Для решения разнообразных задач, возникающих на практике, используются различные виды средних

ЗАМЕЧАНИЕ: средние величины могут быть исчислены

как простые,

так и как взвешенные, т.е. с учётом повторяемости

СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ

Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы ОБЩИЙ ИТОГ всех значений признака был распределен РАВНОМЕРНО между всеми единицами совокупности.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений:

Простая средняя арифметическая применяется в случаях несгруппированных данных.

Если данные представлены в виде БЕЗЫНТЕРВАЛЬНЫХ РЯДОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ или группировок, то средняя арифметическая исчисляется по формуле:

Полученная формула называется средней арифметической взвешенной.

Из нее видно, что средняя зависит не только от значений признака, но и от их частот (повторяемости или ВЕСОВ), т.е. от состава совокупности, от ее структуры.

Если статистический материал представлен в виде ИНТЕРВАЛЬНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ рядов с закрытыми или открытыми интервалами, то средняя арифметическая определяется также по формуле средней взвешенной: .

НО В ДАННОМ СЛУЧАЕ ЗА ПРИНИМАЕТСЯ СЕРЕДИНА ИНТЕРВАЛА (ИЛИ ГРУППОВАЯ СРЕДНЯЯ), – ЧИСЛО ЗНАЧЕНИЙ ПОКАЗАТЕЛЯ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ ДАННОМУ ИНТЕРВАЛУ, – ОБЪЁМ ВЫБОРКИ (ЧИСЛО НАБЛЮДЕНИЙ).

СРЕДНЯЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ

Средняя гармоническая величина – это величина обратная средней арифметической из обратных значений признака.

Формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:

Формула для расчета средней гармонической взвешенной:

Средняя гармоническая может использоваться для расчета средней производительности труда, средней скорости движения тела.

СРЕДНЯЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ

Чаще всего средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин.

Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака.

Средняя геометрическая простая определяется по формуле:

Для определения средней геометрической взвешенной применяется формула:

СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ

Основной сферой ее применения в статистике является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднеквадратического отклонения).

Формулы для вычисления средней квадратической

простой:

взвешенной:

ЗАМЕЧАНИЕ.

При расчете различных степенных средних по одним и тем же данным статистического наблюдения средние не будут одинаковы (свойство мажорантности средних):

 

СРЕДНЯЯ ХРОНОЛОГИЧЕСКАЯ применяется для оценки среднего уровня ряда динамики. При наличии информации на моменты времени с РАВНЫМИ ИНТЕРВАЛАМИ между ними используется средняя хронологическая простая:

,

где n – число моментов (дат)

СРЕДНЯЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ используется при определении среднего показателя за длительный период времени, например, средней численности населения

 

 

СТРУКТУРНЫЕ СРЕДНИЕ

Для характеристики ВНУТРЕННЕГО СТРОЕНИЯ РЯДОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ пользуются СТРУКТУРНЫМИ СРЕДНИМИ, которые представлены, в основном, МОДОЙ И МЕДИАНОЙ.

МОДА. Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые можно назвать структурными сред­ними. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности.

Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.

Например, если совокупность состоит из значений: 2,4,5,4,5,3,2,4,5,5,5,4,4,3,3,2,3,4, то мода равна 4, поскольку значение варианты, равное 4, повторяется чаще других: 6 раз.

Для ДИСКРЕТНЫХ РЯДОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ модой будет значение варианты с наибольшей частотой. Дискретные ряды могут быть безмодальными, одномодальными, двумодальными и многомодальными.

Для ИНТЕРВАЛЬНЫХ РЯДОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С РАВНЫМИ ИНТЕРВАЛАМИ мода определяется по формуле:

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина (ширина) модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

При этом МОДАЛЬНЫМ ИНТЕРВАЛОМ называется интервал с НАИБОЛЬШЕЙ ЧАСТОТОЙ.

МЕДИАНА - это варианта, расположенная в середине упорядоченного вариационного ряда.

Если РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫЙ и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного (РАНЖИРОВАННОГО) ряда.

Например.

1) Имеется ранжированный вариационный ряд:

X= {5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9,9,9,9,9,9, 10}. Число вариант чётное.

Медиана будет равна среднему арифметическому восьмого и девятого значений признака:

2) Имеется ранжированный вариационный ряд: Y= {1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7}. Число вариант нечётное.

Медиана будет равна значению варианта, находящегося в середине ряда:

Медиана ИНТЕРВАЛЬНОГО ВАРИАЦИОННОГО РЯДА распределения определяется по формуле

где — начальное значение интервала, содержащего медиану;

— величина медианного интервала;

— сумма частот ряда;

— сумма (кумулята) накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

— частота медианного интервала.

МЕДИАННЫМ является интервал, в пределах которого расположена варианта, которая делит совокупность на две равные части

ДОПОЛНЕНИЕ. В системе структурных показателей в качестве показателей последовательного распределения частот используют квантили или градиенты.

Некоторые квантили имеет особые наименования: квартили, квинтили, децили и перцентили.

Различают порядковые статистики, отсекающие четверти совокупности, которые называются квартили; в первую или нижнюю (отсекающие четверть совокупности снизу), третью или верхнюю (отсекающие четверть сверху). Вторая квартиль является медианой. Далее можно говорить об отсекающих десятые части — децилях и т.д.

На основе распределения населения на равные по численности группы (квантили) и определения величины или доли доходов в каждой группе рассчитывается показатели доходов и дифференциации доходов населения.

РЕЗЮМЕ

1) ЕСЛИ МОЙ СОСЕД БЬЕТ СВОЮ ЖЕНУ ЕЖЕДНЕВНО, А Я НЕ БЬЮ ЕЕ НИКОГДА, ТО В СВЕТЕ СТАТИСТИКИ МЫ ОБА БЬЕМ ЕЕ ЧЕРЕЗ ДЕНЬ. (ДЖОРДЖ БЕРНАРД ШОУ О СТАТИСТИКЕ)

2) ЕСЛИ ТЫ ИМЕЕШЬ КАСТРЮЛЮ С КИПЯТКОМ, А ТВОЙ СОСЕД КУРИЦУ, ТО В СРЕДНЕМ У ВАС КУРИНЫЙ СУП. (АВТОР НЕИЗВЕСТЕН)

2.3 ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Первой особенностью статистики как науки является то, что ис­следуются не отдельные факты, а массовые явления и процессы, выступающие как множества отдельных фактов, обладающих как индивидуальными, так и общими признака­ми.

Единицы совокупности наряду с общими для всех еди­ниц признаками, обусловливающими качественную определенность сово­купности, обладают индивидуальными особенностями и различиями, от­личающими их друг от друга, т. е. существует вариация признаков.

Именно наличие вариации предопределяет необходимость стати­стики. Вариация признака отражается статистическим распределением.

Понятие и виды вариации

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака.

Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

СРЕДНЯЯ ВЕЛИЧИНА — это абстрактная, обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности, но она не показывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя величина не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредоточены ли они вблизи или значительно отклоняются от нее. В некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от нее отличаются. В таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность. В других, наоборот, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней, и средняя плохо представляет всю совокупность.

Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.

Термин «вариация» произошел от латинского VARIATIO –«изменение, колеблемость, различие». Однако не всякие различия принято называть вариацией. Под вариацией в статистике понимают количественные изменения величины исследуемого признака только в пределах однородной совокупности. Они обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов.

Различают вариацию признака: случайную и систематическую.

ВАРИАЦИЯ, ПОРОЖДАЕМАЯ СУЩЕСТВЕННЫМИ ФАКТОРАМИ, носит систематический характер, т.е. наблюдается последовательное изменение вариантов признака в определенном направлении. Такая вариация НАЗЫВАЕТСЯ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ.

ВАРИАЦИЯ, ОБУСЛОВЛЕННАЯ СЛУЧАЙНЫМИ ФАКТОРАМИ, НАЗЫВАЕТСЯ СЛУЧАЙНОЙ ВАРИАЦИЕЙ. Здесь не наблюдается систематического изменения вариантов зависимого признака от случайных факторов; все изменения носят хаотический характер, поскольку нет устойчивой связи этих факторов с единицами изучаемой совокупности.

Вариация зависимого признака, образовавшаяся под действием всех без исключения влияющих на него факторов, называется общей вариацией.

Следовательно, ОБЩАЯ ВАРИАЦИЯ СЛАГАЕТСЯ ИЗ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ И СЛУЧАЙНОЙ ВАРИАЦИИ.

СТЕПЕНЬ БЛИЗОСТИ ДАННЫХ ОТДЕЛЬНЫХ ЕДИНИЦ К СРЕДНЕЙ ИЗМЕРЯЕТСЯ РЯДОМ АБСОЛЮТНЫХ, СРЕДНИХ И ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ.