Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

 

Пусть z _с, у_с – центральные оси сечений, – моменты инерции сечения относительно этих осей. Определим моменты инерции сечения относительно новых осей z₁, у₁, параллельных центральным осям и смещенных относительно них на расстояния a и d. Пусть dA – элементарная площадка в окрестности точки М с координатами y и z в центральной системе координат. Из рис. 4.3 видно, что координаты точки С в новой системе координат будут равны , .

Определим момент инерции сечения относительно оси у ₁:

_.

Рис.4.3

zc

yc

z1

y1

d

a

C

Очевидно, что первый интеграл дает , второй – , так как исходная система координат – центральная, а третий – площадь сечения А.

Таким образом,

. (4.10)

Аналогично

, (4.11)

. (4.12)

 

Изменение моментов инерции сечения

При повороте осей

 

Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей y, z и моментами инерции относительно осей y₁, z₁, повернутых на угол a. Пусть J_y > J_z и положительный угол a отсчитывается от оси y против часовой стрелки. Пусть координаты точки М до поворота – y, z, после поворота – y₁, z₁ (рис. 4.4).

Из рисунка следует:

; .

Теперь определим моменты инерции относительно осей y₁ и z₁:

 

,

или

Рис. 4.4

M

z

z1

y1

y

a

y

y1

z1

z

. (4.13)

Аналогично:

. (4.14)

 

(4.15)

Сложив почленно уравнения (4.13) и (4.14), получим:

,

т.е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей остается постоянной и не изменяется при повороте системы координат.

 

 

Главные оси инерции и главные моменты инерции

 

С изменением угла поворота осей a каждая из величин и меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое значение

a = a ₀, при котором моменты инерции достигают экстремальных значений, т.е. один из них достигает своего максимального значения, а другой – минимального. Для нахождения значения a ₀ возьмем первую производную от (или ) и приравняем ее нулю:

,

или ,

откуда

. (4.16)

Покажем, что относительно полученных осей центробежный момент инерции равен нулю. Для этого приравняем правую часть уравнения (4.15) нулю: , откуда, т.е. получили ту же формулу для a ₀.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Обозначим главные оси через y₀ и z₀. Тогда

;

; (4.17)

.

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения.

 

Моменты инерции простых сечений

Прямоугольник

 

Определим момент инерции сечения относительно оси y₀, проходящей через центр тяжести прямоугольника высотой h и шириной b параллельно основанию (рис. 4.5). Выделим из прямоугольника линиями, параллельными оси y, элементарную полоску высотой dz и шириной b. Площадь этой полоски dA=b×dz, расстояние от полоски до оси y равно z. Подставим эти величины в выражение момента инерции относительно оси y (4.6):

Рис. 4.5   Рис.4.3

y

z

z

dz

h

b

C

_.

. (4.18)

Аналогично, получим:

. (4.19)

Очевидно, что , .

 

 

Треугольник

 

Рис. 4.6

b

h

dz1

z1

y1

z1

b1

Определим момент инерции треугольника относительно оси у₁, проходящей через основание (рис. 4.6)

.

Элементарная площадка . Из подобия треугольников получаем:

,

где b – основание треугольника; h – его высота.

Таким образом,

.

Расстояние от основания треугольника до центра тяжести равно , поэтому, используя правила переноса, находим момент инерции относительно центральной оси у, параллельной основанию

.

 

Круг

 

Определим сначала полярный момент инерции относительно центра круга (рис. 4.7). За dA примем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dr, расположенного на расстоянии r от центра круга dA = 2prdr.

Тогда

Рис. 4.7

r

dr

R

z

y

(4.20)

Теперь определим осевые моменты инерции. Очевидно, что в силу симметрии ; но .

Откуда . (4.21)

 

Кольцо

 

Рис. 4.8

r

dr

R

r

z

y

Определим моменты инерции кольца, у которого R – наружный радиус, r – внутренний радиус (рис. 4.8). Интегрируя полученное ранее выражение для полярного момента инерции в пределах от r до R, получим

.

 

Это выражение может быть представлено в виде

, (4.22)

где .

Соответственно

. (4.23)

Момент инерции сечения сложной формы относительно некоторой оси равен сумме моментов инерций его составных частей относительно той же оси:

, (4.24)

что непосредственно следует из свойств определенного интеграла.

Таким образом, для вычисления момента инерции сложной фигуры надо разбить ее на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур, а затем просуммировать их.

Нашей промышленностью выпускаются стандартные прокатные профили (двутавр, швеллер, уголок равнобокий, уголок неравнобокий), которые могут быть использованы как готовые элементы конструкций (балки, стойки, элементы ферм и т.д.). Размеры прокатных профилей стандартизированы и сведены в таблицы сортаментов прокатной стали, которые приводятся в приложениях почти всех учебников и сборников задач по сопротивлению материалов. В этих таблицах приводятся все размеры сечений и основные геометрические характеристики прокатных профилей в соответствии с их номером.

 

Вопросы для самопроверки

 

1. По каким формулам определяют осевые, центробежный и полярный моменты инерции? Каковы их размерности?

2. Какие оси называют главными? Сколько главных осей может иметь плоская фигура?

3. Какие оси называют главными центральными? Сколько таких осей может иметь плоская фигура в общем случае?

4. Для каких фигур можно без вычислений установить положение главных центральных осей?

5. Какова зависимость между осевыми моментами инерции при параллельном переносе осей?

6. Какой из двух моментов инерции квадрата больше: относительно центральной оси, параллельной стороне квадрата, или относительно оси, совпадающей с диагональю?

7. Как определить момент инерции сложной фигуры, если ее можно разбить на простые части, для которых моменты инерции известны?

8. Какие моменты инерции всегда положительны?