Оценка законов распределения

Оценка законов распределения CВ производится по гистограмме распределения.

Гистограмма распределения – это столбиковая диаграмма показывающая вероятность попадания СВ в некоторую область:

1. Разбить весь интервал значений СВ на n подынтервалов (разрядов)

xmax

xi

xi-1

xmin

∆xi

x

Пусть k интервалов

2. Производится N испытаний в результате которых формируется массив из к значений.

3. Определяется количество испытаний n_i, в результате которых СВ попадает в i-й интервал.

4. Находятся оценки вероятности попаданий CВ в i-интервал.

x

0,2

0,1

0,2

0,3

0,4

0,6

0,8

Оценим плотность распределения СВ

Оценка функции распределения

x

0,2

0,4

0,6

0,8

x

0,2

0,5

0,4

0,6

0,8

 

Оценка близости законов распределения генерируемой СВ к требуемому закону распределения

Наиболее известными критериями являются:

1. χ² - Пирсона

2. Колмогорова

Оценка близости по критерию χ ² - Пирсона производится по величине взвешенной функции квадратичного отклонения плотности распределения СВ и ее оценки.

– теоретическое количество попаданий СВ в заданный интервал.

Пирсон доказал, что сумма из n случайных независимых величин, распределяется одинаково, имеет функцию распределения типа χ², которая зависит от числа степеней свободы k=n-s, где n–количество суммируемых величин (здесь – количество разрядов), s–количество независимых условий, накидываемых на n_i.

Например:

λx

1x

P(λ)

K=10

K=15

K=20

Далее определяется вероятность того, что мера отличия λ будет не меньше значения, определяемого случайным характером измерений.

По этой характеристике, для рассчитанного λ, находят значение P(λ). Если P(λ) достаточно большое (P(λ)>0,1), считают, что гипотеза о близости закона распределения может быть принята.

Критерий Колмогорова

ux

1x

F(u)

D

F(u)

Критерий требует сравнения не плотностей вероятности, а функции распределения.

D – максимальное отличие.

Колмогоров показал, что максимальное отличие (D) функции распределения и ее оценки имеет закон распределения не зависящий от закона распределения случайной величины u, и поэтому можно оценить близость закона распределения по максимальному D.

λx

1x

P(λ)

0,5

P(λ)

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA/nhSE8YA AADbAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPX0vDQBDE3wv9DscWfGsvFZE29lrEP9CHWrUq6Nua W5Ngbi/cbdP47b1CoY/DzPyGWax616iOQqw9G5hOMlDEhbc1lwbe3x7HM1BRkC02nsnAH0VYLYeD BebWH/iVup2UKkE45migEmlzrWNRkcM48S1x8n58cChJhlLbgIcEd42+zLJr7bDmtFBhS3cVFb+7 vTPQfMaw+c7kq7svn+TlWe8/HqZbYy5G/e0NKKFezuFTe20NzK/g+CX9AL38BwAA//8DAFBLAQIt ABQABgAIAAAAIQDw94q7/QAAAOIBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10u eG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADHdX2HSAAAAjwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALgEAAF9yZWxzLy5y ZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABAAAAAAAAAAAAAAAAAAKQIAAGRycy9zaGFw ZXhtbC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEA/nhSE8YAAADbAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACYAgAAZHJz L2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9QAAAIsDAAAAAA== " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">

1,5

Если P(λ)>0,1, то гипотеза о близости законов распределения может быть принята.

Эти критерии по-разному учитывают значимость распределений в центре и по краям. Если необходимо учитывать с большим весом отличия на краях используют χ² – Пирсона. Различие в центре распределения – критерий Колмогорова.