Метод перемещений в расчетах статически неопределимых систем

Основная система метода перемещений

 

После определения числа неизвестных образуют основную систему метода перемещений путем наложения на узлы заданной системы связей, препятствующих их перемещениям. В соответствии с приня­тыми неизвестными эти связи бывают двух типов: связи, препятствую­щие повороту узлов (защемления), и связи, препятствующие линей­ным перемещениям узлов (опорные стержни) (рис. 4). Заметим, что вводимые в основную систему метода перемещений защемляющие связи отличаются от обычной жесткой заделки тем, что оказывают пре­пятствие лишь повороту узла и не лишают его линейной подвижности. Общее число вводимых в основную систему связей равно, естественно, числу неизвестных метода перемещений.

На рис. 4 представлены примеры образования основных сис­тем метода перемещений и показаны предполагаемые направления неизвестных перемещений. При этом здесь, как и в дальнейшем, все перемещения вне зависимости от их типа (угол поворота или посту­пательное смещение) обозначены для общности единым символом Z_i.

 

Рис. 3

 

 

Для определения основных неизвестных Z_i записывают систему канонических уравнений метода перемещений:

r₁₁Z₁ + r₁₂Z₂ +... + r_lnZ_n + R_lP = 0,

r₂₁Z₁ + r₂₂Z₂ +... + r_2nZ_n + R_2P = 0,

............................

r_n1Z₁ + r_n2Z₂ +... + r_nnZ_n + R_nP = 0

Каждое из этих уравнений выражает условие, что суммарная реак­ция каждой наложенной на заданную систему связи равна нулю, так как в заданной системе эти связи отсутствуют. Так, в левой части первого уравнения стоит

 

 

 

Рис. 4. Основная система

 

суммарная реакция первой дополнительной связи, во втором уравнении — суммарная реакция второй дополни­тельной связи и т. д. Отсюда следует, что уравнения метода переме­щений — статические в отличие от уравнений метода сил, которые имеют кинематический характер Входящие в канонические уравнения коэффициенты при неизвест­ных г_ik представляют собой реактивные усилия (моменты или силы), возникающие в связи i от единичного перемещения Z_k связи k. Свобод­ные члены этих уравнений R_ip — реактивные усилия в связи i от внешней нагрузки. Единичные r_ik и грузовые R_ip реакции имеют поло­жительный знак в том случае, если их направления совпадают с задан­ным направлением перемещения Z_t связи i. Коэффициенты с одинаковы­ми индексами r_u, r₂₂, r_ппназывают главными, а коэффициенты r₁₂, r_{1 ik} — побочными. Главные коэффициенты всегда положительны и не равны нулю, а побочные коэффициенты, как и в методе сил, обладают свойством взаимности, т. е. r_ik = r_ki. Благодаря этому система канонических уравнений метода перемещений симмет­рична относительно главной диагонали и ее можно решить при помощи сокращенного способа Гаусса.

Метод перемещений в расчетах статически неопределимых систем

Общие сведения о методе перемещений

СТЕПЕНЬ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ

 

Под степенью кинематической неопределимости принято понимать число основных неизвестных метода перемещений — углов поворота и линейных перемещений жестких узлов системы. Это число зависит от допущений, принятых в методе:

1) концы стержней, сходящихся в одном жестком узле, т. е. связанные между собой припайками, поворачиваются на один и тот же угол;

2) не учитывается влияние N и Q на перемещения узлов;

3) расстояния между узлами при деформации изгиба прямых стержней не изменяются;

4) углы поворота по малости принимаются равными их тангенсам.

Число угловых перемещений узлов определяется числом жестких узлов, которые независимо могут поворачиваться. При этом за жесткий узел принимается всякий узел, в котором не менее двух стержней соединены между собой припайкой.

Число независимых поступательных перемещений узлов не равно числу узлов, которые могут поступательно перемещаться, так как на ос­новании второго и третьего допущений не все поступательные перемеще­ния могут быть независимы. Поступательные перемещения узлов рамы зависимы, и все они будут перемещаться по горизонтали на одинаковую величину. Поскольку расстояния между узлами, соединенными стержнем, при деформации не изменяются, то число независимых поступательных перемещений узлов заданной систе­мы, составленной из прямых стержней, равно числу независимых пере­мещений узлов преобразованной системы, получаемой из заданной вве­дением шарниров во все узлы, в том числе и опорные, считая все стержни преобразованной системы абсолютно жесткими. При этом все статически определимые консоли, если они есть в системе, должны быть предварительно отсечены.

За неизвестные поступательные перемещения принимаются независимые поступательные перемещения, число которых равно числу дополнительных связей, обращающих шарнирную схему в неизменяемую систему. Общее число угловых и независимых поступательных перемещений равно числу основных неизвестных метода перемещений или степени кинематической неопределимости. На рис. 1 показаны числа независимых перемещений узлов системы; пунктиром показаны связи, которые обращают шарнирную схему в неизменяемую систему.

 

 

 

Рис. 1

 

 

Как и метод сил, метод перемещений является одним из важней­ших методов расчета статически неопределимых систем. В качестве основных неизвестных в этом методе принимают упругие перемещения узлов системы: углы поворота узлов и их линейные перемещения (рис. 2, а).

 

 

Рис. 2

 

Общее число неизвестных метода перемещений n, называемое степенью кинематической неопределимости системы, определяют как сумму неизвестных углов поворота n_у и не­известных линейных перемещений узлов n_л:

n = n_у + n_л.

Число неизвестных углов поворота равно числу «жестких» узлов, вследствие чего определение n_у сводится к простому подсчету числа «жестких» узлов рамы (например, узлы 2, 3 на рис. 2, а).

Для определения числа линейных перемещений узлов п_л вводится предположение о том, что длины хорд упругих линий прямых стержней рамы после их деформации остаются равными первоначальным длинам этих стержней, т. е. не учитывается сближение концов прямого стержня при его изгибе и действии продольной силы. В результате этого число независимых линейных смещений узлов заданной системы будет равно степени свободы шарнирной схемы, полученной из заданной системы введением шарниров во все узлы, включая и опорные.

Таким образом, для рамы, представленной на рис. 1, а, число независимых линейных перемещений узлов будет равно:

п_л = 2У — С — С₀ = 12 — 5 — 6 = 1, а общее число неизвестных при n_у = 2 составит

п = 2+1=3.

В том случае, если заданная система содержит кроме прямых и криволинейные стержни (рис. 3), необходимо учитывать воз­можное сближение концов криволинейных стержней после их деформации. При этом формула, определяющая число независимых линей­ных смещений узлов системы, получит следующий вид:

n_л = а + 2У – С – С₀,

где а — число криволинейных стержней.

Например, для рамы, изображенной на рис. 2, будем иметь:

n_л = 1 +12 —5 —6 = 2 и n = 3 + 2 = 5.