Тема: аналитическая геометрия на плоскости

Тема: АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Л е к ц и я 5

СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Основные понятия.

Основные приложения метода координат на плоскости.

Линии на плоскости.

Уравнения прямой на плоскости.

Прямая на плоскости. Основные задачи.

Основные понятия.

Прямоугольную систему координат обозначают , а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.

Рассмотрим произвольную точку М плоскости . Вектор называется радиусом-вектором точки М.

Координатами точки М в системе координат называются координаты радиуса-вектора . Если , то координаты точки М записывают так: М(х;у), число х называется абсциссой точки М, у — ординатой точки М.

Эти два числа х и у полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.

Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч Ор.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием от полюса О и углом φ, образован­ным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведет­ся в направлении, противоположном движению часовой

Рис. 1 стрелки) (рис. 1).

 

Числа r и φ называются полярными координатами точки М, пишут , при этом r называют полярным радиусом, φ — полярным углом.

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком (или ), а полярный радиус — . В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и φ, иобратно.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы , а полярную ось — с положительной полуосью Ох. Пусть х и у — прямоугольные координаты точки М, а r и φ — ее полярные координаты.

Из рисунка 2 видно, что прямоугольные координа­ты точки М выражаются через полярные координаты точки следующим образом:

 

. Рис 2.

, . Полярные же координаты точки М выражаются через декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами:

,

.

Определяя величину φ, следует установить (по знакам х и у) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что .

Основные приложения метода координат на плоскости.

Линии на плоскости.

Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество то­чек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свой­ством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плос­кости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить, лежит ли точка А(х_о;у_о) на данной ли­нии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбран­ной системе координат.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F₁(x;y) = 0 и F₂(x;y) = 0, сводится к отысканию точек, коор­динаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

F₁ (x; y) = 0,

F₂ (x; y) = 0.

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересе­каются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение F (r; φ) = 0 называется уравнением данной линии в поляр­ной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

x = x (t),

y = y (t), (3)

где х и у — координаты произвольной точки М (х; у), лежащей на данной линии, a t — переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (x; у) на плоскости.

Например, если x = t + 1, y = t², то значению параметра t = 2 соответствует на плоскости точка (3; 4), т. к. х = 2 + 1 = 3, у = 2² = 4.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется паpaметрическим, а уравнения (3) — параметрическими уравнениями линии.

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

На рисунках 4-12 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

	или
Рис. 4. Окружность радиуса R

 

Рис. 5. Лемниската Бернулли Уравнение в прямоугольных координатах: , ;   в полярных координатах:   .	Рис. 6. Трилепестковая роза В полярных координатах ее уравнение имеет вид:   , где a > 0.
Рис. 7. Улитка Паскаля Уравнение в полярных координатах имеет вид: .

 

Рис. 8. Полукубическая парабола   Уравнение кривой или .	Рис. 9. Астроида   Уравнение в прямоугольных координатах: j параметрические уравнения:
Рис. 10. Кардиоида Уравнение в полярных координатах имеет вид , где а > 0. Кардиоида — част­ный случай улитки Паскаля (а = b).	Рис. 11. Спираль Архимеда Уравнение кривой в полярных координатах , где а > 0 — постоянное.

 

Рис. 12. Циклоида Параметрические уравнения циклоиды имеют вид где а > 0. Циклоида — это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения по неподвижной прямой.

Общее уравнение прямой.

Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем виде

, (6)

где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одно­временно.

Уравнение (6) есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением прямой. Вектор n={A,B} называется вектором нормали к прямой, он перпендикулярен прямой (6).

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1) если А = 0, то уравнение приводится к виду . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2) если В = 0, то прямая параллельна оси Оу;

3) если С = 0, то получаем . Уравнению удовлетворяют координаты точки О(0; 0), прямая проходит через начало координат.

 

Тема: АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Л е к ц и я 5

СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.