Упругие столкновения между заряженными частицами. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Упругие столкновения между заряженными частицами.



I. Элементарные процессы.

Основные понятия физики атомных столкновений.

Эффективное сечение.

Для характеристики вероятности столкновений частиц в газе служат такие величины, как длина свободного пробега, среднее время между соударениями, частота столкновений. Все они зависят как от свойств частицы, так и от плотности газа.

Мерой вероятности индивидуального акта определенного рода (скажем, упругого соударения, ионизации и т. д.) является соответствующее эффективное сечение. Это понятие вводится следующим образом. Представим себе, что на одну частицу-мишень налетает однородный в пространстве поток ударяющих частиц со скоростью относительно мишени [см/с] и плотностью [см-3]. Вообразим, далее, что выбитая со своего места или претерпевшая какое-либо изменение частица-мишень немедленно заменяется новой. Число ударов определенного рода, которое испытывает такая «неуязвимая» мишень в 1 с, -1] тем больше, чем больше проходит за это время частиц через 1 см2. Число соударений пропорционально именно плотности потока частиц в месте расположения мишени, а не полному потоку. В самом деле, если увеличить полный поток вдвое, но пропустить вторую партию значительно дальше от мишени, чем первую, число ударов практически не изменится. Коэффициент пропорциональности между и ,

[см2] (1.1)

имеющий размерность площади, называется эффективным сечением данного процесса или, для краткости, просто сечением. Сечение зависит от индивидуальных особенностей партнеров, законов их взаимодействия и скорости относительного движения .

Частота столкновений.

Число соударений определенного рода, которые данная частица (назовем ее 1) в среднем совершает в 1 с, двигаясь в газе из частиц-мишеней 2, называют частотой столкновений. Чтобы найти это число, представим себе, подобно предыдущему, что пучок частиц 1 со средней плотностью и скоростью налетает на газ из неподвижных частиц-мишеней со средней плотностью . В соответствии с (1.1) в 1 см3 в 1 с происходит актов соударений. Каждая из налетающих частиц 1 совершает в 1 с

(1.2)

ударов. Выражения (1.1) и (1.2) симметричны, поскольку частоты столкновений, испытываемых соударяющимися частицами, пропорциональны плотностям партнеров, а в остальном зависят от взаимной величины — скорости относительного движения. В общем случае формула (1.2) еще не решает поставленной задачи. Говоря о частоте столкновений, которые испытывает данная частица, подразумевают, что это — частица с определенной энергией или скоростью движения в системе координат, где покоятся не отдельные молекулы, а газ в целом. Поэтому выражение (1.2) нужно усреднить по скоростям частиц-мишеней, которые на самом деле совершают тепловое движение. Проще всего дело обстоит, когда речь идет о частоте столкновений электрона. Из-за малости массы электрона m даже при сравнимых энергиях его скорость гораздо больше скоростей тяжелых частиц, поэтому практически совпадает со скоростью электрона, и частота его столкновений есть

, (1.3)

где для общности опушены все индексы.

Длина свободного пробега.

Если частица движется в газе со скоростью и совершает в среднем столкновений в 1 с, то на пути 1 см она испытывает столкновений. Между столкновениями она проходит расстояние

, (1.4)

которое называют длиной свободного пробега (по отношению к какому-либо процессу). Соотношение (1.4) между длиной свободного пробега и сечением строго справедливо лишь для быстрых частиц, в частности электронов, когда нет вопроса об усреднении по скоростям частиц-мишеней.

Упругие столкновения.

При упругом столкновении с атомом электрон может отклониться от направления своей начальной скорости на разные углы . Вероятность рассеяния на угол , или дифференциальное сечение , где — элемент телесного угла, обычно сложным образом зависит от угла рассеяния. Чтобы выяснить, как сказывается угловое распределение на результирующем эффекте многих столкновений, решим главный вопрос, за который несут ответственность упругие столкновения: как быстро электрон растрачивает свою направленную скорость, свой импульс. Имея в виду, что электрон гораздо легче и гораздо быстрее движется, чем молекула, будем считать последние неподвижными. В результате рассеяния скорость электрона становится равной , а импульс меняется на . Скорость изменения импульса, обязанная упругим столкновениям, равняется векторной сумме по всем столкновениям, которые электрон совершает в единицу времени. Проводить такое суммирование точно было бы не реальным, поэтому подойдем к вопросу статистически. Усредним по всем столкновениям, т. е. по всевозможным углам рассеяния в одном акте, и умножим результат на число актов в единицу времени (на частоту столкновений ):

.

Чтобы произвести усреднение, разложим вектор на составляющие, параллельную и перпендикулярную направлению начальной скорости , которая фиксирована и усреднению не подлежит: . Отклонения вправо и влево на один и тот же угол равновероятны, т. е. . Как будет показано ниже, вследствие большого различия масс электрона и молекулы, электрон теряет при упругом соударении ничтожную долю своей энергии. Поэтому значение его скорости при рассеянии остается почти неизменным, и . Средний косинус угла рассеяния находится путем усреднения по телесному углу с учетом углового распределения рассеяния.

Введя величины

, , (2.1)

представим искомый результат в виде

. (2.2)

Величину называют транспортным сечением, а - эффективной частотой столкновений. О сечении и соответствующей длине пробега иногда говорят, как о диффузионных или для передачи импульса. Все влияние углового распределения рассеяния учитывается одним параметром - .

Если рассеяние изотропно (или симметрично) относительно плоскости , , , . Если электрон рассеивается преимущественно вперед, , и требуется много столкновений, чтобы электрон растратил свой начальный импульс. Если электрон рассеивается строго назад, , скорость потери импульса вдвое больше, чем при изотропном рассеянии. У большинства газов при энергиях электронов , характерных для разрядов, транспортные сечения на 1-10% меньше истинных, в области более высоких энергий — раза в полтора.

Упругие потери энергии. Эти потери хотя и малы, но во многих случаях играют важную роль, определяя скорость передачи энергии от электронов газу тяжелых частиц. Когда при рассеянии электрон теряет импульс , молекула такой же импульс приобретает. Если молекула вначале покоилась, вместе с импульсом она получит энергию , которую электрон теряет. Поступая так же, как и при вычислении , запишем скорость уменьшения энергии электрона за счет упругих потерь в виде

, .

Проведем усреднение с учетом того, что электрон теряет в одном акте только очень малую долю своей энергии:

, . (2.3)

В каждом соударении электрон теряет в среднем долю от своей энергии , а в каждом «эффективном» соударении долю . Величина эта очень мала, порядка 10-4. Чтобы отдать значительную часть своей энергии атомам, электрон должен совершить порядка 104 упругих столкновений. В этом кроется причина того, что температура электронов, которые фактически только и получают энергию от поля, сильно превышает температуру газа, а выравниваются температуры довольно медленно.

Ионизация.

Чтобы вырвать электрон из атома (молекулы), необходимо затратить энергию, равную энергии его связи в атоме. Эту величину называют потенциалом ионизации . Особый интерес для разрядных процессов представляют сечения, соответствующие небольшим превышениям энергии электрона над пороговым значением . В большинстве случаев очень энергичных электронов в газе бывает мало, и потому их роль в ионизации чаще всего невелика. Впрочем, встречаются ситуации (например, в катодном слое тлеющего разряда), когда электроны достигают энергий, значительно превышающих потенциал ионизации.

В некоторых условиях существенную роль играет ионизация возбужденных атомов, составляющая заключительный акт ступенчатой ионизации (сначала электроны возбуждают атомы, потом ионизуют). Энергетических выгод это не дает, суммарная энергия возбуждения и последующей ионизации все равно равна . Но оба акта могут совершать более медленные электроны, и сечения ионизации возбужденных атомов при небольшом превышении над порогом значительно больше, чем невозбужденных.

Диффузия электронов.

Ионизация.

СВЧ-пробой газа.

Удобнее всего анализировать закономерности пробоя на примере Heg-газа, так как сечение ионизации Hg метастабильными атомами He(23S) аномально велико. Частота ионизации газовой смеси электронами при этом фактически совпадает с частотой возбуждения атомов основного газа — гелия. Неупругих потерь как бы вовсе нет. Это обстоятельство является крайне благоприятным для опытной проверки ряда существенных положений теории. Самым трудным моментом для теории является учет неупругих потерь, для чего требуется привлечение кинетического уравнения, да и решение его при этом усложняется. В случае Heg-газа эта трудность отпадает. Поскольку неупругие потери вносят скорее количественные, чем качественные изменения в ход развития электронной лавины, анализировать закономерности пробоя удобнее всего на этом примере, что и будет сделано ниже.

Оценим пороговые поля для Heg-газа.

8.1. Низкие давления. В этом случае коэффициент диффузии велик и диффузионные потери электронов значительны. Для их компенсации требуется большая скорость ионизации, т. е. сильное поле. Но в сильном поле роль упругих потерь энергии электрона несущественна. Действительно, энергии электронов не превышают величины порядка энергии возбуждения атома гелия , так как при электрон с большой вероятностью совершает неупругое столкновение и теряет энергию. Упругая передача энергии атому при столкновении ограничена величиной . Приобретение энергии при столкновении согласно (7.3) пропорционально . В достаточно сильных полях, необходимых для компенсации больших диффузионных потерь, .

В отсутствие потерь электрон набирает энергию от поля со скоростью . Энергии он достигает за время . Поскольку за этим без промедления следуют акты возбуждения и пеннинговской ионизации, частота ионизации определяется просто временем :

. (8.1)

Здесь учтено, что при низких давлениях . В соответствии

Со стационарным критерием пробоя среднеквадратичное пробивающее поле

. (8.2)

При вычислении использованы выражения для коэффициента диффузии и длины пробега электрона. Пороговое поле пропорционально частоте и обратно пропорционально плотности (давлению) газа и размерам разрядного объема в полном согласии с опытом. Более того, если подставить в формулу сечение столкновений , соответствующее середине электронного спектра, получается неплохое количественное совпадение с данными эксперимента. Формула (8.2) правильно описывает асимптотические прямые на логарифмическом графике, к которым приближаются левые ветви зависимости при разных и .

8.2. Высокие давления. В этом случае диффузионные потери электронов незначительны и даже не слишком большая скорость ионизации обеспечивает пробой. На первый план выступают потери энергии, в случае Heg-газа — чисто упругие. Они и ограничивают частоту ионизации. Если рассуждать с позиции элементарной теории, электрон не может приобрести в данном поле энергию, которая превышает предел (7.5), диктуемый существованием упругих: потерь. В случае высоких давлений, когда ,

. (8.3)

Если эта энергия меньше , электрон не сможет возбуждать атомы гелия и лавина не разовьется. Следовательно, возможность пробоя определяется условием и пороговое поле вычисленное из этого равенства, есть

. (8.4)

Пороговое поле пропорционально и не зависит ни от размеров объема (в рамках данного приближения), ни от частоты, снова в качественном соответствии с опытом. Количественное согласие для Heg-газа также получается удовлетворительным. Порог не зависит от частоты, так как при переменное поле по своему действию на электроны не отличается от постоянного.

В грубом приближении положение минимума пороговой кривой можно установить на основании того условия, которое в какой-то мере разграничивает предельные случаи низких и высоких давлений, когда и соответственно. Это условие заключается в равенстве по порядку величины частот столкновений и поля: . При этом скорость приобретения энергии электроном от поля как функция давления проходит через максимум. Условия для пробоя, следовательно, наиболее благоприятны, и пороговое поле самое низкое. Частота, при которой порог минимален, пропорциональна давлению газа. Этот результат качественно подтверждается опытом. В СВЧ диапазоне газы легче всего пробиваются при .

I. Элементарные процессы.

Основные понятия физики атомных столкновений.

Эффективное сечение.

Для характеристики вероятности столкновений частиц в газе служат такие величины, как длина свободного пробега, среднее время между соударениями, частота столкновений. Все они зависят как от свойств частицы, так и от плотности газа.

Мерой вероятности индивидуального акта определенного рода (скажем, упругого соударения, ионизации и т. д.) является соответствующее эффективное сечение. Это понятие вводится следующим образом. Представим себе, что на одну частицу-мишень налетает однородный в пространстве поток ударяющих частиц со скоростью относительно мишени [см/с] и плотностью [см-3]. Вообразим, далее, что выбитая со своего места или претерпевшая какое-либо изменение частица-мишень немедленно заменяется новой. Число ударов определенного рода, которое испытывает такая «неуязвимая» мишень в 1 с, -1] тем больше, чем больше проходит за это время частиц через 1 см2. Число соударений пропорционально именно плотности потока частиц в месте расположения мишени, а не полному потоку. В самом деле, если увеличить полный поток вдвое, но пропустить вторую партию значительно дальше от мишени, чем первую, число ударов практически не изменится. Коэффициент пропорциональности между и ,

[см2] (1.1)

имеющий размерность площади, называется эффективным сечением данного процесса или, для краткости, просто сечением. Сечение зависит от индивидуальных особенностей партнеров, законов их взаимодействия и скорости относительного движения .

Частота столкновений.

Число соударений определенного рода, которые данная частица (назовем ее 1) в среднем совершает в 1 с, двигаясь в газе из частиц-мишеней 2, называют частотой столкновений. Чтобы найти это число, представим себе, подобно предыдущему, что пучок частиц 1 со средней плотностью и скоростью налетает на газ из неподвижных частиц-мишеней со средней плотностью . В соответствии с (1.1) в 1 см3 в 1 с происходит актов соударений. Каждая из налетающих частиц 1 совершает в 1 с

(1.2)

ударов. Выражения (1.1) и (1.2) симметричны, поскольку частоты столкновений, испытываемых соударяющимися частицами, пропорциональны плотностям партнеров, а в остальном зависят от взаимной величины — скорости относительного движения. В общем случае формула (1.2) еще не решает поставленной задачи. Говоря о частоте столкновений, которые испытывает данная частица, подразумевают, что это — частица с определенной энергией или скоростью движения в системе координат, где покоятся не отдельные молекулы, а газ в целом. Поэтому выражение (1.2) нужно усреднить по скоростям частиц-мишеней, которые на самом деле совершают тепловое движение. Проще всего дело обстоит, когда речь идет о частоте столкновений электрона. Из-за малости массы электрона m даже при сравнимых энергиях его скорость гораздо больше скоростей тяжелых частиц, поэтому практически совпадает со скоростью электрона, и частота его столкновений есть

, (1.3)

где для общности опушены все индексы.

Длина свободного пробега.

Если частица движется в газе со скоростью и совершает в среднем столкновений в 1 с, то на пути 1 см она испытывает столкновений. Между столкновениями она проходит расстояние

, (1.4)

которое называют длиной свободного пробега (по отношению к какому-либо процессу). Соотношение (1.4) между длиной свободного пробега и сечением строго справедливо лишь для быстрых частиц, в частности электронов, когда нет вопроса об усреднении по скоростям частиц-мишеней.

Упругие столкновения.

При упругом столкновении с атомом электрон может отклониться от направления своей начальной скорости на разные углы . Вероятность рассеяния на угол , или дифференциальное сечение , где — элемент телесного угла, обычно сложным образом зависит от угла рассеяния. Чтобы выяснить, как сказывается угловое распределение на результирующем эффекте многих столкновений, решим главный вопрос, за который несут ответственность упругие столкновения: как быстро электрон растрачивает свою направленную скорость, свой импульс. Имея в виду, что электрон гораздо легче и гораздо быстрее движется, чем молекула, будем считать последние неподвижными. В результате рассеяния скорость электрона становится равной , а импульс меняется на . Скорость изменения импульса, обязанная упругим столкновениям, равняется векторной сумме по всем столкновениям, которые электрон совершает в единицу времени. Проводить такое суммирование точно было бы не реальным, поэтому подойдем к вопросу статистически. Усредним по всем столкновениям, т. е. по всевозможным углам рассеяния в одном акте, и умножим результат на число актов в единицу времени (на частоту столкновений ):

.

Чтобы произвести усреднение, разложим вектор на составляющие, параллельную и перпендикулярную направлению начальной скорости , которая фиксирована и усреднению не подлежит: . Отклонения вправо и влево на один и тот же угол равновероятны, т. е. . Как будет показано ниже, вследствие большого различия масс электрона и молекулы, электрон теряет при упругом соударении ничтожную долю своей энергии. Поэтому значение его скорости при рассеянии остается почти неизменным, и . Средний косинус угла рассеяния находится путем усреднения по телесному углу с учетом углового распределения рассеяния.

Введя величины

, , (2.1)

представим искомый результат в виде

. (2.2)

Величину называют транспортным сечением, а - эффективной частотой столкновений. О сечении и соответствующей длине пробега иногда говорят, как о диффузионных или для передачи импульса. Все влияние углового распределения рассеяния учитывается одним параметром - .

Если рассеяние изотропно (или симметрично) относительно плоскости , , , . Если электрон рассеивается преимущественно вперед, , и требуется много столкновений, чтобы электрон растратил свой начальный импульс. Если электрон рассеивается строго назад, , скорость потери импульса вдвое больше, чем при изотропном рассеянии. У большинства газов при энергиях электронов , характерных для разрядов, транспортные сечения на 1-10% меньше истинных, в области более высоких энергий — раза в полтора.

Упругие потери энергии. Эти потери хотя и малы, но во многих случаях играют важную роль, определяя скорость передачи энергии от электронов газу тяжелых частиц. Когда при рассеянии электрон теряет импульс , молекула такой же импульс приобретает. Если молекула вначале покоилась, вместе с импульсом она получит энергию , которую электрон теряет. Поступая так же, как и при вычислении , запишем скорость уменьшения энергии электрона за счет упругих потерь в виде

, .

Проведем усреднение с учетом того, что электрон теряет в одном акте только очень малую долю своей энергии:

, . (2.3)

В каждом соударении электрон теряет в среднем долю от своей энергии , а в каждом «эффективном» соударении долю . Величина эта очень мала, порядка 10-4. Чтобы отдать значительную часть своей энергии атомам, электрон должен совершить порядка 104 упругих столкновений. В этом кроется причина того, что температура электронов, которые фактически только и получают энергию от поля, сильно превышает температуру газа, а выравниваются температуры довольно медленно.

Упругие столкновения между заряженными частицами.

Из всех сил взаимодействия между атомными частицами медленнее всего спадают с расстоянием (как ) кулоновские силы. Они обладают наибольшим дальнодействием. Это практически единственный вид взаимодействия, при котором столкновения с большими прицельными расстояниями, приводящие к рассеянию па малые углы, вносят главный вклад в потерю импульса частицы, причем интеграл транспортного сечения (2.1) формально оказывается бесконечным. Реальные транспортные сечения, которые, как мы увидим, конечны, во многих практически важных случаях оказываются гораздо больше газокинетических. Это значит, что еще при далеко не полной ионизации газа среди столкновений электрона с тяжелыми частицами на первый план выступают столкновения с имеющимися в небольшом количестве ионами.

Оценим дифференциальное сечение применительно к рассеянию электрона ионом при пролете электрона на большом прицельном расстоянии , когда угол рассеяния мал. В течение времени взаимодействия на электрон действует сила , которая сообщает ему поперечную направлению скорость . Угол отклонения связан с соотношением

, . (2.4)

Электрон рассеивается в интервал углов от до , когда попадает в кольцевую площадку с радиусами и . Дифференциальное сечение рассеяния равно

. (2.5)

Точное вычисление для любых комбинаций заряженных частиц приводит к известной формуле Резерфорда:

, (2.6)

где - угол рассеяния в системе центра масс. Для электрон-ионных столкновений на малые углы (, , ) оценка (2.5) меньше (2.6) в четыре раза.

Как мы сейчас увидим, основной вклад в транспортное сечение дают малые углы. Поэтому в общую формулу (2.1) для можно подставить угловую зависимость дифференциального сечения рассеяния (2.5), справедливую для малых углов, распространив интеграл до некоторого значения , до которого еще можно экстраполировать оценочное соотношение (2.5). Рассеянию на большие углы соответствует пролет электрона на расстояниях , меньших так называемого кулоновского радиуса . Ему отвечает примерное равенство кинетической и потенциальной энергий электрона. Точное определение кулоновского радиуса для общего случая соответствует рассеянию партнеров па угол 90° в системе центра масс. Заметив, что , и введя для расходящего со стороны малых углов интеграла условный предел , , найдем

. (2.7)

Масштабом сечения служит площадь кружка с кулоновским радиусом, что и естественно, но численно может оказаться сколь угодно большим из-за логарифмического множителя. Фактическим верхним пределом в интеграле (2.7) служит то расстояние, до которого простирается кулоновское поле данного заряда в плазме. Заряд своим полем поляризует окружающую плазму, от чего поле поляризации уничтожает поле данного заряда на расстояниях . Потенциал заряда с учетом экранировки соседями спадает уже не по кулоновскому закону , а как . Величина

(2.8)

называется дебаевским радиусом [Дебаевский радиус выводится из решения уравнения Пуассона для самосогласованного поля вокруг данного заряда, которое создается этим зарядом и его окружением При этом считается, что соседние заряды распределяются в самосогласованном поле по больцмановскому закону типа . Величина (2.8) соответствует неравновесной плазме, в которой , и плотность малоподвижных ионов с низкой температурой считается неизменной (). Если посчитать, что и , что, быть может, имеет смысл для равновесной плазмы с , то для получается величина, в раз меньшая (2.7).]. Подставив и заменив на , получим

(2.9)

Для разрядных условий . Таково примерное соотношение вкладов далеких и близких столкновений в транспортное сечение.

Для частиц со средней тепловой энергией кулоновское сечение равно

, (2.10)

где - боровский радиус, - потенциал ионизации атома водорода (постоянная Ридберга).

Применительно к электрон-ионным и электрон-электронным столкновениям под следует понимать температуру электронов . Например, при и , и . Это на два порядка больше обычных газокинетических сечений и максимальных сечений упругих столкновений электронов с атомами инертных газов.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-01-18; просмотров: 504; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.199.212.254 (0.188 с.)