Условие параллельности двух прямых.

L|| N тогда и только тогда, когда S || R тогда и только тогда, когда

Условие перпендикулярности двух прямых,

L N тогда и только тогда, когда S R тогда и только тогда, когда =0

Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормаль ю к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектор ом плоскости.

Замечание Из определения видно, что нормальный вектор у фиксированной плоскости определяется не однозначно. Все нормальные векторы одной плоскости коллинеарны друг другу и поэтому получаются один из другого умножением на число, отличное от нуля.

Для того чтобы из параллельных плоскостей выбрать одну, достаточно задать точку, через которую проходит эта плоскость. Итак, если у плоскости известны нормальный вектор и точка, через которую она проходит, то плоскость определена однозначно.

Теорема 1 Пусть вектор является нормальным вектором плоскости , проходящей через точку . Тогда уравнение

 

является уравнением плоскости .

Доказательство. Пусть - некоторая точка плоскости (рис. 11.1). Иногда говорят "текущая точка" плоскости, так как предполагается, что ее координаты меняются и точка пробегает всю плоскость.

Вектор лежит на плоскости . Следовательно, вектор ортогонален вектору n. Если же взять точку Q, не лежащую на плоскости , то вектор не будет ортогональным вектору n. Так как условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения, то условием того, что точка лежит в плоскости , является выполнение равенства

Выразив скалярное произведение в левой части этого равенства через координаты сомножителей по формуле

получим формулу

Пусть r -- радиус-вектор текущей точки плоскости , - радиус-вектор точки . Тогда уравнение можно переписать в виде

Такое уравнение обычно называют векторным уравнением плоскости .

Раскроем скобки в уравнении Так как точка - фиксированная, то выражение является числом, которое обозначим буквой . Тогда уравнение принимает вид

Такое уравнение называется общим уравнением плоскости. Еще раз отметим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, так как .

Верно и обратное утверждение:

Теорема 2 Всякое уравнение (), в котором , является уравнением плоскости, ортогональной вектору .

Доказательство. Условие означает, что хотя бы одно из чисел , отлично от нуля. Пусть это будет, например, число . Преобразуем уравнение следующим образом:

По теореме 1 такое уравнение является уравнением плоскости с нормальным вектором n, проходящей через точку .

Рассмотрим теперь полное уравнение плоскости и покажем, что оно может быть приведено к следующему виду. , называемому уравнением плоскости «в отрезках». Так как коэффициенты А В С D отличны от нуля то мы можем переписать уравнение в виду и затем положить a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C. В уравнении плоскости в отрезках числа a, b и c имеют простой геометрический смысл: они равны величинам отрезков, которые отсекает плоскость на осях Ох, Оу и Oz соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат). Чтобы убедиться в этом, достаточно найти точки пересечения плоскости, определяемой уравнением плоскости в отрезках с уравнениями у=0 и z=0 оси Ох. Мы получим координаты точки пересечения х=а, y=0, z=0. Аналогично устанавливается, что координаты точки пересечения плоскости с осью Оу равны х=0, y=b, z=0 и с осью Oz равны х=0, y=b, z=с.

Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой:

Поставим перед собой цель – вывести уравнение плоскости, проходящей через три различные точки М₁(x₁,y₁,z₁) M₂ (x₂, y₂,z₂) M₃(x₃,y₃,z₃), не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы М₁ M₂={ x₂ - x₁, y_2- y₁, z_2- z₁} и М₁M₃=={ x₃ - x₁, y_3- y₁, z_3- z₁} не коллинеарный, а поэтому точка М(x,y,z) лежит в одной плоскости с точками М₁,M₂, M₃ , тогда и только тогда, когда векторы М₁ M₂ и М₁M₃ и М₁ M={ x - x₁, y_- y₁, z_- z₁} компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих трех векторов равно нулю. Использую выражение смешанного произведения в координатах, мы получим необходимое и достаточное условие принадлежности М(x,y,z) к указанной плоскости в виде:

x - x₁ y - y₁ z -z₁

x₂ - x₁ y_2- y₁ z_2- z₁ =0

x₃ - x₁ y_3- y₁ z_3- z₁

уравнение первой степени и является уравнением искомой плоскости.