Правила вычисления определенного интеграла

 

1. Формула Ньютона–Лейбница:

где F′ (x) = f (x).

2. Замена переменной:

где x = – функция, непрерывная вместе с на отрезке – функция, непрерывная на отрезке .

3. Интегрирование по частям:

где u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые на [a, b] функции.

4. Если f(x) – нечетная функция, то

5. Если f(x) – четная функция, то

Примеры.

1)

 

2.58. Вычислить интегралы:

1) 2) 3) ; 4)

5) ; 6) 7) ; 8)

9) 10) 11) ; 12)

13) 14) 15) 16)

17) 18) 19)

Геометрические приложения

определенного интеграла

 

Пример 2.6.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х ², х = у ².

Решение.

Графики функций пересекаются в точках (0; 0), (1; 1) (рис. 2.3).

 

Y

X

у = х^2

у = √х

Рис. 2.3. Площадь фигуры

2.59. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) 2)

5) ; 6)

7) 8)

9) 10)

2.60. Найти объем тела, образованного вращением вокруг осей Ох и Оу плоской фигуры, ограниченной линиями:

2)

4)

Указание. Объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг осей координат Ох и Оу, соответственно равен:

2.61. Найти длину дуги кривой:

1) от х = 0 до х = 1; 2) от х = 0 до х = 1;

3) от точки О(0; 0) до точки А (4; 8).

Указание. Длина дуги кривой при равна

 

Применение определенного интеграла

В экономике

Дисконтированный доход при непрерывном начислении процентов равен

где – функция ежегодного дохода;

i – удельная норма процента;

T – время начисления дохода.

2.62. Определить дисконтированный доход за T лет при процентной ставке I %, если первоначальное капиталовложение составило 1 млрд руб. и будет увеличиваться ежегодно на 0,2 млрд руб.:

1) T = 5, i = 10; 2) T = 10, i = 2.

Среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от до изделий равно

,

где функция t = t(x) часто имеет вид

где а – затраты времени на первое изделие;

b – показатель производительности процесса.

2.63. Найти среднее время, затраченное на изготовление одного изделия, если:

1)

2)

 

 

Несобственные интегралы

 

.

 

Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

Примеры.

интеграл сходится.

2) – не существует, интеграл расходится.

интеграл сходится.

2.64. Вычислить интегралы или установить их расходимость:

1) 2) ; 3) ; 4) 5) ;

6) ; 7) 8) 9) 10)

2.65. Вычислить интегралы или установить их расходимость:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

 

Функции нескольких переменных

Определение. Областью определения функции называется множество точек плоскости Оху, в которых функция определена.

Линия уровня функции задается уравнением z = C или .

Пример 2.7.

Найти область определения функции:

1. 2.

Решение.

1. Область определения задается условием: 9 – x ² – y ² > 0 или x ² + y ² < 9, т. е. представляет собой незамкнутый круг с центром в начале координат радиуса 3.

2. Имеем: x – y ≥ 0 или y ≤ x, т. е. область определения – это полуплоскость, лежащая ниже прямой y = x,и сама прямая.

2.66. Построить область определения функции:

2.67. Найти линии уровня функций:

 

Частные производные, дифференциал,

Градиент функции

 

Определение. Частные производные функции z = z (x, y):

 

 

если пределы существуют.

Определение. Дифференциалом функции z = z (x, y) называется выражение

 

Определение. Градиентом функции z = z (x, y) называется вектор

Пример 2.8.

Найти частные производные и (или и ) функции

Решение.

2.68. Найти и :

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

2.69. Найти дифференциал функции z в точке М(–2; 1):

1) если

2) если

2.70. Найти градиент и линию уровня функции в точке Р, сделать рисунок:

1) 2)

3) 4)

2.71. Найти модуль градиента функции:

1) в точке А (1; –2; 0);

2) в точке А (0; 1; –2).