Применение производной в экономике

 

2.17. Объем продукции u (ед.) в течение рабочего дня представляет функцию u = , где t – время (ч). Найти производительность труда, скорость и темп ее изменения через 2 часа после начала работы; за 1 час до ее окончания (при 8-часовом рабочем дне).

2.18. Зависимость между издержками производства y (ден. ед.) и объемом выпускаемой продукции х (ед.) выражается функцией:

а) б)

Определить средние и предельные издержки при объеме продукции, равном 5 ед.

2.19. Зависимость между себестоимостью продукции С и объемом Q ее производства выражается формулой Определить эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 30.

Указание. Эластичность функции y (x) равна

где и − относительные приращения функции и аргументов соответственно. Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f (x) при изменении аргумента x на 1 %.

2.20. Функции спроса q и предложения s от цены p выражаются соответственно уравнениями: 1) q = 7 − p, s = p + 1; 2)

Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 5 % от равновесной.

2.21. Функции спроса q и предложения s от цены p выражаются соответственно уравнениями q = 9 − p и s = p + 2.

Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 10 % от равновесной.

2.22. Функции долговременного спроса q и предложения s от цены p на мировом рынке нефти имеют соответственно вид: q = 30 − 0,9p, s = 16 + 1,2p.

1. Найти эластичность спроса в точке равновесной цены.

2. Как изменятся равновесная цена и эластичность спроса при уменьшении предложения нефти на рынке на 25 %?

2.23. Зависимость между себестоимостью готовой продукции предприятия у (млн руб.) и объемом выпускаемых изделий х (тыс. шт.) выражается уравнением Найти эластичность себестоимости продукции предприятия, выпускающего 12 тыс. шт. изделий. Какие рекомендации можно дать руководителям предприятий об изменении величины объема выпускаемой продукции?

2.24. Зависимость потребления y от дохода x задается функцией Показать, что эластичность функции потребления от дохода не зависит от параметра а и стремится к нулю при неограниченном возрастании дохода.

2.25. Функция потребления некоторой страны имеет вид: где x − совокупный национальный доход.

Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 32.

2.26. Функция сбережения некоторой страны имеет вид: где x – совокупный национальный доход.

Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 27.

2.27. Функция спроса q от цены p описывается формулой где и k – известные величины. Найти, при каких значениях цены p спрос будет эластичным.

2.28. Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса, если выручка V (р) равна произведению цены р на величину спроса q (р).

Дифференциал функции

Определение. Дифференциалом функции у = f (х) называется выражение

Применение дифференциала в приближённых вычислениях: при достаточно малых значениях х

Пример 2.2.

Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

Решение.

2.29. Найти дифференциал функции и вычислить его значение

при заданных x и х:

2)

3) 4)

2.30. Вычислить приближенно:

1) 2) 3) 4)

Контрольные задания

Вариант 1.

1. Найти производные функций:

а) б)

2. Найти производную функции, заданной параметрически:

3. Найти производную 2-го порядка:

4. Найти Δ y и dy функции при x = 2, Δ x = 0,01.

5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала

 

Вариант 2.

1. Найти производные функций:

а) б)

2. Найти производную функции, заданной параметрически:

3. Найти производную 2-го порядка:

4. Найти Δ y и dy функции при x = 3, Δ x = 0,02.

5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала

 

Вариант 3.

1. Найти производные функций:

а) б)

2. Найти производную функции, заданной параметрически:

3. Найти производную 2-го порядка:

4. Найти Δ y и dy функции при x = 1, Δ x = 0,03.

5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала

 

Приложения производной

Одно из приложений производной − правило Лопиталя при вычислении пределов (в случаях неопределенностей и ):

Примеры.

2.31. Найти пределы по правилу Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) .