Тема 4. Расчет электрических цепей постоянного тока. Изучение законов Кирхгофа

В электрических схемах можно выделить характерные элементы: ветвь (в), узел (у). Ветвью называется совокупность элементов соединенных последовательно, по которым протекает один и тот же ток. Узел – это точка соединения трех или большего числа ветвей. Ветви, содержащие источники напряжения называются активными, не содержащие источников – пассивные. Узлы, образованные двумя ветвями называются ложными (точка «а» на рис.1).

		R 1			R 2
			а

 

Рис.1

Минимальное число ветвей образующих узел (б) равно трем (Рис.2).

						R 2
		R 5			б	R 4

 

Рис.2

Замкнутое соединение, в которое входят несколько ветвей называют контуром. Минимальное число ветвей образующих контур равно двум, например в схеме (Рис.3) три ветви, из них две - активные (Е ₁, R ₁ и Е ₂) и одна - пассивная (R ₃); два узла (обозначены жирными точкам) и два контура (I и II).

 

			R 1
	Е 1				Е 2			R 3

 

Рис.3

Первый закон Кирхгофа формулируется так: «Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю» (Σ I = 0); второй закон Кирхгофа - «Алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС» (Σ U = Σ Е). Расчет по законам Кирхгофа начинается с определения числа узлов, числа ветвей и количества необходимых уравнений.

По первому закону Кирхгофа количество необходимых уравнений равно числу узлов минус один: К ₁ = у −1. По второму закону Кирхгофа число уравнений равно числу ветвей минус число узлов плюс один: К ₂ = в − у +1. Например, для схемы (Рис.3) следует составить одно уравнение по первому закону Кирхгофа и два уравнения по второму закону Кирхгофа, так как у = 2 и в = 3. Для записи уравнений по законам Кирхгофа следует выбрать направления токов в ветвях и направление обхода контуров, которые выбираются произвольно (Рис.4), но удобнее с целью простоты расчета выбирать их так, чтобы число элементов, входящих в контур было минимальным, то есть выбирать контуры в виде маленьких «ячеек».

Уравнение по первому закону Кирхгофа, записанное для первого узла, имеет следующий вид: −I ₁ +I ₂ −I ₃ = 0.

При записи уравнения принимаем, что токи, направленные в узел (для которого записываем уравнение) считаются положительными, а токи от узла – отрицательными.

		R 1			R 2
↓ I 1			I 2↑			↓ I 3
				Е
		R 3		2	R 4

 

Рис.4

Уравнения по второму закону Кирхгофа:

R ₁ I ₁ +R ₃ I ₁ =Е; R ₂ I ₃ +R ₄ I ₃ =Е.

Направления падений напряжений (R ₁ ∙I ₁, R ₃ ∙I ₁) и ЭДС Е совпадают с направлением обхода первого контура, поэтому в уравнении они записываются со знаком «плюс», аналогично для второго контура. Если исследуемая схема содержит несколько источников энергии, то выбрать заранее положительные направления токов невозможно. Для такой схемы направления токов выбирают произвольно, и только расчет схемы покажет действительное направление токов.

+I ₁ −I ₂ +I ₃ = 0;

R ₁ I ₁ + R ₂ I ₂ = Е ₁;

R ₂ I ₂ + R ₃ I ₃ = Е ₂.

 

 

Пример 2. Запишите уравнения по законам Кирхгофа для схемы, изображенной на рис.5.

		←I 1	R 2			R 3	I 3→
					↑ I 2
		R 1			Е		R 4

 

Рис.5

 

Тема 5. Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник

Пассивные элементы в электрических цепях соединяются не только последовательно или параллельно, но и более сложно, во многих схемах можно выделить группы из трех элементов, образующих треугольник или звезду сопротивлений, например, обмотки генератора и их нагрузки могут быть соединены или звездой, или треугольником.

Контур, состоящий из трех сопротивлений Rав, Rвс, Rса, имеющий три узловые точки «а», «в» и «с» образуют треугольник сопротивлений (Рис.1).

 

а				Rав				в
			Rса					Rвс
с								с

 

Рис.1

Электрическая схема, состоящая из трех сопротивлений Rа, Rв и Rс, соединенных в одной узловой точке «о», образуют звезду сопротивлений (Рис.2).

 

		Rа				d	Rв
а									в
						Rс
						с

 

Рис.2

 

Расчет сложной цепи может быть заметно упрощен, если три сопротивления, соединенные треугольником (Рис.1) заменить тремя другими сопротивлениями, соединенных звездой (Рис.2) или наоборот, три сопротивления соединенных звездой (Рис.2) заменить треугольником сопротивлений (Рис.1).

Такая замена считается рациональной, если новая схема содержит сопротивления включенные только последовательно или параллельно. Поэтому после замены сопротивлений, не выполняя арифметических расчетов, следует перерисовать схему и проанализировать её. Если схема стала проще, то выполнить расчет новых сопротивлений по формулам преобразования.

Формулы преобразования треугольника сопротивлений Rав, Rвс, Rса в эквивалентную звезду Rа, Rв, Rс (∆→Y):

; ; .

Формулы преобразования звезды сопротивлений Rа, Rв, Rс в эквивалентный треугольник Rав, Rвс, Rса (Y→Δ):

; ; .

При расчетах схем следует иметь в виду, что на участках цепи, не затронутых преобразованием, режим работы не изменится, а в ветвях, в которых проводилось преобразование, меняется токораспределение. Поэтому не рекомендуется выполнять замены сопротивлений в ветвях, где должен быть определен ток или напряжение.

Пример 1. Рассчитайте ток в ветви с ЭДС, используя преобразование звезды R ₁, R ₂, R ₃в треугольник сопротивлений Rав, Rвс, Rса (Рис.3). Данные для расчета приведены в табл. 1.

 

	R 1		о	R 3
					R 2
а	R 4				в	R 5	с
↑ I						Е

 

 

Рис.3

 

 

Таблица 1

 

вариант	Е, В	R 1, Ом	R 2, Ом	R 3, Ом	R 4, Ом	R 5, Ом

 

 

Расчетные формулы:

 

; ; .

Вместо сопротивлений R ₁, R ₂, R ₃ появились сопротивления Rав, Rвс, Rса.

			Rса
	Rав				Rвс
а	R 4			в		R 5	с
	← I			Е

 

 

Рис.4

Сопротивления Rав и R ₄ соединены параллельно: .

Аналогично включены сопротивления Rвс и R ₅: .

			Rса
а	Rав4					Rвс5	с
↑ I				Е

 

 

Рис. 5

Сопротивления Rав₄ и Rвс₅ соединены последовательно: Rавс=Rав₄+Rвс₅

; .