Тема 8. Нелинейные цепи постоянного тока

При исследовании процессов образования тока в газе была получена вольтамперная характеристика (Рис.1).

I
	1 2			U

 

Рис.1

Как видно, в области слабых токов (участок 0 - 1) характеристика приближенно линейна, значит, здесь справедлив закон Ома. На участке 1 - 2 закон Ома нарушается, ток растет медленнее, чем напряжение. Наконец, на участке 2 - 3 ток не зависит от напряжения – это так называемый ток насыщения. Цепи с такими (нелинейными) вольтамперными характеристиками рассчитываются графо-аналитическим способом. Нелинейными называются электрические цепи, у которых вольтамперная характеристика имеет нелинейный характер. В электрических цепях встречается большой класс полупроводниковых и электронных приборов, называемых диодами. Единственной электрической характеристикой диода является его вольтамперная характеристика (ВАХ) - зависимость постоянного тока в диоде от постоянного напряжения на его зажимах (Рис. 2).

Рис. 2

При последовательном соединении нелинейных элементов (Рис.3)

строятся на одном графике вольтамперные характеристики элементов, заданные в таблицах или в виде графиков, например, кривые 1 и 2 (Рис. 4).

		НЭ1
	Е			НЭ2

 

Рис. 3

 

По оси ординат откладываются, как правило, ток, а по оси абсцисс - напряжение. По второму закону Кирхгофа записывается уравнение: Е = U 1 (I) +U 2 (I). Затем путем суммирования абсцисс (напряжений) строится вспомогательная кривая I(U ₁ +U ₂ ), точка пересечения этой кривой с вольтамперной характеристикой ЭДС является решением задачи, на оси ординат находим искомый ток I.

 

I
								I(U 1 +U 2 )
I
					Е				U

Рис.4

При параллельном соединении нелинейных элементов (Рис.5) задача решается аналогично, только суммируются не напряжения а токи.

			НЭ1		НЭ2
	Е		НЭ1

 

Рис.5

Уравнение по первому закону Кирхгофа имеет следующий вид:

I(U) = I 1 (U) + I 2 (U).

Сумма токов представлена на рис.6 пунктирной линией (3).

I						3
I
				Е					U

 

Рис. 6

Искомый ток I находим, опуская перпендикуляр на ось токов из точки пересечения вольтамперной характеристики ЭДС Е с кривой 3.

При смешанном соединении элементов (Рис.7) расчет выполняется поэтапно, сначала заменяют элементы, включенные параллельно (НЭ₂ и R), а затем последовательные (НЭ₁ и НЭ_{2 R} ).

 

		НЭ1	I1 →
	Е	U 1			НЭ2	R U 2

 

Рис. 7

Построим вспомогательную кривую (3), для этого просуммируем токи вольтамперных характеристик НЭ₂ (2) и R при одинаковых значениях напряжений U ₂, (Рис.8).

I, мА
				3
160
					R
80
							7	U, В

Рис. 8

Построим вторую вспомогательную кривую (4) суммируя напряжения U ₁(I ₁) +U ₂(I ₁) (Рис.9). Находим ток I ₁ на пересечение кривой 4 с вольтамперной характеристикой ЭДС.

I, мА
				3	4
I1
	1			Е				U, В

 

Рис.9

Пример 1. Нелинейный элемент и резистор R = 12 Ом включены последовательно с источником постоянного напряжения Е = 6 В (Рис.10), рассчитайте ток и напряжения на элементах. Вольтамперная характеристика нелинейного элемента приведена в таблице 1.

 

 

		R
	Е			НЭ

 

Рис. 10

Таблица 1

U, В
I, А		0,02	0,06	0,15	0,25	0,36	0,55	0,8

 

Алгоритм расчёта:

1. Построим на графике вольтамперную характеристику резистора по двум

А
0,8								R
0,6
0,4
0,2
								В

 

точкам: I_R = 0, U_R = 0 и U_R = 6 В, А;

1. Построим ВАХ для нелинейного элемента (табл.1):

А								НЭ
0,8
0,6
0,4
0,2
								В

 

1. По второму закону Кирхгофа записываем уравнение:

Е = U_R(I) +U_НЭ(I).

1. Построим вспомогательную кривую U_∑ = ƒ (I), для этого просуммируем напряжения U нэ и U_R при разных значениях тока.

 

А								НЭ
0,8								R
0,6
0,4								∑U
0,2
								В

 

5. Построим вольтамперную характеристику ЭДС (прямая параллельная оси токов). Точка пересечения вспомогательной кривой с ВАХ ЭДС является решением задачи. Искомый ток находим, опуская перпендикуляр на ось токов из точки пересечения кривой «∑U» с вольтамперной характеристикой ЭДС.

Ток равен I ≈ 0,2 А. Находим напряжения: U_R = IR = 0,2∙12 = 2,4 В; U_НЭ = 6 – 2,4 = 3,6 В.

 

А
0,8							Е	R
0,6
0,4								∑U
0,2
								В

Пример 2. Два нелинейных элемента вольтамперные характеристики которых приведены в табл. 2, соединены параллельно с ЭДС Е = 4,5 В (Рис.11). Рассчитайте общий ток I.

 

	I →		НЭ1		НЭ2
	Е		НЭ1

 

Рис.11

Таблица 2

U, В
I1, А		0,23	0,28	0,3	0.31	0,32	0,33
I2, А		0,02	0,03	0,04	0,1	0,3	-

Алгоритм расчёта:

1. Строим по табличным данным вольтамперные характеристики 1 и 2.

А
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
							В

 

2. Суммируя токи, получаем кривую (∑I) (пунктирная линия).

А
0,6						∑I
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
							В

 

3. Строим вольтамперную характеристику ЭДС Е = 4,5 В. Находим точку пересечения вспомогательной кривой с ЭДС, опуская перпендикуляр на ось токов, находим искомый ток: I = I₁(U)+I₂(U) ≈ 0,5 А.

А					Е
0,6						∑I
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
							В

 

Пример 3. По заданному напряжению U = Е = 4 В рассчитать ток в неразветвленной части цепи I ₁(Рис.12). Заданы вольтамперные характеристики нелинейных элементов и сопротивление линейного элемента R = 15 Ом.

 

 

		НЭ1	I 1→
						НЭ2
	Е	U 1		U 2	НЭ2	R

 

Рис. 12

Таблица 3

U, В
I 1, А		0,23	0,28	0,3	0.31	0,32	0,33
I 2, А		0,02	0,03	0,04	0,12	0,3	-

 

Алгоритм расчёта:

1. Построим вольтамперную характеристику для второго нелинейного элемента НЭ₂ (табл. 3).

А
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
								В

 

2. Построим вольтамперную характеристику для линейного элемента R по

двум точкам: I_R = 0, U_R = 0 и U_R = 3 В, = 0,2 А.

А
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1		R
								В

 

3.Построим вспомогательную кривую, суммируя токи НЭ₂ (2) с ВАХ резистора (R) получаем кривую «3»: I (U ₂) = I ₂(U ₂) + I_R (U ₂).

А
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1		R
								В

 

4. Построим вторую вспомогательную кривую (4) суммируя напряжения: U (I ₁) = U ₁(I ₁) +U ₂(I ₁),:

А
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
								В

 

4. Построим вольтамперную характеристику для ЭДС. Точка пересечения «а» кривой «4» с ЭДС Е = 4 В. Опускаем перпендикуляр из точки «а» на ось токов и находим искомый ток I₁ ≈ 0,2 А

 

А
0,5				Е
0,4
0,3
0,2				а
0,1		R
								В

 

Пример 5. В одноконтурной цепи (Рис.14) с ЭДС Е = 50 В, линейным элементом R = 500 Ом, и нелинейными элементами НЭ₁ И НЭ₂, вольтамперные характеристики которых приведены в табл. 5 рассчитайте ток I.

 

 

	I →	R		НЭ1
	Е					НЭ2

 

Рис. 14

Таблица 5

U, В				30 0
I 1, мА
I 2, мА

 

Алгоритм решения

 

1. Строим вольтамперную характеристику НЭ₁ по табличным данным, а вольтамперную характеристику резистора по точкам: I_R = 0, U_R = 0 и U_R = 20 В, = 0,04 А = 40 мА.

мА
50			R
				НЭ1
									В

2. Суммируем напряжения вольтамперных характеристик линейного элемента R и нелинейного НЭ₁, получаем вспомогательную кривую «1» (пунктирная линия).

мА
50			R
				НЭ1
									В

3. Строим вольтамперную характеристику НЭ2 (табл.5), суммируя напряжения ВАХ НЭ₂ с кривой «1», получаем вспомогательную кривую «2» (жирная линия), точка пересечения кривой «2» с Е = 50 В является решением задачи I ≈ 12 мА.

мА
						Е
								2
20						НЭ2
									В

Пример 6. Как распределится входное напряжение U _вх= Е = 40 В (Рис.15) на резисторах R ₁ = R ₂= 40 Ом и нелинейном элементе (табл.6)?

Таблица 6

U, В
I, А			1,5				2,5

 

			R1
			R2
	Е					НЭ

 

Рис. 15

1. Заменим два резистора одним: = 20 Ом.

2. Вольтамперную характеристику эквивалентного резистора R _экв строим по точкам: I_Rэкв = 0, U_Rэкв = 0 и U_Rэкв = 60 В, А.

 

А
4
								R экв
									В

 

 

3.Суммируем напряжения ВАХ резисторов Rэкв и нелинейного НЭ, получаем вспомогательную кривую «1»(пунктирная линия)