Потеря устойчивости плоской фермы изгиба тонкой полосы и двутавровой балки

 

Если тонкая и высокая балка прямоугольного сечения изгибается в главной плоскости с наибольшей жесткостью, то плоская форма изгиба за критическими нагрузками становится неустойчивой и происходит выпучивание балки.

Рассмотрим тонкую высокую балку, загруженную посредине пролета силой Р

 

а) в) y y₁

Z U

P

 

Z h M_1(X)

M_X V

d b

l/2 l/2 x₁

b

 

 

б)

 

 

P

 

В самый начальный момент потери устойчивости некоторое сечение на расстоянии Z от левой опоры повернулось на малый угол b, т.е. его новая ось у₁ наклонена к вертикали под этим углом. Горизонтальное смещение средней линии сечения = U, вертикальное = V.

Т.е. в момент потери устойчивости, наряду с вертикальным изгибом, появляется изгиб балки в боковом направлении, а также ее кручение.

Определим дополнительную потенциальную энергию накапливаемую полосой в момент потери устойчивости, учитывая боковой изгиб и кручение полосы.

Момент, изгибающий полосу в боковом направлении

учитывая, что угол b бесконечно мал sin b = b

Потенциальная энергия, накапливаемая в результате бокового изгиба

,

где J_у - момент инерции сечения относительно оси У.

 

Учитывая, что сила приложена посредине длины балки, возьмем интеграл на половине ее длины и результат удвоим

(1)

 

Определим потенциальную энергию, накапливаемую в полосе за счет ее кручения

,

или

,

отсюда

.

Потенциальная энергия в элементе бесконечно малой длины

,

 

.

Умножим это выражение и разделим на dz

.

Потенциальная энергия в полосе кручения

или

(2)

 

Полная потенциальная энергия внутренних сил, накапливаемая полосой после потери устойчивости

(3)

 

 

Определим работу внешних сил в момент потери устойчивости полосой

 

 

P

Ввиду малости перемещений, работа внешних

P d сил при повороте сечения = 0

 

 

Работа Р на перемещении d равна

А = Р×d,

без коэффициента 1/2 т.к. в момент потери устойчивости сила имеет свою постоянную величину.

Перемещение d определим оп интегралу Мора:

 

,

где М_у - момент, вызывающий боковой изгиб силой Р: ;

- то же единичной силой: .

 

Тогда:

или:

(4)

 

Приравнивая потенциальную энергию внутренних сил работе внешних сил:

или

(5)

 

Задаемся выражением для углов закручивания сечений, удовлетворяющих граничным условиям задачи:

, ;

 

1) при z = 0 b = 0

2) при z = l b = 0

Вычислив интегралы:

 

(6)

 

 

Точное решение

 

Для двутаврового сечения:

(7)

 

 

где b - коэффициент, определяемый по таблицам справочников.