Численное решение нелинейных ДУ

Рассмотрим на основе НДУ 1-ого порядка

Численное решение позволяет в какой-либо момент времени найти выходное значение по значению входного процесса в этот момент и выходной в предыдущий момент.

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAaXHH88YA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPS2vDMBCE74X8B7GF3hrZhZTgRAmhD8ihzzSB9La1 NraJtTLSxnH/fVUo9DjMzDfMfDm4VvUUYuPZQD7OQBGX3jZcGdh+PF5PQUVBtth6JgPfFGG5GF3M sbD+zO/Ub6RSCcKxQAO1SFdoHcuaHMax74iTd/DBoSQZKm0DnhPctfomy261w4bTQo0d3dVUHjcn Z6Ddx/D0lclnf189y9urPu0e8hdjri6H1QyU0CD/4b/22hqYTHP4PZOOgF78AAAA//8DAFBLAQIt ABQABgAIAAAAIQDw94q7/QAAAOIBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10u eG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADHdX2HSAAAAjwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALgEAAF9yZWxzLy5y ZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABAAAAAAAAAAAAAAAAAAKQIAAGRycy9zaGFw ZXhtbC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAaXHH88YAAADcAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACYAgAAZHJz L2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9QAAAIsDAAAAAA== " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">

t

t

t0

y

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAFkrB8McA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPX0vDQBDE3wW/w7GCb/ZSoVJir0X8Az6obWML+rbN bZNgbi/cbdP47T2h0MdhZn7DzBaDa1VPITaeDYxHGSji0tuGKwObz5ebKagoyBZbz2TglyIs5pcX M8ytP/Ka+kIqlSAcczRQi3S51rGsyWEc+Y44eXsfHEqSodI24DHBXatvs+xOO2w4LdTY0WNN5U9x cAbarxjedpl890/Vu6yW+rB9Hn8Yc301PNyDEhrkHD61X62ByXQC/2fSEdDzPwAAAP//AwBQSwEC LQAUAAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNd LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8u cmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hh cGV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhABZKwfDHAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRy cy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACMAwAAAAA= " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">

y(t) – точное решение

– прямое решение

Численное решение основано на использовании разложения в ряд Тейлора.

Ограничимся 2 первыми членами. Обозначим t₀=t_k-1, t=t_k, t-t₀=∆t – интервал дискретизации.

– выражение для расчета прямым методом Эйлера

Рассмотрим обратный метод Эйлера t₀=t_k, t=t_k-1

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAk5NXLccA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPQUvDQBSE74X+h+UJvbWbChUbuy1SLXhQW9sKentm n0kw+zbsvqbx37uC4HGYmW+Yxap3jeooxNqzgekkA0VceFtzaeB42IyvQUVBtth4JgPfFGG1HA4W mFt/5hfq9lKqBOGYo4FKpM21jkVFDuPEt8TJ+/TBoSQZSm0DnhPcNfoyy660w5rTQoUtrSsqvvYn Z6B5i+HxI5P37q58kt1Wn17vp8/GjC762xtQQr38h//aD9bAbD6D3zPpCOjlDwAAAP//AwBQSwEC LQAUAAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNd LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8u cmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hh cGV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAJOTVy3HAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRy cy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACMAwAAAAA= " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">

t

tk

tk-1

y

y(t)

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAL1U7osYA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPT0sDMRTE74LfITyhN5u0hyJr0yK1BQ/WP1VBb8/N 6+7i5mVJXrfrt28KgsdhZn7DzJeDb1VPMTWBLUzGBhRxGVzDlYX3t831DagkyA7bwGThlxIsF5cX cyxcOPIr9TupVIZwKtBCLdIVWqeyJo9pHDri7O1D9ChZxkq7iMcM962eGjPTHhvOCzV2tKqp/Nkd vIX2M8XHbyNf/X21lZdnffhYT56sHV0Nd7eghAb5D/+1H5yFmZnC+Uw+AnpxAgAA//8DAFBLAQIt ABQABgAIAAAAIQDw94q7/QAAAOIBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10u eG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADHdX2HSAAAAjwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALgEAAF9yZWxzLy5y ZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABAAAAAAAAAAAAAAAAAAKQIAAGRycy9zaGFw ZXhtbC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAL1U7osYAAADcAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACYAgAAZHJz L2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9QAAAIsDAAAAAA== " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">

Решение по обратному методу

– обратный метод Эйлера

Недостатком вычисления по обратному методу Эйлера является неявная зависимость y_k от x_k и y_k-1.

Можно уменьшить ошибку вычисления, если усреднить решение по прямому и обратному методам Эйлера.

– метод трапеций.

Метод Рунге-Кутта 2-ого порядка:

Более высокую точность имеет метод Рунге-Кутта порядка выше второго.

Метод Рунге-Кутта 4-ого порядка:

t

tk

tk-1

y

tk-1+∆t/2

Метод Рунге-Кутта 4-ого порядка – уточнение угла наклона экстраполирующей прямой – производится по расчету в промежуточной точке в середине интервала ∆t.

 

g(t)

y(t)

x(t)

Линейная система

Расчет выходного процесса линейной системы с использованием интеграла свертки

Перейдем к дискретному времени: t=n∆t

∆t

2∆t

(i-1)∆t

i∆t

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA2Ne1iMMA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPTUvDQBC9F/wPywje2k1EisRug1gFD1rbqqC3MTsm odnZsDtN03/vHoQeH+97UY6uUwOF2Ho2kM8yUMSVty3XBj7en6a3oKIgW+w8k4ETRSiXF5MFFtYf eUvDTmqVQjgWaKAR6QutY9WQwzjzPXHifn1wKAmGWtuAxxTuOn2dZXPtsOXU0GBPDw1V+93BGei+ Ynj5yeR7WNWvsnnTh8/HfG3M1eV4fwdKaJSz+N/9bA3Mb9LadCYdAb38AwAA//8DAFBLAQItABQA BgAIAAAAIQDw94q7/QAAAOIBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1s UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADHdX2HSAAAAjwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALgEAAF9yZWxzLy5yZWxz UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABAAAAAAAAAAAAAAAAAAKQIAAGRycy9zaGFwZXht bC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEA2Ne1iMMAAADcAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACYAgAAZHJzL2Rv d25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9QAAAIgDAAAAAA== " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">

n∆t

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAt5sQE8cA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPQUvDQBSE74X+h+UVvLWbihQbuy2lKnhQW9sKentm n0kw+zbsvqbx37uC4HGYmW+Yxap3jeooxNqzgekkA0VceFtzaeB4uB9fg4qCbLHxTAa+KcJqORws MLf+zC/U7aVUCcIxRwOVSJtrHYuKHMaJb4mT9+mDQ0kylNoGPCe4a/Rlls20w5rTQoUtbSoqvvYn Z6B5i+HxI5P37rZ8kt1Wn17vps/GXIz69Q0ooV7+w3/tB2tgdjWH3zPpCOjlDwAAAP//AwBQSwEC LQAUAAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNd LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8u cmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hh cGV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALebEBPHAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRy cy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACMAwAAAAA= " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">

t

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAPOYUv8cA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPX0vDQBDE3wt+h2OFvrWXFiwSey3iH/ChrTW2oG9r bk2Cub1wt03jt/cEwcdhZn7DLNeDa1VPITaeDcymGSji0tuGKwOH18fJNagoyBZbz2TgmyKsVxej JebWn/mF+kIqlSAcczRQi3S51rGsyWGc+o44eZ8+OJQkQ6VtwHOCu1bPs2yhHTacFmrs6K6m8qs4 OQPtWwybj0ze+/tqK/tnfTo+zHbGjC+H2xtQQoP8h//aT9bA4moOv2fSEdCrHwAAAP//AwBQSwEC LQAUAAYACAAAACEA8PeKu/0AAADiAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNd LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAx3V9h0gAAAI8BAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC4BAABfcmVscy8u cmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQAzLwWeQQAAADkAAAAQAAAAAAAAAAAAAAAAACkCAABkcnMvc2hh cGV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADzmFL/HAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmAIAAGRy cy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPUAAACMAwAAAAA= " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">

(i+1)∆t

Используем ступенчатую аппроксимацию входного процесса:

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAjbHYAcYA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPT2vCQBTE74V+h+UVeqsbewgluoqohR76T1vB3l6z zySYfRt2nzH99t1CweMwM79hpvPBtaqnEBvPBsajDBRx6W3DlYHPj8e7B1BRkC22nsnAD0WYz66v plhYf+YN9VupVIJwLNBALdIVWseyJodx5Dvi5B18cChJhkrbgOcEd62+z7JcO2w4LdTY0bKm8rg9 OQPtPobn70y++lX1Iu9v+rRbj1+Nub0ZFhNQQoNcwv/tJ2sgz3P4O5OOgJ79AgAA//8DAFBLAQIt ABQABgAIAAAAIQDw94q7/QAAAOIBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10u eG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADHdX2HSAAAAjwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALgEAAF9yZWxzLy5y ZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABAAAAAAAAAAAAAAAAAAKQIAAGRycy9zaGFw ZXhtbC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAjbHYAcYAAADcAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACYAgAAZHJz L2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9QAAAIsDAAAAAA== " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">

τ

g(τ)

g(i∆t)

i∆t

(i+1)∆t

Таким образом, весовые коэффициенты представляют собой по смыслу площадь под импульсной характеристикой за интервал дискретизации ∆t.

Если ∆t мал, то можно использовать ступенчатую экстраполяцию импульсной характеристики g(τ).

Когда интервал дискретизации мал, то для уменьшения машинного времени можно перейти от большого количества слагаемых к рекуррентной формуле, которая позволяет найти выходной процесс через предыдущие значения выходного процесса.