Последовательная коррекция динамических свойств

Коррекция динамических свойств осуществляется с целью выполнения требований по устойчивости и качеству переходного процесса.

Осуществляется коррекция с помощью введения в САУ специальных корректирующих звеньев. Эти звенья могут включаться либо последовательно с основными звеньями САУ, либо параллельно им. Соответственно они и называются: последовательные либо параллельные корректирующие звенья.

Последовательные корректирующие звенья можно разделить на три типа: пропорционально-дифференцирующие (ПД), пропорционально-интегри-рующие (ПИ) и пропорционально-интегро-дифференцирующие (ПИД) звенья.

ПД-звено имеет передаточную функцию

W_ПД(p)

то есть выходная величина этого звена пропорциональна входной величине и ее первой производной.

Включение этого звена в САУ приводит к тому, что передаточная функция разомкнутого контура САУ

умножается на W_ПД(p), то есть принимает вид

W(p) W_ПД(p)

В результате характеристический полином замкнутой САУ D(р) будет следующий:

где

Положим, что В(р)=k (так как мы исследуем влияние ПД-звена, то логично предположить, что в исходной САУ такого звена не было, но тогда числитель передаточной функции исходной САУ содержит лишь величину k). Тогда можно видеть, что в характеристическом полиноме замкнутой САУ изменится коэффициент при р в первой степени. Включение двух ПД-звеньев приведет к изменению коэффициента и при и т.д. Изменение же этих коэффициентов изменяет условия устойчивости и качество переходного процесса.

Рассмотрим в качестве примера применение данного звена для стабилизации, то есть обеспечения устойчивости САУ с астатизмом выше первого порядка (порядок астатизма - это число интегрирующих звеньев в приведенной одноконтурной САУ).

Передаточную функцию разомкнутой САУ с порядком астатизма, равным r, можно представить в виде:

Соответственно характеристический полином замкнутой САУ будет:

D(р)=В(р)+ .

Если В(р)=k, то из последнего выражения следует вывод о том, что САУ с порядком астатизма r>1 являются структурно неустойчивыми, поскольку в D(р) отсутствуют члены с р в степени от единицы до (r-1) (по критерию устойчивости Гурвица).

Введем теперь в систему (r-1) ПД-звеньев. При этом в характеристическом полиноме появятся недостающие звенья:

Следовательно, САУ становится структурно устойчивой.

Влияние ПД-звена на качество переходного процесса продемонстрируем на примере последовательного соединения этого звена с апериодическим звеном с передаточной функцией

Передаточная функция последовательного соединения этих звеньев:

W₀(p)W_ПД(р)

Соответственно переходная функция

где - переходная функция апериодического звена.

Из последнего выражения видно, что отрицательное дополнительное воздействие по производной снижает быстродействие, а положительное, наоборот, повышает его. Например, при полностью компенсируется инерционность апериодического звена:

W₀(p)W_ПД(р)

Реальные ПД-звенья обладают инерционностью, то есть имеют следующую передаточную функцию:

W_ПД(р)

где Т_ПД

Все сказанное выше об идеальном ПД-звене справедливо и для реального с той только разницей, что реальное слабее влияет на быстродействие и на области устойчивости.

ЛАЧХ реального ПД-звена приведена на рис.4.10.

 

 

G(w)

 

 

+20 дБ/дек

 

 

Рис.4.10

ПД-звено является фильтром верхних частот, так как его ЛАЧХ растет с увеличением частоты. Поэтому введение этого звена в САУ расширяет ее полосу пропускания, повышает быстродействие.

Практически наиболее просто ПД-звенья реализуются в электрических системах постоянного тока, где они представляют собой пассивные RC- и RL- цепочки. Один из возможных вариантов представлен на рис.2.4.

Пример реализации ПД-звена на операционном усилителе приведен на рис.4.11.

С R₂ R₃

 

 

R₁

 

U_вх U_вых

 

 

 

Рис.4.11

 

Пропорционально-интегрирующее (ПИ) звено имеет передаточную функцию

W_ПИ(р)

В случае Т_ПИ=0 получаем идеальное ПИ-звено.

Последнее выражение можно представить так:

W_ПИ(р)

Таким образом, ПИ-звено эквивалентно последовательному соединению интегрирующего звена и ПД-звена. По своим частотным свойствам ПИ-звено противоположно ПД-звену, являясь фильтром нижних частот. ЛАЧХ ПИ-звена приведена на рис.4.12.

 

 

G(w)

 

 

-20 дБ/дек

 

-20 дБ/дек

 

 

0 lgw

Рис. 4.12

 

Передаточная функция пропорционально-интегро-дифференциру-ющего (ПИД) звена

Это звено эквивалентно последовательному соединению интегрирующего звена и пропорционально-дифференцирующего с воздействием по двум производным или, что то же самое, последовательному соединению ПИ-звена и ПД-звена с одной производной. Таким образом, ПИД-звено повышает порядок астатизма, как и ПИ-звено, но при этом одновременно дает более сильную коррекцию динамических свойств САУ.

Такое звено подчеркивает как нижние, так и средние частоты, подавляя средние, как видно из приближенной ЛАЧХ ПИД-звена, приведенной на рис.4.12.

G

 

 

-20 дБ/дек

 

+20 дБ/дек

 

0 lgw

Рис.4.12

 

В связи с видом ЛАЧХ ПИД-звеньями называют не только звенья с указанной выше передаточной функцией , но и любые другие звенья, ЛАЧХ которых имеет минимум на средних частотах и растет в сторону как низких, так и высоких частот.

Вообще указанные выше наименования типов последовательных корректирующих звеньев в значительной степени условны, прежде всего, из-за инерционности реальных корректирующих звеньев.

Наиболее просто синтез последовательного корректирующего устройства можно произвести по ЛАЧХ. Для этого необходимо использовать ЛАЧХ нескорректированной САУ G_{нескорр}(w) и желаемую ЛАЧХ, G_скорр(w) соответствующую заданному переходному процессу. ЛАЧХ G_скорр(w) получают с помощью частотного критерия качества, иллюстрированного приведенными выше графиками (см. рис.4.7, рис.4.8).

При последовательном соединении звеньев справедливо соотношение

W_скорр(р)= W_{нескорр}(р)W_ку(р),

где W_ку(р) - передаточная функция синтезируемого последовательного корректирующего устройства.

Следовательно

W_ку(р)= W_скорр(р)/ W_{нескорр}(р).

Перейдем к частотной форме записи, используя логарифмические единицы:

20lg| W_ку(р)(jw)|=20lg| W_cкорр.(jw)|-20lg| W_{нескорр.}(jw)|;

G_ку(w)=G_скорр.(w) - G_{нескорр.}(w).

Тип и параметры последовательного корректирующего устройства получают следующим образом:

1) графически вычитают из желаемой ЛАЧХ ординаты ЛАЧХ исходной системы;

2) упрощают ЛАЧХ корректирующего устройства, сравнивают с ЛАЧХ имеющихся в справочных данных типовых корректирующих звеньев и выбирают конкретную схему корректирующего звена;

3) находят по сопрягающим частотам параметры схемы корректирующего устройства.

 

Параллельная коррекция

Параллельные корректирующие устройства реализуются в виде обратных связей. Корректирующие обратные связи (охватывающие отдельные звенья или участки цепи САУ) помимо классификации на отрицательные и положительные, делятся на жесткие и гибкие. Жесткие обратные связи осуществляются статическими звеньями , гибкие - дифференцирующими .

Рассмотрим действие идеальной жесткой обратной связи с передаточной функцией

Пусть эта обратная связь охватывает апериодическое звено с передаточной функцией

как показано на рис.4.13.

 

 

Рис.4.13

В результате охвата обратной связью получим

где

Постоянная времени и коэффициент передачи уменьшаются при отрицательной обратной связи и увеличиваются при положительной. На рис.4.14 иллюстрируется физическая суть механизма уменьшения инерционности при отрицательной обратной связи.

Х

T

0 t

Рис.4.14

Переходная характеристика соответствует апериодическому звену без обратной связи, а характеристика - с обратной связью.

Кривая сигнала на входе звена имеет всплеск вначале. За счет его происходит форсировка на входе по сравнению с окончательным установившимся значением , которая и дает ускорение переходного процесса.

При инерционности обратной связи скорость роста еще более замедлится, увеличится длительность форсировки на входе звена, в результате чего еще более повысится быстродействие.

В качестве жесткой корректирующей обратной связи применяется в основном отрицательная обратная связь для уменьшения инерционности.

Заметим попутно, что отрицательная обратная связь имеет и другие достоинства: она уменьшает остающуюся вне рассмотрения нелинейность статической характеристики звена, нестабильность его параметров во времени, а также при наличии шумов (помех) на входе или внутри звена уменьшает уровень шумов на выходе.

При охвате жесткой обратной связью интегрирующего звена с

имеем:

где

Таким образом, интегрирующее звено превращается в статическое. Практический интерес при этом представляет лишь отрицательная связь (при положительной звено получается неустойчивым).

Рассмотрим далее влияние безинерционной гибкой обратной связи с , называемой еще гибкой обратной связью по скорости.

В общем случае для звена с передаточной функцией имеем:

Таким образом, гибкая обратная связь, не влияя на коэффициент передачи охватываемого звена, изменяет коэффициент при р в знаменателе передаточной функции.

В случае апериодического звена изменится постоянная времени (при положительной обратной связи уменьшится, а при отрицательной - возрастет), в случае колебательного - изменится коэффициент демпфирования.

 

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

5.1. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. - М. Наука, 1989. - 304 с.

5.2. Теория автоматического управления. Ч.1. Теория линейных систем автоматического управления/ Н.А. Бабаков и др.; Под ред. А.А. Воронова. - М.: Высшая школа, 1986. - 367 с.

5.3. Бабаков Н.А. и др. Теория автоматического управления. Ч.1/Под ред. А.А. Воронова. - М.: Высшая школа, 1977. - 303 с.

5.4. Юревич Е.И. Теория автоматического управления. - М.: Энергия, 1975. - 416 с.

5.5. Бесекерский В.А. и др. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. - М.: Наука, 1978. - 512 с.