Суперпозиция в задачах упругого режима

Метод суперпозиции (наложения фильтрационных потоков) широко применяется и в задачах неустановившихся течений при упругом режиме.

Если в пласте действует группа скважин, то понижение давления в какой-либо точке пласта определяется сложением понижений давления, создаваемых в этой точке отдельными скважинами:

(5.140)

где n - число скважин; qj - дебит j -й скважины, причем Qj >0, если скважина эксплуатационная, и Qj <0, если скважина нагнетательная; rj - расстояние от центра j-й скважины до точки, в которой определяется понижение давления.

Если скважины начали работать в разное время, то (5.140) будет иметь вид

(5.141)

где tj - время, прошедшее с начала работы j -й скважины. Методом суперпозиции можно решить задачи, связанные с пуском, остановкой или с изменением темпа добычи скважины. Пусть, например, скважина была пущена в эксплуатацию с постоянным дебитом Q и через промежуток времени Т остановлена, Требуется определить давление в любой точке пласта. Для решения задачи предположим, что скважина продолжает работать с тем же дебитом; тогда к моменту t после остановки понижение давления в какой-либо точке пласта, вызванное пуском непрерывно работающей скважины, будет равно

Допустим мысленно, что в том же месте, где расположена эксплуатационная скважина, в момент остановки начала работать нагнетательная скважина с тем же дебитом. К моменту t повышение давления в какой-либо точке пласта, вызванное пуском нагнетательной скважины, определится по формуле

Результирующее понижение давления запишется в виде

Если аргументы функций малы, то можно использовать приближенную формулу (5.131), и тогда

(5.143)

Движение границы раздела двух жидкостей в пористой среде

С учетом неполноты вытеснения.

Теория Баклея - Леверетта

При проектировании разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений большое внимание уделяется задачам движения границы раздела двух жидкостей в пористой среде. Например, в нефтяных пластах, разрабатываемых при водонапорном режиме, вода обычно не заполняет полностью область, первоначально занятую нефтью. В этой области происходит одновременное движение вторгшейся воды и оставшейся, постепенно вымываемой нефти.

Решение такого важного вопроса, как повышение коэффициента нефтеотдачи нефтяных месторождений, разрабатываемых при поддержании пластового давления закачкой в пласт воды или другого вытесняющего нефть агента, связано с задачами фильтрации многокомпонентных жидкостей.

При фильтрации двухфазной жидкости для каждой фазы в отдельности справедлив закон Дарси. В общем случае при наличии массовых сил фильтрация двухфазной несжимаемой смеси описывается (по числу неизвестных р₁, р₂, Q₁, Q₂, σ) следующей замкнутой системой уравнений:

(5.144)

(5.145)

(5.146)

(5.147)

(5.148)

где σ - насыщенность порового пространства первой (вытесняющей) фазой; р₁ и р₂ - соответственно давления каждой фазы, которые, вообще говоря, не равны друг другу из-за капиллярных эффектов; X - проекция массовых сил, отнесенная к единице массы; р_к(σ) — капиллярное давление; Q₁ и Q₂ - в формуле Лапласа (5.146) - главные радиусы кривизны менисков, контактной поверхности, зависящие, в основном, от насыщенности; σ - поверхностное натяжение. Остальные обозначения прежние.

На практике капиллярное давление считается известной экспериментальной функцией насыщенности и представляется в виде зависимости безразмерной функции Леверетта

от насыщенности σ порового пространства вытесняющей жидкостью (рис. 89), - статический краевой угол между жидкостями и породой.

Оценки, сделанные М.Маскетом, показывают, что в пласте градиент капиллярного давления обычно мал по сравнению с градиентом гидродинамического давления всюду, кроме зоны фронта вытеснения, где насыщенность и резко изменяется, поэтому имеют место большие значения градиента капиллярного давления (см. рис.5.35), которые необходимо учитывать. Однако из-за исключительной сложности решения задач двухфазной фильтрации оба эти фактора не принимаются во внимание, а капиллярность косвенно учитывается самим видом экспериментальных кривых k1*(σ), k2*(σ), для несцементированных и слабосцементированных песков (рис.5.36); на графиках k1*(σ)= kв*(σ), k2*(σ)= kн*(σ),.

Наиболее разработанной теорией является теория одномерного движения двухфазной жидкости в пористой среде Баклея - Леверетта.

Рассматривая двухфазную фильтрацию в трубке тока постоянного сечения при отсутствии капиллярного давления и без учета массовых сил и полагая, что суммарная скорость фильтрации является постоянной величиной: w₁+w₂ =w = const, Баклей и Леверетт из системы уравнений (5.144) -(5.148) получили дифференциальное уравнение относительно σ

(5.149)

где т - пористость пласта; f (а) - производная от функции Леверетта:

, μ₀=μ_2/μ₁ (5.150)

Уравнение (XIV.6) является квазилинейным дифференциальным уравнением 1-го порядка в частных производных. Решение уравнения (5.149) имеет вид

(5.151)

Где х(σ,0) - координата точки с заданной насыщенностью σ в момент t=0.

Уравнение (5.151) определяет перемещение точки с заданной насыщенностью с течением времени.

Скорость распространения заданной насыщенности σ получим из уравнения (5.154), взяв производную dx/dt,

(5.152)

Функция Леверетта f(σ) и ее производная f’(σ) представлены на рие.5.37. Как видно из графика, одному и тому же значению f(σ), определяющему скорость распространения насыщенности заданной величины, соответствуют дна разных значения насыщенности σ.

Это означает, что, начиная с некоторого момента, распределение насыщенности становится многозначным, а это физически невозможно. Многозначность означает, что в зоне движения двухфазной жидкости имеет место скачок насыщенности (рис.5.38).

Баклей и Леверетт из условия материального баланса получили формулу для определения значения фронтовой насыщенности σф. (насыщенности на скачке):

(5.153)

Очевидно, что фронтовую насыщенность σ_ф можно легко определить графически. Проведя из начала координат касательную к кривой f(σ) (рис.5.39) и опустив перпендикуляр из точки касания на ось а, получим значение фронтовой насыщенности.

Подставив σ_ф в (5.151), можем найти координату скачка насыщенности Хф.

Чтобы найти среднее значение насыщенности в переходной зоне, разделим объем поступившей вытесняющей жидкости на объем перового пространства переходной зоны, определяемого координатой Хф при площади поперечного сечения пласта, равной единице.

(5.154)

Среднюю насыщенность σ_ср можно определить графически следующим образом. Если продлить касательную к кривой f(σ) до пересечения с прямой f(σ)=1, то значение σ в точке пересечения и есть средняя насыщенность σ_ср (см. рис.5.39).

Как правило, среднее значение насыщенности порового пространства водой σ_ср значительно меньше единицы. Поэтому, например, в процессах вытеснения нефти водой для более полного извлечения нефти из пласта на объем добытой нефти нужно закачать несколько объемов воды.