дійсного числа дорівнює його абсолютній величині. Справді, якщо , то .

Приклади.

1) .

2)

3) .

4) Показати, що модулі спряжених чисел рівні.

Розв¢язання. Досить обчислити модулі спряжених чисел

 

Додавання і віднімання к.ч.

 

Приклади

1. .

2. .

Обчислити самостійно

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. .

8. . 9. . 10. .

 

Множення к.ч.

 

Множення к.ч. виконуємо згідно правила (вважаючи, що ):

Приклади.

.

Правильна тотожність Дійсно,

 

Спростити самостійно

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. .

 

Ділення к.ч.

 

Ділення к.ч. виконується згідно правила (при умові ):

Приклади.

1)

2)

3) Розв’язати рівняння

Розв’язання. Відповідь: .

Перевірка:

 

Спростити самостійно вирази

1. 2. 3. .

Відповіді. 1. . 2. . 3. .