Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Тема «Предел последовательности»Стр 1 из 3Следующая ⇒
Задача 1. Найти предел . Решение. Здесь неопределённость типа . Вынесем за скобки и в числителе, и в знаменателе, с целью сократить на этот множитель. = = Каждая из мелких дробей в числителе и знаменателе стремится к 0, поэтому получается сумма пределов в каждом случае, и тогда = . Ответ. . Задача 2. Найти предел . Решение. Здесь неопределённость типа . Вынесем за скобки и сократим самую старшую степень элемента , в прошлой задаче это была 2-я степень, а здесь 3-я. = = = . Ответ. . Задача 3. Найти предел . Решение. = = . Замечание. Если наоборот, в знаменателе была бы степень больше, чем в числителе, то ответ не 0 а . Ответ. 0. Задача 4. Найти предел . Решение. Здесь неопределённость типа . Чтобы свести к дроби, и сокращать как в прошлых примерах, надо сначала домножить на «сопряжённое» выражение, то есть такое где вместо разности сумма, это позволит использовать формулу сокращённого умножения . = = = . Теперь можно сократить на первую степень : = = = = = = 3. Ответ. 3. Задача 5. Найти предел . Решение. Сначала домножим на сопряжённое выражение, так как здесь есть разность, содержащая . = = . Нужно сокращать на . При этом в знаменателе два множителя, можно каждый из них разделить на , тем самым весь знаменатель разделится на . = = = = = = . Ответ. 1.
Задача 6. Найти предел . Решение. Здесь разности нет, так что можем сразу сократить на . В числителе при этом можно представить в виде . = = = = 2. Ответ. 2. Практика 16 Тема: Пределы функций. Задача 1. Найти предел . Решение. Так как переменная неграниченно возрастает, то тоже влияют её старшие степени и коэффициенты перед ними. Сократим дробь: = = = = . Ответ. . Задача 2. Найти предел . Решение. Аналогично тому, как в прошлом примере, сократим на старшую степень, здесь это . = = = = . Ответ. . Задача 3. Найти предел . Решение. В этом примере надо домножить и поделить на «сопряжённое» то есть на сумму, чтобы использовать формулу . = = здесь числитель равен 1, знаменатель неограниченно возрастает, поэтому получается выражение типа , предел равен 0. Ответ. 0. Замечание. Как мы видим, методы решения примеров для последовательности () и для функции при во многом очень похожи. В одном случае дискретно увеличивается к бесконечности, а в другом непрерывно, но всё равно и там, и здесь неограниченное возрастание..
Задача 4. Найти предел . Решение. В этом примере тоже надо домножить и поделить на «сопряжённое». = = теперь сократим на : В знаменателе можно представить в виде , чтобы упростить выражение в знаменателе: = = = = . Ответ. . Примеры, в которых . Задача 5. Найти предел . Решение. В этом случае стремится к числу, а не бесконечности. Получается неопределённость совсем другого типа: если в прошлых примерах было или , то здесь . Если просто подставить 1 в это выражение, получилось бы . Поэтому и нельзя просто подставить и вычислить значение, а нужно раскрывать неопределённость. Выделим множитель и в числителе, и в знаменателе, чтобы его сократить. = = = 2. Когда сократили, тогда уже можно просто подставить . Ответ. 2. Задача 6. Найти предел . Решение. Найдём корни многочленов в числителе и знаменателе, и разложим на множители. = = = . Сократили тот множитель, который отвечает за стремление к нулю, в числителе и знаменателе. Ответ. . Задача 7. Найти предел . Решение. Разложим на множители, как и в прошлой задаче. = = = . Нашли корни числителя и знаменателя, разложили на множители. Сократили тот множитель, который отвечает за стремление к нулю, в числителе и знаменателе. Ответ. .
(!) Обратите внимание, что в случае, когда в числителе таких множителей (стремящихся к 0) больше, чем в знаменателе, то происходит неполное сокращение, и в числителе остаётся одна из скобок, стремящихся к 0, то есть предел получается 0. Это будет видно на следующем примере. Задача 8. Найти предел . Решение. = = = . В числителе остался один не сокращённый множитель , остальные стремятся к константам, но уже не важно к каким, всё равно получится 0 из-за нуля в числителе. Ответ. 0.
Замечание. Наоборот, если бы такой множитель остался в знаменателе, то предел был бы равен . = . Задача 9. Найти предел . Решение. Во-первых, если просто подставить , видно неопределённость . Это означает, что является корнем, т.е. по крайней мере, хотя бы один множитель вида и в числителе, и в знаменателе найдётся. Это облегчает поиск корней, можно обойтись даже без дискриминанта, а просто найти второй дополняющий. Когда мы сократим все , можно будет просто подставить в оставшееся выражение.
= = = = = . Ответ. . Задача 10. Найти предел . Решение. Способ 1. Тот факт, что при подстановке и в числителе, и в знаменателе даёт значение 0, говорит о том, что множитель присутствует хотя бы один раз. Поэтому найти корни можно даже без дискриминанта. = = = = = . Способ 2. (Лопиталя). = = = = = . Ответ. . Задача 11. Найти предел . Решение. Воспользуемся формулой разности кубов: . = = = 27. Впрочем, можно сделать и методом Лопиталя: = = = 27. Ответ. 27. Задача 12. Найти предел . Решение. = = = = = 2. Замечание. Этот пример, как и многие из рассматриваемых, можно тоже для проверки решить вторым способом (Лопиталя). Ответ. 2. Задача 13. Найти предел . Решение. Здесь 3 степень в каждой части дроби, но зато мы точно знаем, что присутствует множитель ведь неопределённость . Это облегчает поиск корней многочленов 3-й степени: мы можем сначала поделить на и останутся многочлены 2-й степени, корни которых уже можно найти через дискриминант.
Итак, = Однако находя корни через дискриминант, обнаруживаем, что ещё раз выделяется множитель . В числителе , корни , т.е. и 1. В знаменателе , корни , т.е. и 9. Получается . Значит, просто эту скобку надо сократить 2 раза, но всё равно она ведь полностью сокращается. Получим = = = . Замечание. 2-й способ. По методу Лопиталя здесь тоже пришлось бы дифференцировать 2 раза, из-за наличия корня кратности 2. = . Здесь опять получается неопределённость , поэтому дальше: = = = = . Ответ. . Задача 14. Найти предел . Решение. Сразу вынесем за скобку общий множитель и в числителе, и в знаменателе, там все остальные коэффициенты ему кратны. Затем разложим на множители. = = = = = . Ответ. . Замечание. Если с самого начала не выносить старший коэффициент, то тогда надо не забыть домножить его потом, после разложения на множители. Ведь если просто записать разложение то это равно , а вовсе не .
Задача 15. Найти предел . Решение. В отличие от прошлой задачи, здесь и поэтому другой тип неопределённости, и применяется совершенно другой метод решения, несмотря на то, что функция та же самая. = = = . Ответ. . Замечание. Оба этих предела (в задачах 14 и 15) можно было найти по правилу Лопиталя. Если решать таким методом, то можно вообще не задумываться о том, надо ли выносить старший коэффициент. = = = . = = = . Задача 16. Найти предел . Решение. Домножим и разделим на сопряжённое к каждой разности. При этом соединим дугой те, которые в итоге сворачиваются в разность квадратов. Прочие множители, которые ни с чем не объединяются, вынесем в отдельную дробь, и даже в отдельный предел. Получается произведение пределов: В одном из них нет неопределённости, а во втором преобразуем так, чтобы сократить скобку . = = = = . Ответ. . Задача 17-А. Найти предел . Задача 17-Б. Найти предел . Решение. Сейчас на этом примере мы увидим, как может отличаться решение и ответ в зависимости от или . И в том, и в другой случае мы стараемся сократить дробь на множитель . Если положительно, то можно представить в виде . = = = = . А вот если отрицательно, то надо учесть, что это , оно положительно, то есть при верно . Поэтому
= = = . Ответы. 4 и .
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 290; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.201.37.128 (0.076 с.) |